1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 8

Calcul trigonométrique (2)

1 · Résumé du cours

1.1 Transformation de \(a\cos x+b\sin x\)

Théorème Pour \((a,b)\neq(0,0)\), on peut écrire \[a\cos x+b\sin x=R\cos(x-\varphi),\] où \(R=\sqrt{a^2+b^2}\), et \(\varphi\) vérifie \(\cos\varphi=\dfrac aR\) et \(\sin\varphi=\dfrac bR\).

Pourquoi cette forme est si utile Sous la forme \(R\cos(x-\varphi)\), la fonction \(x\mapsto a\cos x+b\sin x\) révèle tout : son maximum vaut \(R\), son minimum \(-R\), et l'équation \(a\cos x+b\sin x=m\) se ramène à \(\cos(x-\varphi)=\frac mR\). Elle n'a donc de solution que si \(|m|\le R\).

Exemple Pour \(\cos x+\sqrt3\,\sin x\) : \(R=\sqrt{1+3}=2\), \(\cos\varphi=\frac12\) et \(\sin\varphi=\frac{\sqrt3}2\) donnent \(\varphi=\frac\pi3\). Donc \[\cos x+\sqrt3\,\sin x=2\cos\big(x-\tfrac\pi3\big).\]

1.2 Équations de référence

Propriété Pour \(k\in\mathbb{Z}\) : \[\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ ou }\ x=-\alpha+2k\pi,\] \[\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ ou }\ x=\pi-\alpha+2k\pi,\] \[\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi.\]

Méthode — résoudre une équation

Se ramener à une référence

\(\cos x=\cos\alpha\) (ou \(\sin\), \(\tan\)) par factorisation, linéarisation, ou forme \(R\cos(x-\varphi)\).

Écrire toutes les solutions

Ne pas oublier le \(+2k\pi\) (ou \(+k\pi\)).

Filtrer par l'intervalle

Sélectionner les \(k\) qui placent une solution dans l'intervalle imposé.

1.3 Inéquations trigonométriques

Méthode — résoudre une inéquation Par exemple \(\cos x\ge\dfrac12\) sur \([0,2\pi[\) :

résoudre d'abord l'équation associée \(\cos x=\frac12\) (ici \(x=\frac\pi3\) et \(x=\frac{5\pi}3\)) ;
lire le cercle (ou la courbe) pour repérer l'arc où la condition est vraie ;
conclure par un intervalle de solutions.

Sur \([0,2\pi[\) : \(\cos x\ge\frac12\iff x\in\big[0,\frac\pi3\big]\cup\big[\frac{5\pi}3,2\pi\big[\).

Le cercle tranche l'inéquation Une inéquation trigonométrique ne se « calcule » pas : elle se lit. Après avoir marqué les points d'égalité sur le cercle, il suffit de repérer l'arc où \(\cos\) (abscisse) ou \(\sin\) (ordonnée) respecte l'inégalité.

2 · Exercices résolus

Équation

Exercice 1

Résoudre dans \([0,2\pi[\) l'équation \(2\cos x-1=0\).

Voir la correction

\(2\cos x-1=0\iff\cos x=\frac12=\cos\frac\pi3\). D'où \(x=\frac\pi3+2k\pi\) ou \(x=-\frac\pi3+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).

Dans \([0,2\pi[\) : \(x=\frac\pi3\) et \(x=-\frac\pi3+2\pi=\frac{5\pi}3\). Donc \(S=\left\{\frac\pi3,\ \frac{5\pi}3\right\}\). ∎

Forme \(R\cos\)

Exercice 2

Écrire \(\cos x+\sqrt3\,\sin x\) sous la forme \(R\cos(x-\varphi)\), puis résoudre \(\cos x+\sqrt3\,\sin x=1\) dans \([0,2\pi[\).

Voir la correction

On a \(\cos x+\sqrt3\,\sin x=2\cos\big(x-\frac\pi3\big)\). L'équation devient \(2\cos(x-\frac\pi3)=1\), soit \(\cos(x-\frac\pi3)=\frac12=\cos\frac\pi3\) :

\(x-\frac\pi3=\frac\pi3+2k\pi\) ou \(x-\frac\pi3=-\frac\pi3+2k\pi\), d'où \(x=\frac{2\pi}3+2k\pi\) ou \(x=2k\pi\).

Dans \([0,2\pi[\) : \(x\in\left\{0,\ \frac{2\pi}3\right\}\). ∎

Inéquation

Exercice 3

Résoudre dans \([0,2\pi[\) l'inéquation \(2\sin x-1\ge0\).

Voir la correction

\(2\sin x-1\ge0\iff\sin x\ge\frac12\). L'égalité \(\sin x=\frac12\) donne \(x=\frac\pi6\) et \(x=\frac{5\pi}6\). Le sinus (ordonnée) est \(\ge\frac12\) sur l'arc situé entre ces deux angles :

\(x\in\left[\frac\pi6,\ \frac{5\pi}6\right]\). ∎

L'essentiel du chapitre

\(a\cos x+b\sin x=R\cos(x-\varphi)\), \(R=\sqrt{a^2+b^2}\) : donne max, min et résout \(a\cos x+b\sin x=m\) (solution si \(|m|\le R\)).
Équations : se ramener à \(\cos x=\cos\alpha\) (ou \(\sin\), \(\tan\)), écrire toutes les solutions, puis filtrer par l'intervalle.
Inéquations : résoudre l'égalité, puis lire le cercle pour repérer l'arc solution.

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