1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 4

Suites numériques

1 · Résumé du cours

1.1 Généralités sur les suites

Définition Pour \(I\subset\mathbb{N}\), une suite numérique est une application \(u:I\to\mathbb{R},\ n\mapsto u_n\). Le réel \(u_n\) est le terme d'indice \(n\) ; on note \((u_n)_{n\in I}\), ou \((u_n)\).

Indices : une écriture à respecter Le terme qui suit \(u_n\) est \(u_{n+1}\) — à ne pas confondre avec \(u_n+1\). Le premier terme n'est pas toujours \(u_0\) : si la suite est définie pour \(n\ge2\), il vaut \(u_2\).

1.1.1 Modes de définition

Définition

explicite : \(u_n\) donné directement en fonction de \(n\), ex. \(u_n=\frac{n^2+1}{2n+1}\) — on calcule \(u_{100}\) sans les précédents ;
par récurrence : premier(s) terme(s) + relation, ex. ordre 1 \(u_0=2,\ u_{n+1}=2u_n+3\) ; ordre 2 \(v_0=0,\ v_1=1,\ v_{n+2}=v_{n+1}+v_n\).

Exemple : \(u_0=2,\ u_{n+1}=2u_n+3\) donne \(u_1=7,\ u_2=17,\ u_3=37\).

Explicite ou récurrente ? Une formule explicite donne \(u_{100}\) directement ; une récurrence demande en principe les termes précédents. On cherche donc souvent à transformer une récurrence en formule explicite.

1.1.2 Suites majorées, minorées, bornées

Définition \((u_n)\) est majorée si \(\exists M,\ \forall n,\ u_n\le M\) ; minorée si \(\exists m,\ u_n\ge m\) ; bornée si les deux, c.-à-d. \(\exists A\ge0,\ \forall n,\ |u_n|\le A\).
Exemple : \(u_n=\frac{n}{n+1}\) vérifie \(0\le u_n<1\) : minorée par \(0\), majorée par \(1\), donc bornée.

Méthode — borne d'une suite récurrente Souvent par récurrence : (1) vérifier au premier indice ; (2) supposer \(u_n\le M\) ; (3) via la relation, démontrer \(u_{n+1}\le M\). Avec racine/quotient, vérifier d'abord définition et signe.

1.1.3 Sens de variation

Définition \((u_n)\) est croissante si \(p\le n\Rightarrow u_p\le u_n\) ; décroissante si \(p\le n\Rightarrow u_p\ge u_n\) ; monotone si l'un des deux. Pour des indices consécutifs : \[(u_n)\text{ croissante}\iff\forall n,\ u_{n+1}-u_n\ge0,\qquad (u_n)\text{ décroissante}\iff u_{n+1}-u_n\le0.\]

Méthode — étudier la monotonie

étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\) ;
si \(u_n>0\), comparer \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\) ;
si \(u_n=f(n)\), étudier les variations de \(f\) ;
si \(u_{n+1}=f(u_n)\), transformer \(u_{n+1}-u_n\) via les bornes de \(u_n\).

Exemple : \(u_n=n^2-n\) : \(u_{n+1}-u_n=2n\ge0\), donc croissante.

1.2 Suites arithmétiques

Définition \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si \(\forall n,\ u_{n+1}=u_n+r\) : on ajoute toujours le même \(r\). Caractérisation : \(u_{n+1}-u_n\) est constant.
Exemple : \(u_n=3n-5\) : \(u_{n+1}-u_n=3\), arithmétique de raison \(3\).

Terme général & variation \[u_n=u_p+(n-p)r,\qquad\text{en particulier } u_n=u_0+nr.\] Variation : strictement croissante si \(r>0\), constante si \(r=0\), strictement décroissante si \(r<0\).
Trois termes \(a,b,c\) consécutifs \(\iff 2b=a+c\).

Somme de termes consécutifs \[u_p+u_{p+1}+\dots+u_n=(n-p+1)\cdot\frac{u_p+u_n}{2}=\text{(nb termes)}\times\frac{\text{1er}+\text{dernier}}{2}.\] En particulier \(1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}2\).

Compter les termes De \(u_p\) à \(u_n\), il y a \(n-p+1\) termes ; de \(u_0\) à \(u_n\), donc \(n+1\). Toujours vérifier ce compte avant d'appliquer une formule de somme.

1.3 Suites géométriques

Définition \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) si \(\forall n,\ u_{n+1}=q\,u_n\) : on multiplie toujours par le même \(q\). Si les termes sont non nuls, caractérisation : \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant.

Terme général & variation \[u_n=u_p\,q^{\,n-p},\qquad\text{en particulier } u_n=u_0\,q^n.\] Pour des termes strictement positifs : croissante si \(q>1\), constante si \(q=1\), décroissante si \(0alternent (non monotone en général).
Trois termes \(a,b,c\) consécutifs \(\Rightarrow b^2=ac\) (réciproque si \(a\neq0\), avec \(q=\frac ba\)).

Somme de termes consécutifs Si \(q=1\) : \(u_p+\dots+u_n=(n-p+1)u_p\). Si \(q\neq1\) : \[u_p+u_{p+1}+\dots+u_n=u_p\cdot\frac{1-q^{\,n-p+1}}{1-q},\qquad 1+q+\dots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.\]

Méthode — retrouver la somme Poser \(S=u_p+\dots+u_n\), multiplier par \(q\) : \(qS=u_{p+1}+\dots+u_{n+1}\). Par soustraction, les termes intermédiaires s'éliminent : \((1-q)S=u_p-u_{n+1}\), avec \(u_{n+1}=u_p\,q^{n-p+1}\).

Formule à retenir Pour \(q\neq1\) : \(\text{somme}=\text{1er terme}\times\dfrac{1-q^{\,\text{nb termes}}}{1-q}\). C'est le nombre de termes, pas le dernier indice, qui donne l'exposant de \(q\).

1.4 Suites auxiliaires : \(u_{n+1}=au_n+b\)

Certaines suites ne sont ni arithmétiques ni géométriques, mais s'y ramènent par un changement de variable.

Méthode — point fixe Pour \(a\neq1\), on cherche \(\alpha\) tel que \(\alpha=a\alpha+b\), soit \(\alpha=\dfrac{b}{1-a}\). En posant \(v_n=u_n-\alpha\) : \[v_{n+1}=u_{n+1}-\alpha=a(u_n-\alpha)=a\,v_n,\] donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(a\). On exprime \(v_n\), puis \(u_n\), en fonction de \(n\).
Exemple : \(u_{n+1}=2u_n+3\) : \(\alpha=2\alpha+3\Rightarrow\alpha=-3\) ; \(v_n=u_n+3\) vérifie \(v_{n+1}=2v_n\).

2 · Exercices résolus

Arithmétique

Exercice 1

\((u_n)\) : \(u_0=5\), \(u_{n+1}=u_n-3\). Nature, terme général, puis \(S=u_0+u_1+\dots+u_{10}\).

Voir la correction

\(u_{n+1}-u_n=-3\) constant : arithmétique de raison \(r=-3\), donc \(u_n=5-3n\). La somme compte \(11\) termes, \(u_{10}=-25\) :

\(S=11\times\dfrac{u_0+u_{10}}{2}=11\times\dfrac{5+(-25)}2=11\times(-10)=-110\). ∎

Géométrique

Exercice 2

\((v_n)\) géométrique, \(v_0=2\), \(q=3\). Calculer \(v_5\) et \(S=v_0+\dots+v_5\).

Voir la correction

\(v_n=2\cdot3^n\), donc \(v_5=2\cdot243=486\). Somme de \(6\) termes :

\(S=v_0\dfrac{1-q^6}{1-q}=2\times\dfrac{1-729}{-2}=728\). ∎

Suite auxiliaire

Exercice 3

\((w_n)\) : \(w_0=1\), \(w_{n+1}=2w_n+3\). On pose \(t_n=w_n+3\). Montrer que \((t_n)\) est géométrique, puis exprimer \(w_n\).

Voir la correction

\(t_{n+1}=w_{n+1}+3=2w_n+6=2(w_n+3)=2t_n\) : géométrique de raison \(2\), \(t_0=4\). Donc \(t_n=4\cdot2^n=2^{n+2}\), d'où \(w_n=t_n-3=2^{n+2}-3\). ∎

L'essentiel du chapitre

Arithmétique : \(+r\), \(u_n=u_0+nr\), variation selon le signe de \(r\).
Géométrique : \(\times q\), \(u_n=u_0q^n\).
Sommes : arithmétique = (nb termes)\(\times\frac{\text{1er}+\text{dernier}}2\) ; géométrique = (1er)\(\times\frac{1-q^{\text{nb termes}}}{1-q}\).
Monotonie : signe de \(u_{n+1}-u_n\), ou \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) vs \(1\) (termes positifs).
Une suite auxiliaire \(v_n=u_n-\alpha\) transforme \(u_{n+1}=au_n+b\) en suite géométrique.

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