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1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 5
Le barycentre dans le plan
1 · Résumé du cours
1.1 Points et systèmes pondérés
Définition
Pour un point \(A\) et un réel \(\alpha\neq0\), le couple \((A,\alpha)\) est un point pondéré ; \(\alpha\) est son poids. Un ensemble \(\{(A_1,\alpha_1),\dots,(A_n,\alpha_n)\}\) est un système pondéré, de somme des poids \(s=\alpha_1+\dots+\alpha_n\).
Condition à vérifier en premier
Avant tout, calculer la somme des poids. Le barycentre n'est défini que lorsque cette somme est non nulle.
1.2 Barycentre de deux points
Théorème — existence et unicité
Si \(\alpha+\beta\neq0\), il existe un unique point \(G\) tel que
\[\alpha\,\overrightarrow{GA}+\beta\,\overrightarrow{GB}=\vec0,\qquad G=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}.\]
De façon équivalente : \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{AB}\) — ce qui prouve à la fois existence, unicité et alignement de \(A,B,G\).
Démonstration
Avec \(\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}\) : \(\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}=\vec0\iff(\alpha+\beta)\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{AB}=\vec0\iff\overrightarrow{AG}=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}\). Ce vecteur est déterminé : \(G\) est unique.
Pourquoi exclure \(\alpha+\beta=0\) ?
Si \(A\neq B\) et \(\alpha+\beta=0\), la relation donne \(\alpha\overrightarrow{AB}=\vec0\), impossible. Si \(A=B\), tout point convient : pas d'unicité.
1.2.1 Position, construction, isobarycentre
Position de \(G\)
Avec \(t=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\) : \(\overrightarrow{AG}=t\,\overrightarrow{AB}\). Si \(\alpha,\beta\) de même signe, \(0contraires, \(G\) est à l'extérieur de \([AB]\).
Exemple : \(G=\mathrm{bar}\{(A,2),(B,1)\}\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\frac13\overrightarrow{AB}\) : au tiers de \([AB]\) depuis \(A\).
Exemple : \(G=\mathrm{bar}\{(A,2),(B,1)\}\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\frac13\overrightarrow{AB}\) : au tiers de \([AB]\) depuis \(A\).
Homogénéité & isobarycentre
Pour tout \(k\neq0\) : \(\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}=\mathrm{bar}\{(A,k\alpha),(B,k\beta)\}\) — on peut simplifier les poids. Lorsque \(\alpha=\beta\neq0\), \(\overrightarrow{AG}=\frac12\overrightarrow{AB}\) : \(G\) est le milieu de \([AB]\), l'isobarycentre.
1.2.2 Propriété caractéristique
Théorème
Pour \(\alpha+\beta\neq0\), \(G\) est le barycentre ssi, pour tout point \(M\) :
\[\alpha\,\overrightarrow{MA}+\beta\,\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\,\overrightarrow{MG}.\]
La formule qui « réduit » une somme de vecteurs
Elle remplace une somme de vecteurs de même origine \(M\) par un seul vecteur. Face à \(\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}\), le réflexe est d'introduire le barycentre.
1.2.3 Coordonnées et lieux
Coordonnées
Dans un repère, pour \(G=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}\) :
\[x_G=\frac{\alpha x_A+\beta x_B}{\alpha+\beta},\qquad y_G=\frac{\alpha y_A+\beta y_B}{\alpha+\beta}\]
(propriété caractéristique avec \(M=O\)).
Exemple : \(A(3,2),B(4,1)\), \(G=\mathrm{bar}\{(A,1),(B,-5)\}\) : \(x_G=\frac{3-20}{-4}=\frac{17}4\), \(y_G=\frac{2-5}{-4}=\frac34\).
Exemple : \(A(3,2),B(4,1)\), \(G=\mathrm{bar}\{(A,1),(B,-5)\}\) : \(x_G=\frac{3-20}{-4}=\frac{17}4\), \(y_G=\frac{2-5}{-4}=\frac34\).
Méthode — lieux géométriques
Avec \(s=\alpha+\beta\neq0\) : \(\big\|\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}\big\|=r\iff|s|\,MG=r\iff MG=\frac r{|s|}\) → cercle de centre \(G\), rayon \(\frac r{|s|}\). Si deux réductions donnent \(s\overrightarrow{MG}\) et \(s\overrightarrow{MH}\), l'égalité des normes donne \(MG=MH\) → médiatrice de \([GH]\).
1.3 Barycentre de trois points
Définition & propriété caractéristique
Si \(\alpha+\beta+\gamma\neq0\), il existe un unique \(G\) tel que \(\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}+\gamma\overrightarrow{GC}=\vec0\), et pour tout \(M\) :
\[\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}+\gamma\overrightarrow{MC}=(\alpha+\beta+\gamma)\overrightarrow{MG}.\]
Coordonnées : \(x_G=\frac{\alpha x_A+\beta x_B+\gamma x_C}{\alpha+\beta+\gamma}\) (idem pour \(y_G\)). Invariance par multiplication des poids.
Théorème — associativité (barycentre partiel)
Si \(\alpha+\beta\neq0\) et \(H=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}\), alors (pour \(\alpha+\beta+\gamma\neq0\)) :
\[\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta),(C,\gamma)\}=\mathrm{bar}\{(H,\alpha+\beta),(C,\gamma)\}.\]
On remplace une partie du système par son barycentre, affecté de la somme des poids regroupés.
Méthode — construire \(G\)
(1) construire \(H=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}\) ; (2) l'affecter du poids \(\alpha+\beta\) ; (3) construire \(G=\mathrm{bar}\{(H,\alpha+\beta),(C,\gamma)\}\). Si \(\alpha+\beta=0\), regrouper autrement.
L'associativité prouve les concours
Elle ramène un barycentre de trois points à un point d'une droite. Pour un alignement, on regroupe deux points dont le barycentre partiel est déjà connu.
Centre de gravité d'un triangle
L'isobarycentre \(G=\mathrm{bar}\{(A,1),(B,1),(C,1)\}\) est le centre de gravité. Avec \(I\) milieu de \([BC]\) : \(G=\mathrm{bar}\{(A,1),(I,2)\}\), donc
\[\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AI}.\]
\(G\) est le point de concours des trois médianes, aux \(\frac23\) de chacune depuis le sommet.
1.4 Barycentre de quatre points (et plus)
Théorème
Si \(s=\alpha+\beta+\gamma+\delta\neq0\), il existe un unique \(G\) tel que \(\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}+\gamma\overrightarrow{GC}+\delta\overrightarrow{GD}=\vec0\), et pour tout \(M\) : \(\sum\overrightarrow{M\cdot}=s\,\overrightarrow{MG}\). Coordonnées : moyenne pondérée, dénominateur \(s\).
Méthode — regrouper deux paires
Si \(\alpha+\beta\neq0\) et \(\gamma+\delta\neq0\), poser \(H=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}\), \(K=\mathrm{bar}\{(C,\gamma),(D,\delta)\}\). Alors \(G=\mathrm{bar}\{(H,\alpha+\beta),(K,\gamma+\delta)\}\).
Tout se généralise
Existence (somme \(\neq0\)), propriété caractéristique, coordonnées pondérées, invariance et associativité valent pour un nombre quelconque de points.
2 · Exercices résolus
Coordonnées
Exercice 1
\(A(1,2)\), \(B(4,-1)\). Déterminer \(G=\mathrm{bar}\{(A,2),(B,1)\}\).
Voir la correction
Somme \(=3\neq0\). \(x_G=\frac{2\cdot1+1\cdot4}3=2\), \(y_G=\frac{2\cdot2+1\cdot(-1)}3=1\). Donc \(G(2,1)\) ; poids de même signe ⇒ \(G\in[AB]\). ∎
Réduction · lieu
Exercice 2
Réduire \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\), puis déterminer l'ensemble des \(M\) tels que \(\big\|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\big\|=8\).
Voir la correction
Somme des poids \(=4\neq0\) : soit \(G=\mathrm{bar}\{(A,2),(B,1),(C,1)\}\). Alors \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}\). L'équation \(\|4\overrightarrow{MG}\|=8\) donne \(MG=2\) : cercle de centre \(G\), rayon \(2\). ∎
Médiane · associativité
Exercice 3
\(ABC\) triangle, \(I\) milieu de \([BC]\). Montrer que le centre de gravité \(G\) vérifie \(\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AI}\).
Voir la correction
\(G=\mathrm{bar}\{(A,1),(B,1),(C,1)\}\). Par associativité, \(I=\mathrm{bar}\{(B,1),(C,1)\}\) donne \(G=\mathrm{bar}\{(A,1),(I,2)\}\). La propriété caractéristique en \(M=A\) : \(2\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{AG}\), d'où \(\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AI}\). ∎
L'essentiel du chapitre
- Existence : défini dès que la somme des poids \(\neq0\).
- Propriété caractéristique : \(\sum\alpha_i\overrightarrow{MA_i}=(\sum\alpha_i)\overrightarrow{MG}\) — elle réduit toute somme pondérée.
- Coordonnées : moyenne pondérée.
- Homogénéité : multiplier les poids par \(k\neq0\) ne change rien.
- Associativité : barycentre partiel — l'outil des alignements et concours.
- Isobarycentre d'un triangle = centre de gravité, aux \(\frac23\) des médianes.
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