Fiche de révision — Suites numériques · 1ʳᵉ Bac Sc. Exp.

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Les suites numériques introduisent en 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales une nouvelle façon de décrire des évolutions étape par étape. Cette fiche réunit les deux modèles fondamentaux — suites arithmétiques (+r) et géométriques (×q) —, les termes généraux, les sommes de termes consécutifs, l'étude de la monotonie et les suites du type uₙ₊₁ = auₙ + b ramenées à une suite géométrique par le point fixe. L'enjeu est de reconnaître la nature d'une suite avant d'appliquer une formule de somme. Le réflexe qui débloque la monotonie : étudier le signe de uₙ₊₁ − uₙ, ou comparer uₙ₊₁ ⁄ uₙ à 1 quand tous les termes sont positifs.

uₙ

Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales

Suites numériques — Arithmétiques, géométriques, sommes

Math Excellence

1 · Arithmétique vs géométrique

Arithmétique

\(u_{n+1}=u_n+r\)

\(u_{n+1}-u_n=r\) constant

Géométrique

\(u_{n+1}=q\,u_n\)

\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=q\) constant

Terme général (arith.)

\(u_n=u_0+nr\)

\(u_n=u_p+(n-p)r\)

Terme général (géo.)

\(u_n=u_0\,q^n\)

\(u_n=u_p\,q^{\,n-p}\)

Milieu (arith.)

\(2b=a+c\)

\(a,b,c\) consécutifs

Milieu (géo.)

\(b^2=ac\)

\(a,b,c\) consécutifs

2 · Sommes & monotonie

Somme arithmétique

\(=(\text{nb termes})\times\dfrac{\text{1er}+\text{dernier}}2\)

\(1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2\)

Somme géométrique \((q\neq1)\)

\(=(\text{1er})\times\dfrac{1-q^{\,\text{nb termes}}}{1-q}\)

\(1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\)

Variation (arith.)

\(r>0\) : \(\nearrow\) ; \(r=0\) : constante ; \(r<0\) : \(\searrow\)

Variation (géo. \(>0\))

\(q>1\) : \(\nearrow\) ; \(0<q<1\) : \(\searrow\)
\(q<0\) : signes qui alternent

Étudier la monotonie

signe de \(u_{n+1}-u_n\)
si \(u_n>0\) : comparer \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\)
si \(u_n=f(n)\) : variations de \(f\)

Compter les termes

de \(u_p\) à \(u_n\) : \(n-p+1\) termes
de \(u_0\) à \(u_n\) : \(n+1\) termes

Piège : vérifier ce compte avant toute somme.

3 · Valeurs & réflexes

\(1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2\)

\(1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\)

exposant de \(q\) = nb de termes

arith. : \(2b=a+c\)

géo. : \(b^2=ac\)

bornée \(\iff\) \(\exists A,\ |u_n|\le A\)

\(u_{n+1}=au_n+b\) : point fixe

\(u_n=\frac{n}{n+1}\) : \(0\le u_n<1\)

4 · Méthodes types

Reconnaître la nature

\(u_{n+1}-u_n\) constant ⇒ arithmétique
\(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) constant ⇒ géométrique

Suite auxiliaire \(u_{n+1}=au_n+b\)

point fixe \(\ell=\frac{b}{1-a}\ (a\neq1)\)
\(v_n=u_n-\ell\) est géométrique de raison \(a\)
exprimer \(v_n\) puis \(u_n\)

\(u_{n+1}=3u_n-2\Rightarrow\ell=1,\ v_n=u_n-1\)

Borne par récurrence

vérifier au 1er indice
supposer \(u_n\in[a,b]\), montrer \(u_{n+1}\in[a,b]\)

Suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\)

escalier : courbe \(y=f(x)\) et droite \(y=x\)
points isolés \(M_n(n,u_n)\)

★ Astuces géniales

Arithmétique \(=+r\), \(u_n=u_0+nr\) ; géométrique \(=\times q\), \(u_n=u_0q^n\).
Somme : c'est le nombre de termes qui donne l'exposant de \(q\), pas le dernier indice.
Une suite auxiliaire \(v_n=u_n-\ell\) transforme \(u_{n+1}=au_n+b\) en géométrique.
Monotonie : signe de \(u_{n+1}-u_n\), ou \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) vs \(1\) si les termes sont positifs.

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