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1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 6
Le produit scalaire dans le plan
1 · Résumé du cours
1.1 Produit scalaire dans le plan
Repère orthonormé
Une base \((\vec\imath,\vec\jmath)\) est orthogonale si \(\vec\imath\perp\vec\jmath\), normée si \(\|\vec\imath\|=\|\vec\jmath\|=1\), orthonormée si les deux. Le repère est direct quand l'orientation \(\vec\imath\to\vec\jmath\) est le sens positif.
Définition — produit scalaire
Pour \(\vec u,\vec v\) non nuls, en notant \(H\) le projeté orthogonal :
\[\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\times(\text{projection algébrique de }\vec v\text{ sur }\vec u).\]
Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul.
Expression trigonométrique
\[\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v).\]
Le cosinus ne dépend pas du représentant choisi. Signe : angle aigu ⇒ \(\vec u\cdot\vec v>0\) ; obtus ⇒ \(<0\) ; et surtout \(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\).
Propriétés algébriques
Pour tous \(\vec u,\vec v,\vec w\) et \(\lambda\in\mathbb{R}\) :
\[\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u,\quad \vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w,\quad (\lambda\vec u)\cdot\vec v=\lambda(\vec u\cdot\vec v),\quad \vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2\ge0.\]
Et \(\vec u\cdot\vec u=0\iff\vec u=\vec0\).
Identités utiles
\[\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2,\qquad \|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2-2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2,\]
\[(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2,\qquad \vec u\cdot\vec v=\tfrac12\big(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\big).\]
1.2 Expression analytique (repère orthonormé)
Théorème
Si \(\vec u(x,y)\) et \(\vec v(x',y')\) dans un repère orthonormé :
\[\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\]
(car \(\vec\imath\cdot\vec\jmath=0\) et \(\vec\imath^{\,2}=\vec\jmath^{\,2}=1\)).
Norme, distance, milieu
\[\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2},\qquad AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},\qquad I\Big(\tfrac{x_A+x_B}2,\tfrac{y_A+y_B}2\Big).\]
Angles, déterminant, aire
Pour \(\vec u(x,y),\vec v(x',y')\) non nuls :
\[\cos(\vec u,\vec v)=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x'^2+y'^2}},\qquad \det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y,\qquad \sin(\vec u,\vec v)=\frac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}.\]
Aire du triangle : \(\mathcal A_{ABC}=\tfrac12\big|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\big|\).
Forme trigonométrique d'un vecteur
Tout \(\vec u\neq\vec0\) s'écrit \(\vec u=\|\vec u\|(\cos\alpha\,\vec\imath+\sin\alpha\,\vec\jmath)\) avec \(\alpha=(\vec\imath,\vec u)\). Alors \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\beta-\alpha)\) et \(\det(\vec u,\vec v)=\|\vec u\|\|\vec v\|\sin(\beta-\alpha)\).
Deux inégalités fondamentales
Cauchy–Schwarz : \(|\vec u\cdot\vec v|\le\|\vec u\|\,\|\vec v\|\) (égalité ssi colinéaires), soit \((xx'+yy')^2\le(x^2+y^2)(x'^2+y'^2)\).
Inégalité triangulaire : \(\|\vec u+\vec v\|\le\|\vec u\|+\|\vec v\|\) (égalité si même sens).
Exemple : \(\vec u(3,1),\vec v(-2,4)\) : \(\vec u\cdot\vec v=-6+4=-2\neq0\) (non orthogonaux), \(\|\vec u\|=\sqrt{10}\).
Inégalité triangulaire : \(\|\vec u+\vec v\|\le\|\vec u\|+\|\vec v\|\) (égalité si même sens).
Exemple : \(\vec u(3,1),\vec v(-2,4)\) : \(\vec u\cdot\vec v=-6+4=-2\neq0\) (non orthogonaux), \(\|\vec u\|=\sqrt{10}\).
1.3 Étude analytique des droites
Vecteur normal
Un vecteur normal à \((D)\) est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur directeur de \((D)\).
Équation cartésienne
La droite par \(A(x_A,y_A)\) de vecteur normal \(\vec n(a,b)\) :
\[a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\iff ax+by+c=0.\]
Réciproquement, si \((a,b)\neq(0,0)\), \(ax+by+c=0\) a pour normal \(\vec n(a,b)\) et pour directeur \(\vec d(-b,a)\).
Positions relatives
Pour \((D):ax+by+c=0\) et \((D'):a'x+b'y+c'=0\) :
\[(D)\parallel(D')\iff ab'-a'b=0,\qquad (D)\perp(D')\iff aa'+bb'=0.\]
Parallèles : confondues si \((a,b,c)\) et \((a',b',c')\) proportionnels ; sinon strictement parallèles.
Distance d'un point à une droite
\[d\big(M,(D)\big)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]
Méthode
Pour une droite définie par un point et une orthogonalité : choisir le vecteur normal \(\vec n\), écrire \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\). Dans \(ax+by+c=0\), le normal \(\vec n(a,b)\) se lit immédiatement.
1.4 Étude analytique du cercle
Centre et rayon
Le cercle de centre \(\Omega(a,b)\), rayon \(r>0\) :
\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.\]
Équation générale
Pour \(x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0\), posons \(\Delta_c=\alpha^2+\beta^2-4\gamma\). En complétant les carrés : \(\big(x+\tfrac\alpha2\big)^2+\big(y+\tfrac\beta2\big)^2=\tfrac{\Delta_c}4\).
- \(\Delta_c>0\) : cercle de centre \(\Omega(-\tfrac\alpha2,-\tfrac\beta2)\), rayon \(r=\tfrac12\sqrt{\Delta_c}\) ;
- \(\Delta_c=0\) : réduit au point \(\Omega\) ;
- \(\Delta_c<0\) : ensemble vide.
Cercle de diamètre \([AB]\)
Si \(A\neq B\) : \(M\in\mathcal C_{[AB]}\iff\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\). Centre = milieu de \([AB]\), rayon \(=\frac{AB}2\).
Trois points non alignés déterminent un unique cercle (intersection des médiatrices).
Trois points non alignés déterminent un unique cercle (intersection des médiatrices).
Positions & tangente
Point : \(\Omega Mr\) extérieur. Droite (avec \(d=d(\Omega,(D))\)) : \(d>r\) aucune intersection, \(d=r\) tangente, \(dTangente en \(M_0(x_0,y_0)\) du cercle (perpendiculaire au rayon) :
\[(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0,\quad\text{ou}\quad (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2.\]
Représentation paramétrique
\[\begin{cases}x=a+r\cos t\\ y=b+r\sin t\end{cases}\quad t\in[0,2\pi[.\]
Méthode — reconnaître et étudier un cercle
Compléter les carrés pour le centre et le rayon. Pour la position d'une droite, comparer la distance du centre au rayon (inutile de résoudre un système). Pour une tangente en un point connu, le rayon fournit le vecteur normal.
2 · Exercices résolus
Droite · distance
Exercice 1
\(A(1,2)\), \(\vec n(3,-1)\). Équation de \((D)\) par \(A\) de normal \(\vec n\), puis distance de \(O\) à \((D)\).
Voir la correction
\((D):3(x-1)-1(y-2)=0\), soit \(3x-y-1=0\). Distance : \(d(O,(D))=\dfrac{|{-1}|}{\sqrt{9+1}}=\dfrac1{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}\). ∎
Cercle · carrés
Exercice 2
Centre et rayon du cercle \(x^2+y^2-4x+6y-3=0\).
Voir la correction
\((x-2)^2-4+(y+3)^2-9-3=0\iff(x-2)^2+(y+3)^2=16\). Centre \(\Omega(2,-3)\), rayon \(r=4\). ∎
Cercle de diamètre
Exercice 3
\(A(0,1)\), \(B(4,3)\). Équation du cercle de diamètre \([AB]\).
Voir la correction
\(M\) sur le cercle ssi \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\), avec \(\overrightarrow{MA}(-x,1-y)\), \(\overrightarrow{MB}(4-x,3-y)\) : \((-x)(4-x)+(1-y)(3-y)=0\iff x^2-4x+y^2-4y+3=0\), soit \((x-2)^2+(y-2)^2=5\) (centre \((2,2)\), rayon \(\sqrt5=\frac{AB}2\)). ∎
L'essentiel du chapitre
- Analytique : \(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\), \(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}\).
- Orthogonalité \(\iff\) produit scalaire nul ; angle par \(\cos=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\).
- Droite \(ax+by+c=0\) : normal \(\vec n(a,b)\) ; distance \(\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).
- Cercle : \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) ; diamètre \([AB]\) : \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) ; forme développée ⇒ compléter les carrés.
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