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Les généralités sur les fonctions installent les réflexes d'étude que l'on réutilise dans tout le programme de 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales. Cette fiche récapitule l'ensemble de définition, la parité, la périodicité, le sens de variation obtenu sans dérivée (signe de f(b) − f(a)), les fonctions majorées, minorées ou bornées, la composée et les transformations de courbe. À ce niveau, on apprend à lire ces propriétés directement sur une expression, avant même d'introduire la dérivation. Le réflexe utile : vérifier que le domaine est symétrique avant de conclure à une parité, puis n'étudier qu'une moitié de la courbe.

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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales

Généralités sur les fonctions — Parité, variations, composée

Math Excellence
1 · Domaine & symétries
Interdits de \(D_f\)
\(\frac1x,\ \sqrt{u},\ \tan u\)
\(x\neq0\), \(u\ge0\), \(\cos u\neq0\)
Paire
\(f(-x)=f(x)\)
symétrie / axe \((Oy)\)
Impaire
\(f(-x)=-f(x)\)
symétrie / origine \(O\)
Périodique
\(f(x+T)=f(x)\)
\(\cos,\sin:2\pi\) ; \(\tan:\pi\)
Égalité
\(f=g\)
\(D_f=D_g\) et \(f(x)=g(x)\)
Bornée
\(|f(x)|\le\alpha\)
majorée et minorée
2 · Variations, bornes & composée
Monotonie (sans dérivée)
  • pour \(a<b\), étudier le signe de \(f(b)-f(a)\)
  • ou le taux \(\tau=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
Astuce : \(\tau\ge0\) croissante, \(\tau\le0\) décroissante.
Majorée · minorée · extremums
  • majorée : \(\exists M,\ f(x)\le M\)
  • max absolu en \(x_0\) : \(f(x)\le f(x_0)\)
Piège : un majorant n'est pas toujours un maximum (borne non atteinte).
Comparer \(f\) et \(g\)
  • signe de \(f-g\) : au-dessus / au-dessous
  • \(f-g=0\) : les courbes se coupent
Composée \(v\circ u\)
  • \((v\circ u)(x)=v(u(x))\), \(u\) d'abord
  • \(D:\ x\in D_u\) et \(u(x)\in D_v\)
Règle des signes : même sens ⇒ croissante ; sens contraires ⇒ décroissante.
Image d'un intervalle
  • \(f\nearrow\) : \(f([a,b])=[f(a),f(b)]\)
  • \(f\searrow\) : \(f([a,b])=[f(b),f(a)]\)
l'intervalle « se retourne » si \(f\searrow\)
3 · Fonctions de référence
Affine \(ax+b\) : \(\tau=a\)
Trinôme : \(a(x-\alpha)^2+\beta,\ \alpha=-\frac{b}{2a}\)
Sommet \(S(\alpha,\beta)\), axe \(x=\alpha\)
Homographique : centre \(I(-\frac dc,\frac ac)\)
\(\frac{ad-bc}{(cx+d)(cy+d)}\) donne le sens
\(\sqrt{ax+b}\) : \(D=[-\frac ba,+\infty[\) si \(a>0\)
\(x^3\) : impaire, \(\nearrow\) sur \(\mathbb{R}\)
\(\frac1x\) : \(\searrow\) sur \(]0,+\infty[\)
4 · Transformations de \(\mathcal C_f\)
Translations
  • \(f(x)+k\) : verticale \(k\vec\jmath\)
  • \(f(x-a)\) : horizontale \(a\vec\imath\)
Symétries
  • \(-f(x)\) : / axe \((Ox)\)
  • \(f(-x)\) : / axe \((Oy)\)
Valeur absolue \(|f(x)|\)
  • la partie sous \((Ox)\) est rabattue au-dessus
Plan d'étude
  • domaine → symétries → signe de \(\tau\)
  • → tableau de variations → extremums → courbe
★ Astuces géniales
  • Parité : vérifier d'abord que \(D_f\) est symétrique, sinon ni paire ni impaire — puis n'étudier qu'une moitié.
  • Monotonie sans dérivée : le signe de \(f(b)-f(a)\) pour \(a<b\).
  • Comparer deux fonctions = étudier le signe de \(f-g\).
  • Composée : \(u\) agit en premier ; le sens suit la règle des signes.
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