1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 3

Généralités sur les fonctions

1 · Résumé du cours

1.1 Domaine, égalité, courbe

Définition Une fonction numérique associe à chaque \(x\) d'une partie \(D\subset\mathbb{R}\) un unique réel \(f(x)\). L'ensemble de définition \(D_f\) est l'ensemble des \(x\) pour lesquels \(f(x)\) existe.

Égalité de deux fonctions \[f=g \iff D_f=D_g \text{ et } \forall x\in D_f,\ f(x)=g(x).\] Une même expression avec deux domaines différents ne définit pas la même fonction.

Les interdits qui restreignent \(D_f\)

dénominateur nul : \(\frac1x\) interdit \(x=0\) ;
racine d'un négatif : \(\sqrt{u(x)}\) impose \(u(x)\ge0\) ;
tangente : \(\tan u(x)\) impose \(\cos u(x)\neq0\).

Toutes les conditions doivent être vérifiées simultanément.

Reconnaître la courbe d'une fonction Une courbe représente une fonction de \(x\) lorsque toute droite verticale la coupe en au plus un point : un même \(x\) ne peut avoir deux images.

1.2 Parité et périodicité

Définition Soit \(D_f\) symétrique par rapport à \(0\) (\(x\in D_f\Rightarrow -x\in D_f\)).

\(f\) paire si \(\forall x\in D_f,\ f(-x)=f(x)\) ;
\(f\) impaire si \(\forall x\in D_f,\ f(-x)=-f(x)\).

Traduction graphique \(f\) paire \(\iff\) \(\mathcal C_f\) symétrique par rapport à l'axe \((Oy)\) ; \(f\) impaire \(\iff\) \(\mathcal C_f\) symétrique par rapport à l'origine \(O\). On peut alors n'étudier \(f\) que sur \(D_f\cap[0,+\infty[\), puis compléter par symétrie.

Méthode — étudier la parité

vérifier que \(D_f\) est symétrique (sinon : ni paire ni impaire) ;
calculer \(f(-x)\) ;
comparer à \(f(x)\) (paire) et à \(-f(x)\) (impaire).

Exemple : \(f(x)=x^2+\cos x\) : \(f(-x)=x^2+\cos x=f(x)\), paire. La seule fonction à la fois paire et impaire est la fonction nulle.

Périodicité \(T\neq0\) est une période de \(f\) si, pour tout \(x\in D_f\) : \(x\pm T\in D_f\) et \(f(x+T)=f(x)\). La plus petite période \(>0\) est la période fondamentale ; \(\mathcal C_f\) est invariante par la translation \(T\vec\imath\). Tout \(kT\) (\(k\in\mathbb{Z}^*\)) est aussi une période.
\(\cos,\sin\) : période \(2\pi\) ; \(\tan\) : période \(\pi\).

1.3 Monotonie (sans dérivée)

Définition Sur un intervalle \(I\), \(f\) est croissante si \(\forall a,b\in I,\ a\le b\Rightarrow f(a)\le f(b)\) (elle conserve l'ordre) ; décroissante si \(a\le b\Rightarrow f(a)\ge f(b)\) (elle inverse l'ordre) ; constante si elle garde la même valeur. Avec des inégalités strictes, la monotonie est stricte.

Taux de variation \[\tau=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\qquad(a\neq b).\] Sur \(I\) : \(f\) croissante \(\iff \tau\ge0\) ; \(f\) décroissante \(\iff \tau\le0\).

Méthode Pour \(asigne de \(f(b)-f(a)\) (ou de \(\tau\)). Signe constant \(\Rightarrow\) \(f\) monotone.
Exemple : \(f(x)=x^2\) sur \([0,+\infty[\) : \(f(b)-f(a)=(b-a)(b+a)>0\), donc strictement croissante.

Deux règles pratiques

\(k+f\) varie comme \(f\) ; \(k\,f\) varie comme \(f\) si \(k>0\), en sens contraire si \(k<0\).
Sur \(-I\) : si \(f\) est paire, le sens s'inverse ; si \(f\) est impaire, il se conserve.

1.4 Majorée, minorée, bornée · extremums

Définition Sur \(D\), \(f\) est majorée s'il existe \(M\) tel que \(\forall x,\ f(x)\le M\) ; minorée s'il existe \(m\) tel que \(f(x)\ge m\) ; bornée si les deux : \(\exists m,M,\ m\le f(x)\le M\). De façon équivalente, \(f\) bornée \(\iff \exists\alpha\ge0,\ |f(x)|\le\alpha\) : \(\mathcal C_f\) reste entre \(y=-\alpha\) et \(y=\alpha\).

Extremums \(f\) a un maximum absolu en \(x_0\) si \(\forall x\in D,\ f(x)\le f(x_0)\) (minimum : \(\ge\)). Un extremum est relatif s'il n'est comparé qu'aux valeurs voisines : \(\exists I\) ouvert contenant \(x_0,\ \forall x\in I\cap D,\ f(x)\le f(x_0)\).

Un majorant n'est pas toujours un maximum \(M\) majore \(f\) sans forcément être une valeur de \(f\). Pour \(f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}\), \(f(x)<1\) partout : \(1\) est un majorant, jamais atteint — ce n'est donc pas un maximum.

1.5 Comparaison & image d'un intervalle

Comparer deux fonctions \(f\le g\) sur \(D\) si \(\forall x\in D,\ f(x)\le g(x)\). Le signe de \(f-g\) situe les courbes :

\(f(x)-g(x)>0\) : \(\mathcal C_f\) au-dessus ;
\(f(x)-g(x)<0\) : \(\mathcal C_f\) au-dessous ;
\(f(x)-g(x)=0\) : les courbes se coupent.

Tout se ramène à une étude de signe (factorisation, tableau).

Image d'un intervalle (fonction monotone) Si \(f\) est continue et monotone sur \([a,b]\) : \[f\ \text{croissante}\Rightarrow f([a,b])=[f(a),f(b)],\qquad f\ \text{décroissante}\Rightarrow f([a,b])=[f(b),f(a)].\]

L'ordre des bornes suit le sens de variation Quand \(f\) décroît, la borne gauche \(a\) donne la plus grande valeur \(f(a)\) : l'intervalle image « se retourne ». Écrire toujours la plus petite valeur en premier.

1.6 Composée de deux fonctions

Définition \[(v\circ u)(x)=v\big(u(x)\big),\qquad D_{v\circ u}=\{x\in D_u\mid u(x)\in D_v\}.\] On détermine \(D_u\), puis on impose \(u(x)\in D_v\).

On applique \(u\) d'abord Dans \(v\circ u\), c'est \(u\) qui agit en premier (« à l'intérieur »), puis \(v\). En général \(v\circ u\neq u\circ v\).

Monotonie d'une composée — règle des signes Sur des intervalles où tout est défini : \(u,v\) de même sens \(\Rightarrow v\circ u\) croissante ; de sens contraires \(\Rightarrow\) décroissante. (\(+\times+=+\), \(-\times-=+\), \(+\times-=-\).)
Exemple : \(h(x)=\sqrt{-x+3}\) : \(u(x)=-x+3\) décroît, \(v(t)=\sqrt t\) croît ⇒ \(h\) décroissante.

Transformations de \(\mathcal C_f\) Sans nouveau calcul, à partir de \(\mathcal C_f\) :

\(f(x)+k\) : translation verticale \(k\,\vec\jmath\) ;
\(f(x-a)\) : translation horizontale \(a\,\vec\imath\) ;
\(-f(x)\) : symétrie par rapport à \((Ox)\) ;
\(f(-x)\) : symétrie par rapport à \((Oy)\) ;
\(|f(x)|\) : la partie sous \((Ox)\) est rabattue au-dessus.

1.7 Fonctions usuelles de référence

Ces variations se démontrent avec le taux de variation ; elles servent de modèles pour toute fonction obtenue par translation, multiplication ou composition.

1.7.1 Fonction affine \(f(x)=ax+b\)

Résultat \(\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=a\). Donc \(f\) strictement croissante si \(a>0\), décroissante si \(a<0\), constante si \(a=0\). Courbe : droite \(y=ax+b\).

1.7.2 Trinôme \(f(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\neq0\))

Forme canonique \[f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta,\qquad \alpha=-\frac{b}{2a},\quad \beta=f(\alpha).\] Si \(a>0\) : décroissante sur \(]-\infty,\alpha]\), croissante sur \([\alpha,+\infty[\), minimum \(\beta\) en \(\alpha\). Si \(a<0\) : l'inverse, maximum \(\beta\). Parabole de sommet \(S(\alpha,\beta)\), axe \(x=\alpha\).

1.7.3 Fonction homographique \(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) (\(c\neq0,\ ad-bc\neq0\))

Résultat \[D_f=\mathbb{R}\setminus\Big\{-\tfrac dc\Big\},\qquad f(x)=\frac ac+\frac{bc-ad}{c(cx+d)},\qquad \frac{f(y)-f(x)}{y-x}=\frac{ad-bc}{(cx+d)(cy+d)}.\] Hyperbole de centre \(I\big(-\frac dc,\frac ac\big)\). Sur chaque intervalle de \(D_f\), \(f\) croît si \(ad-bc>0\), décroît si \(ad-bc<0\).

1.7.4 Racine affine et cube

Résultats

\(f(x)=\sqrt{ax+b}\) : si \(a>0\), \(D_f=[-\frac ba,+\infty[\) croissante ; si \(a<0\), \(D_f=]-\infty,-\frac ba]\) décroissante.
\(x\mapsto x^3\) : impaire, strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Donc \(x\mapsto ax^3\) croît si \(a>0\), décroît si \(a<0\).

Plan d'étude d'une fonction usuelle Dans l'ordre : domaine → symétries → signe du taux de variation → tableau de variations → extremums → éléments géométriques de la courbe.

2 · Exercices résolus

Parité

Exercice 1

Étudier la parité de \(f(x)=\dfrac{x^3-x}{x^2+1}\) sur \(\mathbb{R}\).

Voir la correction

\(D_f=\mathbb{R}\) est symétrique. \(f(-x)=\dfrac{-x^3+x}{x^2+1}=-\dfrac{x^3-x}{x^2+1}=-f(x)\). Donc \(f\) est impaire : \(\mathcal C_f\) est symétrique par rapport à \(O\). ∎

Monotonie

Exercice 2

Montrer que \(f(x)=\dfrac1x\) est décroissante sur \(]0,+\infty[\).

Voir la correction

Pour \(00\), donc \(f(b)-f(a)<0\) : \(f\) est strictement décroissante. ∎

Fonction bornée

Exercice 3

Soit \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\). Montrer que \(-\dfrac12\le f(x)\le\dfrac12\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

Voir la correction

Comme \(x^2+1>0\), on multiplie sans changer de sens, et tout se ramène à un carré parfait.

Majoration : \(f(x)\le\frac12\iff 2x\le x^2+1\iff 0\le(x-1)^2\), toujours vrai.

Minoration : \(f(x)\ge-\frac12\iff x^2+2x+1\ge0\iff(x+1)^2\ge0\), toujours vrai.

Donc \(-\frac12\le f(x)\le\frac12\) : \(f\) est bornée (bornes atteintes en \(x=1\) et \(x=-1\)). ∎

L'essentiel du chapitre

Parité : \(D_f\) symétrique puis \(f(-x)=\pm f(x)\) — on n'étudie qu'une moitié.
Monotonie sans dérivée : signe de \(f(b)-f(a)\) pour \(a
Bornée = majorée et minorée ; un majorant n'est pas toujours un maximum.
Comparer = signe de \(f-g\) (position des courbes).
Composée \(v\circ u\) : \(u\) d'abord ; monotonie par la règle des signes.
Références : affine, trinôme (canonique), homographique, racine, cube.

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