1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 9

La rotation dans le plan

1 · Résumé du cours

1.1 Définition

Définition Soit \(\Omega\) un point et \(\theta\) un réel (angle orienté). La rotation \(r\) de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta\) associe à tout point \(M\) le point \(M'=r(M)\) défini par :

si \(M=\Omega\), alors \(M'=\Omega\) ;
sinon, \(\Omega M'=\Omega M\) et \(\big(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\big)=\theta\ [2\pi]\).

Autrement dit \(M'\) est à la même distance de \(\Omega\) que \(M\), et l'angle orienté \(\big(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\big)\) vaut \(\theta\).

Rotation réciproque La réciproque de la rotation \(r\) de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta\) est la rotation \(r^{-1}\) de même centre \(\Omega\) et d'angle \(-\theta\) : elle « défait » la rotation, \(r^{-1}(M')=M\).

Deux cas particuliers \(\theta=0\) (ou \(2\pi\)) donne l'identité (rien ne bouge). \(\theta=\pi\) donne la symétrie centrale de centre \(\Omega\) : \(M'\) est le symétrique de \(M\) par rapport à \(\Omega\).

1.2 Propriétés

Conservation des distances (isométrie) Si \(M'=r(M)\) et \(N'=r(N)\), alors \(M'N'=MN\). Une rotation conserve les distances : c'est une isométrie.

Conservation des angles orientés Si \(A',B',C'\) sont les images de \(A,B,C\), alors \[\big(\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A'C'}\big)=\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)\ [2\pi].\]

Rotation et vecteurs Une rotation d'angle \(\theta\) transforme un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) en \(\overrightarrow{A'B'}\) de même norme, « tourné » de l'angle \(\theta\) : \[\big\|\overrightarrow{A'B'}\big\|=\big\|\overrightarrow{AB}\big\|,\qquad \big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'}\big)=\theta.\]

Conservation du barycentre L'image du barycentre est le barycentre des images (mêmes poids) : si \(G=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}\), alors \(r(G)=\mathrm{bar}\{(A',\alpha),(B',\beta)\}\). En particulier, l'image du milieu de \([AB]\) est le milieu de \([A'B']\).

« Isométrie » = tout se conserve, sauf la position Une rotation garde longueurs, angles, milieux, aires, parallélisme, alignement : la figure image est superposable à l'originale. Seule sa position change — c'est ce qui rend les rotations si utiles en démonstration.

1.3 Images de figures usuelles

Propriété Par une rotation \(r\) de centre \(\Omega\), d'angle \(\theta\) :

l'image d'une droite est une droite (tournée de \(\theta\)) ;
l'image d'un segment \([AB]\) est le segment \([A'B']\), de même longueur ;
l'image d'un cercle de centre \(I\) et de rayon \(R\) est le cercle de centre \(I'=r(I)\) et de même rayon \(R\).

Méthode — construire l'image d'une figure Il suffit de construire l'image des points-clés (extrémités d'un segment, centre d'un cercle) : chacun tourne de \(\theta\) autour de \(\Omega\) à distance constante. On relie ensuite les images comme la figure de départ.

2 · Exercices résolus

Triangle équilatéral

Exercice 1

\(ABC\) est un triangle équilatéral direct de centre \(O\). Identifier l'image de \(A\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\frac{2\pi}3\).

Voir la correction

Dans un triangle équilatéral direct, les sommets sont sur un cercle de centre \(O\), régulièrement espacés d'un angle \(\frac{2\pi}3\). La rotation de centre \(O\) et d'angle \(\frac{2\pi}3\) envoie donc \(A\) sur le sommet suivant dans le sens direct : \(r(A)=B\). (De même \(r(B)=C\) et \(r(C)=A\).) ∎

Angle droit

Exercice 2

Soit \(r\) la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\frac\pi2\). On note \(A'=r(A)\) et \(B'=r(B)\). Montrer que \(A'B'=AB\) et que \((A'B')\perp(AB)\).

Voir la correction

Longueur : une rotation est une isométrie, donc \(A'B'=AB\).

Angle : le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est transformé en \(\overrightarrow{A'B'}\) tourné de l'angle \(\frac\pi2\) : \(\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'}\big)=\frac\pi2\). Deux vecteurs faisant un angle droit sont orthogonaux, donc \((A'B')\perp(AB)\). ∎

Milieu

Exercice 3

\(r\) est une rotation. \(A,B,C\) ont pour images \(A',B',C'\), et \(I\) est le milieu de \([BC]\). Que peut-on dire de \(r(I)\) ?

Voir la correction

Le milieu \(I\) est l'isobarycentre de \(B\) et \(C\). Une rotation conserve le barycentre, donc \(r(I)\) est le milieu de \([B'C']\). ∎

L'essentiel du chapitre

Rotation de centre \(\Omega\), angle \(\theta\) : \(\Omega M'=\Omega M\) et \(\big(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\big)=\theta\).
Réciproque : même centre, angle \(-\theta\). Cas particulier : \(\theta=\pi\) = symétrie centrale.
C'est une isométrie : conserve distances, angles orientés, milieux/barycentres, aires — la figure image est superposable.
Image d'un cercle : cercle de même rayon, de centre l'image du centre.

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