1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 2

Ensembles & applications

1 · Résumé du cours

1.1 Ensembles et sous-ensembles

Définition Un ensemble \(E\) est une collection d'objets, ses éléments. On note \(x\in E\) (« \(x\) appartient à \(E\) ») et \(x\notin E\) sinon. L'ensemble sans aucun élément est l'ensemble vide \(\varnothing\).

Deux modes de description

en extension, en énumérant : \(A=\{-2,0,2\}\) ;
en compréhension, par une propriété : \(A=\{x\in\mathbb{Z}\mid x^2\le4 \text{ et } x \text{ pair}\}\).

L'ordre et la répétition des éléments ne changent pas un ensemble.

1.1.1 Inclusion et égalité

Inclusion \(A\) est inclus dans \(E\), noté \(A\subset E\), lorsque tout élément de \(A\) est élément de \(E\) : \[A\subset E \iff \big(\forall x,\ x\in A \Rightarrow x\in E\big).\] \(A\) est alors une partie de \(E\). Sa négation : \(A\not\subset B \iff \exists x\in A,\ x\notin B\).

Propriétés Pour tous \(A,B,C\) : \(\ \varnothing\subset A,\quad A\subset A,\quad (A\subset B \text{ et } B\subset C)\Rightarrow A\subset C.\)

Égalité par double inclusion \[A=B \iff \big(A\subset B \ \text{ et }\ B\subset A\big).\] C'est la méthode de référence pour prouver que deux ensembles sont égaux.

Méthode — montrer \(A=B\)

prendre \(x\in A\) quelconque et montrer \(x\in B\) (donc \(A\subset B\)) ;
prendre \(x\in B\) quelconque et montrer \(x\in A\) (donc \(B\subset A\)).

1.1.2 Ensemble des parties

Définition L'ensemble de toutes les parties de \(E\) se note \(\mathcal P(E)\). On a toujours \(\varnothing\in\mathcal P(E)\) et \(E\in\mathcal P(E)\), et \[A\subset E \iff A\in\mathcal P(E).\]

Exemple. Pour \(E=\{a,b,c\}\), \(\mathcal P(E)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},E\}\), soit \(8=2^3\) parties. Si \(E\) a \(n\) éléments, \(\mathcal P(E)\) en a \(2^n\).

Ne pas confondre \(\in\) et \(\subset\) Pour \(E=\{a,b,c\}\) : \(a\in E\) (élément), mais \(\{a\}\subset E\) et \(\{a\}\in\mathcal P(E)\) (partie). Un accolade change tout.

1.2 Opérations sur les ensembles

Définition Soient \(A,B\) deux parties d'un ensemble \(E\) : \[A\cap B=\{x\mid x\in A \text{ et } x\in B\},\qquad A\cup B=\{x\mid x\in A \text{ ou } x\in B\},\] \[\overline A=\complement_E A=\{x\in E\mid x\notin A\},\qquad A\setminus B=\{x\mid x\in A \text{ et } x\notin B\}.\] Si \(A\cap B=\varnothing\), \(A\) et \(B\) sont disjoints.

Règles de calcul Pour toutes parties \(A,B,C\) de \(E\) : \[A\cap A=A,\quad A\cup A=A,\quad A\cap E=A,\quad A\cup\varnothing=A,\quad A\cap\varnothing=\varnothing,\quad A\cup E=E,\] \[A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C),\qquad A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\quad(\text{distributivité}),\] \[\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B,\qquad \overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B\quad(\textbf{De Morgan}),\] \[A\setminus B=A\cap\overline B,\qquad A\subset B \iff A\cap B=A \iff A\cup B=B.\]

Méthode — identité ensembliste On traduit l'appartenance en logique, par équivalences : \[x\in A\setminus(B\cup C)\iff x\in A \text{ et } x\notin B \text{ et } x\notin C \iff x\in(A\setminus B)\cap(A\setminus C).\] D'où \(A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)\).

1.2.1 Produit cartésien & partition

Produit cartésien \[E\times F=\{(x,y)\mid x\in E \text{ et } y\in F\},\qquad E^2=E\times E.\] Deux couples sont égaux ssi \((x,y)=(x',y')\iff x=x' \text{ et } y=y'\) : l'ordre compte.

Partition Une famille \((A_i)_{i\in I}\) de parties non vides de \(E\) est une partition de \(E\) si \(\bigcup_{i\in I}A_i=E\) et \(i\neq j\Rightarrow A_i\cap A_j=\varnothing\) : chaque élément est dans une et une seule partie.
Exemple : les entiers pairs et impairs forment une partition de \(\mathbb{Z}\).

1.3 Applications

Définition Une application \(f\) de \(E\) vers \(F\) associe à chaque \(x\in E\) un unique \(f(x)\in F\) : \[f:E\longrightarrow F,\qquad x\longmapsto f(x).\] \(E\) : ensemble de départ, \(F\) : d'arrivée ; \(f(x)\) est l'image de \(x\), et tout \(x\) tel que \(f(x)=y\) est un antécédent de \(y\).

Égalité de deux applications \(f,g:E\to F\) sont égales ssi elles ont même départ, même arrivée et \(\forall x\in E,\ f(x)=g(x)\).

1.3.1 Image directe, image réciproque

Définition Pour \(f:E\to F\), \(A\subset E\), \(B\subset F\) : \[f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}\subset F \quad(\text{image directe}),\] \[f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B\}\subset E \quad(\text{image réciproque}).\]

Calcul avec les images \[A\subset A'\Rightarrow f(A)\subset f(A'),\qquad f(A\cup A')=f(A)\cup f(A'),\qquad f(A\cap A')\subset f(A)\cap f(A'),\] \[f^{-1}(B\cup B')=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B'),\qquad f^{-1}(B\cap B')=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(B').\] L'inclusion \(f(A\cap A')\subset f(A)\cap f(A')\) devient une égalité lorsque \(f\) est injective.

\(f^{-1}(B)\) existe toujours L'image réciproque d'une partie \(B\) a un sens même si \(f\) n'est pas bijective : c'est l'ensemble des antécédents des éléments de \(B\). Ne pas la confondre avec la fonction réciproque \(f^{-1}\), qui n'existe que pour une bijection.

1.3.2 Restriction et prolongement

Définition Pour \(f:E\to F\) et \(A\subset E\), la restriction est \(f_{|A}:A\to F,\ x\mapsto f(x)\). Inversement, si \(E\subset E'\) et \(h:E'\to F\) coïncide avec \(f\) sur \(E\), alors \(h\) est un prolongement de \(f\) (non unique en général).
Exemple : \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto x^2\) n'est pas injective, mais \(f_{|[0,+\infty[}:[0,+\infty[\to[0,+\infty[\) est bijective.

1.4 Injection, surjection, bijection

Définition Soit \(f:E\to F\).

injective : \(\forall x,x'\in E,\ f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'\) ;
surjective : \(\forall y\in F,\ \exists x\in E,\ f(x)=y\) ;
bijective : injective et surjective — tout \(y\in F\) a exactement un antécédent.

La lecture qui simplifie tout Pour \(y\in F\), comptez les solutions de \(f(x)=y\) : injective = « au plus une » ; surjective = « au moins une » ; bijective = « exactement une ». C'est la lecture la plus efficace en pratique.

Méthodes

Injectivité : supposer \(f(x)=f(x')\) et aboutir à \(x=x'\). Pour la nier : un couple \(x\neq x'\) avec \(f(x)=f(x')\).
Surjectivité : fixer \(y\in F\) quelconque et résoudre \(f(x)=y\) (au moins une solution).

Exemple. \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=2x-3\) : \(f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'\) (injective) ; \(2x-3=y\Rightarrow x=\frac{y+3}2\) (surjective) ; donc bijective.

1.5 Composée et bijection réciproque

Composée Pour \(f:E\to F\) et \(g:F\to G\) : \((g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)\), avec \(g\circ f:E\to G\).

L'ordre de composition Dans \(g\circ f\), on applique d'abord \(f\), puis \(g\). En général \(g\circ f\neq f\circ g\) — et parfois une seule des deux est définie.

Identité \(\mathrm{id}_E:E\to E,\ x\mapsto x\). Pour tout \(f:E\to F\) : \(f\circ\mathrm{id}_E=f\) et \(\mathrm{id}_F\circ f=f\).

Propriété La composée de deux injections est injective ; de deux surjections, surjective ; donc de deux bijections, bijective.

Théorème — bijection réciproque Si \(f:E\to F\) est bijective, il existe une unique application \(f^{-1}:F\to E\) telle que \[f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_E \quad\text{et}\quad f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_F,\] autrement dit \(f(x)=y \iff x=f^{-1}(y)\). De plus \((g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}\) (l'ordre s'inverse).

Méthode — déterminer \(f^{-1}\) Poser \(y=f(x)\), résoudre en exprimant \(x\) en fonction de \(y\) : la formule obtenue définit \(f^{-1}\). Contrôler départ/arrivée et \(f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_E\), \(f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_F\).

2 · Exercices résolus

De Morgan

Exercice 1

Montrer que pour toutes parties \(A,B\) de \(E\) : \(\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B\).

Voir la correction

Pour tout \(x\in E\) : \(x\in\overline{A\cup B}\iff x\notin A\cup B\iff (x\notin A \text{ et } x\notin B)\iff (x\in\overline A \text{ et } x\in\overline B)\iff x\in\overline A\cap\overline B\). Les deux ensembles ont les mêmes éléments. ∎

Bijection réciproque

Exercice 2

Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=2x-3\). Montrer que \(f\) est bijective et déterminer \(f^{-1}\).

Voir la correction

Pour \(y\in\mathbb{R}\), l'équation \(2x-3=y\) donne \(x=\frac{y+3}2\) : exactement une solution par \(y\). Donc \(f\) est bijective, et \(f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f^{-1}(y)=\frac{y+3}2\). ∎

Injectivité · surjectivité

Exercice 3

Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x^2\). Étudier l'injectivité et la surjectivité.

Voir la correction

Pas injective : \(f(-1)=f(1)=1\) avec \(-1\neq1\). Pas surjective : \(-1\) n'a pas d'antécédent car \(x^2\ge0\). En revanche \(f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+,\ x\mapsto x^2\) est bijective. ∎

L'essentiel du chapitre

Égalité d'ensembles : double inclusion ; ne pas confondre \(\in\) et \(\subset\).
De Morgan : \(\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B\), \(\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B\).
Application : une seule image par \(x\) ; \(f^{-1}(B)\) existe toujours.
Inj / surj / bij = nombre de solutions de \(f(x)=y\) : au plus une / au moins une / exactement une.
Une bijection a une réciproque : \(f(x)=y\iff x=f^{-1}(y)\).

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