1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 7

Calcul trigonométrique (1)

1 · Résumé du cours

1.1 Cercle trigonométrique et mesures

Définition Le cercle trigonométrique est de centre \(O\), rayon \(1\), d'origine \(I\), orienté dans le sens direct (inverse des aiguilles = positif). La mesure en radians d'un angle égale la longueur algébrique de l'arc : un tour \(=2\pi\), un demi-tour \(=\pi\), un quart \(=\frac\pi2\).

Conversion degrés ↔ radians Puisque \(180^\circ=\pi\) rad : \(x\text{ rad}=\big(\tfrac{180x}\pi\big)^\circ\) et \(\alpha^\circ=\tfrac{\alpha\pi}{180}\text{ rad}\). Ex. \(60^\circ=\frac\pi3\), \(\frac{5\pi}6=150^\circ\).

Abscisse curviligne & mesure principale L'enroulement associe à \(x\) un point \(M\) ; toutes les abscisses de \(M\) sont \(x+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\). L'unique mesure dans \(]-\pi,\pi]\) est la mesure principale. On l'obtient en ajoutant/retranchant des \(2\pi\).
Exemples : \(\frac{17\pi}6-2\pi=\frac{5\pi}6\) ; \(-\frac{13\pi}4+4\pi=\frac{3\pi}4\).

1.1.1 Cosinus, sinus, tangente

Définition Dans le repère orthonormé direct, si \(M\) est associé à \(x\) : \(M(\cos x,\sin x)\). Lorsque \(\cos x\neq0\) : \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) (non définie pour \(x=\frac\pi2+k\pi\)).

Identités et périodicité \[\cos^2x+\sin^2x=1,\qquad -1\le\cos x\le1,\qquad -1\le\sin x\le1,\qquad 1+\tan^2x=\frac1{\cos^2x}.\] \(\cos,\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques ; \(\tan\) est \(\pi\)-périodique : \(\cos(x+2k\pi)=\cos x\), \(\tan(x+k\pi)=\tan x\).

Valeurs remarquables \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & \tfrac\pi6 & \tfrac\pi4 & \tfrac\pi3 & \tfrac\pi2\\ \hline \cos x & 1 & \tfrac{\sqrt3}2 & \tfrac{\sqrt2}2 & \tfrac12 & 0\\ \hline \sin x & 0 & \tfrac12 & \tfrac{\sqrt2}2 & \tfrac{\sqrt3}2 & 1\\ \hline \tan x & 0 & \tfrac{\sqrt3}3 & 1 & \sqrt3 & \text{n.d.}\\ \hline\end{array}\]

Signes selon le quadrant \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x & ]0,\tfrac\pi2[ & ]\tfrac\pi2,\pi[ & ]\pi,\tfrac{3\pi}2[ & ]\tfrac{3\pi}2,2\pi[\\ \hline \cos x & + & - & - & +\\ \hline \sin x & + & + & - & -\\ \hline \tan x & + & - & + & -\\ \hline\end{array}\]

1.2 Angles associés

Cosinus et sinus \[\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{angle} & \cos & \sin\\ \hline -x & \cos x & -\sin x\\ \hline \pi-x & -\cos x & \sin x\\ \hline \pi+x & -\cos x & -\sin x\\ \hline \tfrac\pi2-x & \sin x & \cos x\\ \hline \tfrac\pi2+x & -\sin x & \cos x\\ \hline\end{array}\] En particulier, \(\cos\) est paire, \(\sin\) est impaire.

Tangente \[\tan(-x)=-\tan x,\quad \tan(\pi-x)=-\tan x,\quad \tan(\pi+x)=\tan x,\quad \tan\big(\tfrac\pi2-x\big)=\frac1{\tan x}.\]

Retrouver les signes Placer le point associé à \(x\) et appliquer la symétrie voulue : réflexion / \((Ox)\) change le signe du sinus ; / \((Oy)\) change celui du cosinus ; symétrie centrale change les deux.

1.3 Formules d'addition

Cosinus et sinus \[\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b,\qquad \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b,\] \[\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b,\qquad \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b.\]

Démonstration (produit scalaire) Avec \(\vec u=(\cos a,\sin a)\), \(\vec v=(\cos b,\sin b)\) unitaires, l'angle entre eux vaut \(a-b\) : \(\vec u\cdot\vec v=\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\). Les autres suivent en remplaçant \(b\) par \(-b\).

Tangente \[\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b},\qquad \tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}\] (dénominateurs non nuls sous les conditions de définition).

Mémoriser les signes « Le cosinus contrarie, le sinus suit » : dans \(\cos(a+b)\) le signe intérieur est changé, dans \(\sin(a+b)\) il est conservé.
Exemple : \(\cos\frac{5\pi}{12}=\cos(\frac\pi4+\frac\pi6)=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4\).

1.4 Duplication, demi-angle, paramétrage

Angle double \[\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x,\qquad \sin(2x)=2\sin x\cos x,\qquad \tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}.\]

Demi-angle \[\cos^2\frac x2=\frac{1+\cos x}2,\qquad \sin^2\frac x2=\frac{1-\cos x}2,\qquad \sin x=2\sin\frac x2\cos\frac x2.\] Pour \(\cos\frac x2\) ou \(\sin\frac x2\), choisir le signe de la racine selon le quadrant de \(\frac x2\).
Exemple : \(\cos\frac\pi8=\sqrt{\frac{1+\cos(\pi/4)}2}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\).

Changement \(t=\tan\frac x2\) Pour \(x\neq\pi+2k\pi\), avec \(t=\tan\frac x2\) : \[\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \tan x=\frac{2t}{1-t^2}.\]

Quand utiliser \(t=\tan\frac x2\) Ce changement rend une expression en \(\sin x,\cos x\) rationnelle en \(t\). Avant de l'employer dans une équation, traiter à part les valeurs exclues \(x=\pi+2k\pi\).

1.5 Linéarisation & somme–produit

Linéariser Transformer produits ou puissances en une somme de sinus/cosinus du premier degré : \[\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}2,\qquad \sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}2,\qquad \sin x\cos x=\frac12\sin(2x).\] En répétant : \(\cos^3x=\frac{3\cos x+\cos(3x)}4\), \(\sin^3x=\frac{3\sin x-\sin(3x)}4\).

Produit → somme \[\cos a\cos b=\tfrac12[\cos(a-b)+\cos(a+b)],\qquad \sin a\sin b=\tfrac12[\cos(a-b)-\cos(a+b)],\] \[\sin a\cos b=\tfrac12[\sin(a+b)+\sin(a-b)],\qquad \cos a\sin b=\tfrac12[\sin(a+b)-\sin(a-b)].\]

Somme → produit \[\cos p+\cos q=2\cos\tfrac{p+q}2\cos\tfrac{p-q}2,\qquad \cos p-\cos q=-2\sin\tfrac{p+q}2\sin\tfrac{p-q}2,\] \[\sin p+\sin q=2\sin\tfrac{p+q}2\cos\tfrac{p-q}2,\qquad \sin p-\sin q=2\cos\tfrac{p+q}2\sin\tfrac{p-q}2.\]

Choisir la bonne transformation

éliminer un carré/une puissance → linéariser ;
simplifier un produit → produit vers somme ;
factoriser / préparer une équation → somme vers produit ;
rationaliser \(\sin x\) et \(\cos x\) → \(t=\tan\frac x2\) (valeurs exclues).

2 · Exercices résolus

Addition

Exercice 1

Calculer \(\cos\dfrac{\pi}{12}\).

Voir la correction

\(\frac\pi{12}=\frac\pi3-\frac\pi4\), donc \(\cos\frac\pi{12}=\cos\frac\pi3\cos\frac\pi4+\sin\frac\pi3\sin\frac\pi4=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt2}2=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}4\). ∎

Angles associés

Exercice 2

Simplifier \(A=\cos(\tfrac\pi2-a)+\cos(\pi-a)+\cos(\pi+a)\).

Voir la correction

\(\cos(\tfrac\pi2-a)=\sin a\), \(\cos(\pi-a)=-\cos a\), \(\cos(\pi+a)=-\cos a\). Donc \(A=\sin a-2\cos a\). ∎

Linéarisation

Exercice 3

Linéariser \(\sin^2x\cos^2x\).

Voir la correction

\(\sin x\cos x=\frac12\sin(2x)\) donc \(\sin^2x\cos^2x=\frac14\sin^2(2x)=\frac14\cdot\frac{1-\cos(4x)}2=\dfrac{1-\cos(4x)}8\). ∎

L'essentiel du chapitre

Angles associés : symétries sur le cercle (\(-a,\ \pi-a,\ \pi+a,\ \frac\pi2-a\)).
Addition : « le cos contrarie, le sin suit ».
Duplication : \(\cos2a\) a trois formes ; d'où la linéarisation \(\cos^2a=\frac{1+\cos2a}2\), \(\sin^2a=\frac{1-\cos2a}2\).
Produit → somme pour linéariser ; somme → produit pour factoriser.

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