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La logique fixe, dès l'entrée en 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales, le langage dans lequel s'écrivent toutes les démonstrations de l'année. Cette fiche réunit les connecteurs (négation, et, ou, implication, équivalence), les quantificateurs ∀ et ∃ avec leur négation, et les grands modes de raisonnement : direct, par contraposée, par l'absurde, par disjonction des cas, par contre-exemple et par récurrence. En Sciences Expérimentales, l'objectif n'est pas la théorie mais la rigueur d'écriture : une implication mal niée fausse toute la réponse. Le réflexe à garder : la négation de « ∀x, P(x) » est « ∃x, non P(x) », et l'on nie en échangeant les quantificateurs de gauche à droite.

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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales

Notions de logique — Connecteurs, quantificateurs & raisonnements

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1 · Les connecteurs logiques
\(\overline P\)
Négation
vraie ssi \(P\) fausse
\(P\wedge Q\)
Conjonction « et »
vraie ssi les deux vraies
\(P\vee Q\)
Disjonction « ou » inclusif
fausse ssi les deux fausses
\(P\Rightarrow Q\)
Implication
fausse seulement si \(P\) V et \(Q\) F
\(P\Leftrightarrow Q\)
Équivalence
vraie ssi même valeur
\(\exists!\,x\)
Existence unique
un et un seul \(x\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline P & Q & \overline P & P\wedge Q & P\Rightarrow Q & P\Leftrightarrow Q\\ \hline V & V & F & V & V & V\\ \hline V & F & F & F & F & F\\ \hline F & V & V & F & V & F\\ \hline F & F & V & F & V & V\\ \hline\end{array}\]
2 · Quantificateurs & négation
\(\forall\) et \(\exists\)
  • \(\forall x\in E,\ P(x)\) : « pour tout »
  • \(\exists x\in E,\ P(x)\) : « il existe »
  • le domaine \(E\) fait partie de l'énoncé
Ex : \(\exists x\in\mathbb{R},\ x^2=2\) (V) mais \(\exists x\in\mathbb{Q},\ x^2=2\) (F)
Nier une proposition quantifiée
  • on échange \(\forall\leftrightarrow\exists\)
  • on nie le prédicat final
\(\overline{(\forall x,\ P(x))}=\exists x,\ \overline{P(x)}\)
Astuce : nier de gauche à droite, sans changer l'ordre.
L'ordre \(\forall/\exists\) compte
  • \(\forall x,\exists y,\ y>x\) : V (\(y\) dépend de \(x\))
  • \(\exists y,\forall x,\ y>x\) : F
Piège : \(\forall\) et \(\exists\) ne commutent pas.
De Morgan — le réflexe pour nier
  • \(\overline{P\wedge Q}=\overline P\vee\overline Q\)
  • \(\overline{P\vee Q}=\overline P\wedge\overline Q\)
  • \(\overline{P\Rightarrow Q}=P\wedge\overline Q\)
négation de « \(x\ge0\) et \(x\le1\) » : « \(x<0\) ou \(x>1\) »
3 · Lois logiques (tautologies) à connaître
\(\overline{\overline P}\Leftrightarrow P\)
\(P\wedge Q\Leftrightarrow Q\wedge P\)
\(P\vee(Q\wedge R)\Leftrightarrow(P\vee Q)\wedge(P\vee R)\)
\(\overline{P\wedge Q}\Leftrightarrow\overline P\vee\overline Q\)
\(\overline{P\vee Q}\Leftrightarrow\overline P\wedge\overline Q\)
\((P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow(\overline P\vee Q)\)
\((P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow(\overline Q\Rightarrow\overline P)\)
\(\overline{P\Rightarrow Q}\Leftrightarrow(P\wedge\overline Q)\)
\(\big[(P\Rightarrow Q)\wedge(Q\Rightarrow R)\big]\Rightarrow(P\Rightarrow R)\)
Réciproque : \(Q\Rightarrow P\)
Contraposée : \(\overline Q\Rightarrow\overline P\)
\(P\) suffisante, \(Q\) nécessaire
4 · Les grands raisonnements
Direct
  • supposer \(P\), enchaîner jusqu'à \(Q\)
somme de deux rationnels \(\in\mathbb{Q}\)
Contraposée
  • prouver \(\overline Q\Rightarrow\overline P\) au lieu de \(P\Rightarrow Q\)
\(n^2\) impair \(\Rightarrow n\) impair
Par l'absurde
  • supposer \(\overline P\), aboutir à une contradiction
\(\sqrt2\notin\mathbb{Q}\)
Contre-exemple
  • nier \(\forall x,\ P(x)\) : exhiber un seul \(x_0\)
« \(x^2=4\Rightarrow x=2\) » faux : \(x=-2\)
Disjonction des cas
  • partager \(E\) en cas qui le recouvrent
\(n(n+1)\) pair : \(n\) pair ou impair
Récurrence
  • Init. \(P(n_0)\) ; Hérédité \(P(n)\Rightarrow P(n+1)\)
  • conclure \(\forall n\ge n_0\)
Piège : sans initialisation, on ne prouve rien !
★ Astuces géniales
  • « Le faux implique tout » : si \(P\) est fausse, \(P\Rightarrow Q\) est vraie.
  • Prouver une équivalence = prouver deux implications (les deux sens).
  • Nier = De Morgan + échange des quantificateurs, de gauche à droite.
  • Une équation par équivalences : chaque étape doit être réversible.
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