Fiche de révision — Calcul trigonométrique · 1ʳᵉ Bac Sc. Exp.

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Le calcul trigonométrique fournit en 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales les identités qui reviennent en analyse, en géométrie et en physique. Cette fiche réunit le cercle trigonométrique, l'identité fondamentale cos²x + sin²x = 1, les valeurs remarquables, les angles associés, les formules d'addition et de duplication, la linéarisation, le passage produit ↔ somme, la forme a cos x + b sin x = R cos(x − φ) et la résolution des équations de référence. L'idée n'est pas d'apprendre les formules en vrac mais de savoir laquelle sert à quoi : produit → somme pour linéariser, somme → produit pour factoriser. Le réflexe pour les signes de l'addition : « le cosinus contrarie, le sinus suit ».

Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales

Calcul trigonométrique — Cercle, addition, équations

Math Excellence

1 · Identités & valeurs

Identité fondamentale

\(\cos^2x+\sin^2x=1\)

\(-1\le\cos x,\sin x\le1\)

Tangente

\(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\)

si \(\cos x\neq0\)

Relation tan

\(1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}\)

\(x\neq\tfrac\pi2+k\pi\)

Périodicité

\(\cos,\sin:2\pi\) ; \(\tan:\pi\)

\(\cos(x+2k\pi)=\cos x\)

Parité

\(\cos\) paire, \(\sin\) impaire

\(\cos(-x)=\cos x\)

Radians

\(180^\circ=\pi\)

\(60^\circ=\tfrac\pi3\), \(\tfrac{5\pi}6=150^\circ\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & \tfrac\pi6 & \tfrac\pi4 & \tfrac\pi3 & \tfrac\pi2\\ \hline \cos x & 1 & \tfrac{\sqrt3}2 & \tfrac{\sqrt2}2 & \tfrac12 & 0\\ \hline \sin x & 0 & \tfrac12 & \tfrac{\sqrt2}2 & \tfrac{\sqrt3}2 & 1\\ \hline \tan x & 0 & \tfrac{\sqrt3}3 & 1 & \sqrt3 & \text{n.d.}\\ \hline\end{array}\]

2 · Angles associés & addition

Angles associés

\(\cos(-x)=\cos x,\ \sin(-x)=-\sin x\)
\(\cos(\pi-x)=-\cos x,\ \sin(\pi-x)=\sin x\)
\(\cos(\pi+x)=-\cos x,\ \sin(\pi+x)=-\sin x\)

Complémentaires \(\tfrac\pi2\pm x\)

\(\cos(\tfrac\pi2-x)=\sin x,\ \sin(\tfrac\pi2-x)=\cos x\)
\(\cos(\tfrac\pi2+x)=-\sin x\)

Astuce : placer le point sur le cercle, appliquer la symétrie.

Addition — cosinus

\(\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b\)

Le cos contrarie le signe intérieur

Addition — sinus

\(\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b\)

Le sin suit le signe intérieur

Addition — tangente

\(\tan(a\pm b)=\dfrac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}\)

3 · Formules & réflexes

\(\cos^2x+\sin^2x=1\)

\(\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\)

\(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\)

\(\cos2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x\)

\(\sin2x=2\sin x\cos x\)

\(1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}\)

\(\cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2k\pi\)

\(\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha\) ou \(\pi-\alpha\ [2\pi]\)

4 · Duplication, \(R\cos\) & équations

Angle double

\(\cos2x=\cos^2x-\sin^2x\) (3 formes)
\(\sin2x=2\sin x\cos x,\ \tan2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2x}\)

Linéariser

\(\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}2,\ \sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}2\)
\(\sin x\cos x=\tfrac12\sin2x\)

Transformer

produit → somme : \(\cos a\cos b=\tfrac12[\cos(a-b)+\cos(a+b)]\)
somme → produit : \(\cos p+\cos q=2\cos\tfrac{p+q}2\cos\tfrac{p-q}2\)

factoriser pour résoudre une équation

Forme \(R\cos(x-\varphi)\)

\(a\cos x+b\sin x=R\cos(x-\varphi)\), \(R=\sqrt{a^2+b^2}\)
\(\cos\varphi=\tfrac aR,\ \sin\varphi=\tfrac bR\) ; max \(R\), min \(-R\)

Piège : fixer \(\varphi\) avec les deux signes, pas le seul cosinus.

Équations de référence

\(\cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2k\pi\)
\(\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(\pi-\alpha+2k\pi\)
\(\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi\)

écrire toutes les familles, puis filtrer l'intervalle

★ Astuces géniales

Addition : « le cosinus contrarie, le sinus suit » — signe inversé pour \(\cos\), conservé pour \(\sin\).
\(\cos2x\) a trois formes : chacune donne une linéarisation (\(\cos^2\), \(\sin^2\)).
Produit → somme pour linéariser ; somme → produit pour factoriser (donc résoudre).
Équations : se ramener à \(\cos x=\cos\alpha\), écrire toutes les solutions, puis filtrer selon l'intervalle.

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