Aller au contenu principal
MathExcellence
← Toutes les fiches

La limite d'une fonction ouvre l'analyse de 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales : elle décrit le comportement de f(x) au voisinage d'un point ou à l'infini, sans se confondre avec la valeur f(a). Cette fiche réunit les limites de référence, les limites à gauche et à droite, les quatre formes indéterminées, le théorème des gendarmes et le passage aux asymptotes verticale, horizontale et oblique, avec les branches paraboliques. Ici, une forme indéterminée ne se conclut jamais directement : on factorise, on simplifie ou on multiplie par la quantité conjuguée. Le réflexe clé : à l'infini, seul le terme dominant d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle compte.

lim
Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales

Limite d'une fonction — Formes indéterminées, gendarmes, asymptotes

Math Excellence
1 · Définitions & asymptotes
Limite finie
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\)
\(f(x)\) proche de \(\ell\)
Gauche / droite
\(\displaystyle\lim_{a^+}=\lim_{a^-}=\ell\)
\(\iff\lim_{a}f=\ell\)
Références \(\infty\)
\(x^n\to+\infty,\ \tfrac1{x^n}\to0\)
\(\sqrt x\to+\infty\)
Asymptote verticale
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f=\pm\infty\)
droite \(x=a\)
Asymptote horizontale
\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f=\ell\)
droite \(y=\ell\)
Asymptote oblique
\(\displaystyle\lim_{\pm\infty}\!\big(f-(ax+b)\big)=0\)
droite \(y=ax+b\)
2 · Opérations, F.I. & composée
Opérations
  • \(\lim(f+g),\ \lim(fg),\ \lim\tfrac fg\) se combinent
  • quotient : dénominateur \(\neq0\)
Les 4 formes indéterminées
  • \(\infty-\infty,\quad 0\times\infty,\quad \dfrac\infty\infty,\quad \dfrac00\)
Réflexe : factoriser, simplifier ou conjuguer.
À l'infini
  • polynôme \(\sim\) terme de plus haut degré
  • fraction \(\sim\) quotient des termes dominants
\(\dfrac{2x^2-x+3}{x^2+5}\to2\)
Substitution directe
  • essayer d'abord \(P(a),\ \tfrac{P(a)}{Q(a)}\) si \(Q(a)\neq0\)
  • ni F.I. ni \(\div0\) ⇒ c'est fini
Trigonométrie en \(0\)
  • \(\dfrac{\sin x}x\to1,\ \dfrac{1-\cos x}{x^2}\to\tfrac12,\ \dfrac{\tan x}x\to1\)
faire apparaître \(\dfrac{\sin(\square)}{\square}\)
Gendarmes & comparaison
  • \(g\le f\le h\) et \(\lim g=\lim h=\ell\Rightarrow\lim f=\ell\)
  • \(f\ge g,\ \lim g=+\infty\Rightarrow\lim f=+\infty\)
3 · Formules & réflexes
\(x^n\to+\infty\), \(\dfrac1{x^n}\to0\)
polynôme \(\sim\) terme dominant
fraction \(\sim\) quotient dominants
\(\dfrac{\sin x}x\to1\)
\(\dfrac{1-\cos x}{x^2}\to\dfrac12\)
\(\dfrac1{0^+}=+\infty\), \(\dfrac1{0^-}=-\infty\)
oblique : \(a=\lim\dfrac{f(x)}x,\ b=\lim\big(f-ax\big)\)
gendarmes = encadrer
4 · Méthodes & branches infinies
Lever \(\infty-\infty\) (racines)
  • multiplier par la quantité conjuguée
\(\sqrt{x^2+x}-x\to\tfrac12\)
Lever \(\tfrac00\) en un réel
  • \(P(a)=0\Rightarrow(x-a)\mid P\) : factoriser, simplifier
\(\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2\to4\)
Limite trigonométrique
  • faire apparaître \(\dfrac{\sin(\square)}{\square}\)
\(\dfrac{\sin5x}{\sin2x}\to\dfrac52\)
Position courbe / asymptote
  • signe de \(f(x)-(ax+b)\)
  • \(>0\) : au-dessus ; \(<0\) : au-dessous
Branches paraboliques \((f\to\pm\infty)\)
  • \(\tfrac{f(x)}x\to0\) : direction \((Ox)\)
  • \(\tfrac{f(x)}x\to\pm\infty\) : direction \((Oy)\)
  • \(\tfrac{f(x)}x\to a\neq0,\ f-ax\to\pm\infty\) : dir. \(y=ax\)
Signe près d'un zéro du dénominateur
  • \(Q(a)=0,\ P(a)\neq0\) : étudier \(Q\to0^+\) ou \(0^-\)
  • régler le signe à gauche et à droite
★ Astuces géniales
  • Face à une F.I. : ne jamais conclure directement — factoriser, simplifier ou conjuguer.
  • À l'infini, seul le terme dominant compte (polynômes et fractions rationnelles).
  • Toute limite trigo en \(0\) se ramène à \(\dfrac{\sin(\square)}{\square}\to1\).
  • Une limite infinie en \(a\) annonce une asymptote verticale \(x=a\) ; une limite finie à l'infini une asymptote horizontale.
Math Excellence · Travail — Méthode — Réussite · anassmaths.com