1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 10

Limite d'une fonction

1 · Résumé du cours

1.1 Limite en un point

Limite finie On dit que \(f\) a pour limite le réel \(\ell\) quand \(x\) tend vers \(x_0\), noté \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell\), lorsque \(f(x)\) devient aussi proche que l'on veut de \(\ell\) dès que \(x\) est suffisamment proche de \(x_0\).

Limite infinie \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty\) signifie que \(f(x)\) devient aussi grand que l'on veut lorsque \(x\) s'approche de \(x_0\). La droite \(x=x_0\) est alors une asymptote verticale à \(\mathcal C_f\).

Limite à droite, à gauche \(\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)\) (resp. \(x_0^-\)) est la limite en ne considérant que les \(x>x_0\) (resp. \(x

Quand séparer gauche et droite ? Dès qu'un dénominateur s'annule ou qu'une fonction change de définition en \(x_0\), la limite peut différer de part et d'autre. Pour \(\frac1x\) en \(0\) : \(\frac1{0^+}=+\infty\) mais \(\frac1{0^-}=-\infty\) — la limite en \(0\) n'existe pas.

1.2 Limite à l'infini

Définition \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\) signifie que \(f(x)\) se rapproche de \(\ell\) quand \(x\) devient très grand ; la droite \(y=\ell\) est alors une asymptote horizontale. Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\pm\infty\), \(f\) « diverge » vers l'infini.

Limites de référence \[\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac1{x^n}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty\quad(n\in\mathbb{N}^*).\]

1.3 La définition formelle : le langage des « \(\varepsilon\) »

Les formulations « aussi proche que l'on veut », « aussi grand que l'on veut » sont intuitives. Le niveau Sciences Mathématiques exige de les rendre rigoureuses : on traduit « proche » par une distance mesurée à l'aide d'un réel \(\varepsilon>0\) arbitrairement petit.

Limite finie en un point \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell\) signifie : \[(\forall\varepsilon>0)\,(\exists\alpha>0)\,(\forall x\in D_f)\quad |x-x_0|<\alpha\Longrightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon.\] Pour toute marge \(\varepsilon\) fixée autour de \(\ell\), on peut trouver un rayon \(\alpha\) autour de \(x_0\) tel que tous les \(f(x)\) correspondants tombent dans \(]\,\ell-\varepsilon,\ \ell+\varepsilon\,[\).

Limite finie à l'infini \[\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell:\quad (\forall\varepsilon>0)\,(\exists A>0)\,(\forall x\in D_f)\quad x>A\Longrightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon.\] Le seuil \(A\) dépend en général de \(\varepsilon\) : plus la marge exigée est fine, plus il faut aller loin sur l'axe.

Limite infinie On remplace la marge par un seuil \(B>0\) « aussi grand que l'on veut » : \[\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty:\ (\forall B>0)(\exists\alpha>0)(\forall x\in D_f)\ |x-x_0|<\alpha\Rightarrow f(x)>B,\] \[\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty:\ (\forall B>0)(\exists A>0)(\forall x\in D_f)\ x>A\Rightarrow f(x)>B.\]

Exemple — prouver une limite « à la main » Montrons, avec la définition, que \(\displaystyle\lim_{x\to2}(3x-1)=5\). Soit \(\varepsilon>0\). On cherche \(\alpha>0\) tel que \(|x-2|<\alpha\Rightarrow|(3x-1)-5|<\varepsilon\). Or \(|(3x-1)-5|=|3x-6|=3\,|x-2|\). Il suffit de choisir \(\alpha=\frac\varepsilon3\) : alors \(|x-2|<\alpha\Rightarrow3|x-2|<3\alpha=\varepsilon\). ∎

Exemple — une limite à l'infini Montrons que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0\). Soit \(\varepsilon>0\). Pour \(x>0\), \(\big|\frac1x-0\big|=\frac1x<\varepsilon\iff x>\frac1\varepsilon\). Il suffit de poser \(A=\frac1\varepsilon\) : alors \(x>A\Rightarrow\big|\frac1x\big|<\varepsilon\). ∎

Quand se sert-on de cette définition ? Pas pour calculer les limites courantes : pour cela on dispose des opérations et des limites de référence. La définition sert à justifier rigoureusement une limite et à démontrer les théorèmes du cours (opérations, gendarmes…) — la démarche propre aux Sciences Mathématiques.

1.4 Opérations sur les limites

Propriété Les limites d'une somme, d'un produit et d'un quotient se calculent en combinant les limites de chaque morceau (quand le résultat a un sens) : \[\lim(f+g)=\lim f+\lim g,\quad \lim(f\times g)=\lim f\times\lim g,\quad \lim\frac fg=\frac{\lim f}{\lim g}\ (\neq0).\]

Les quatre formes indéterminées Certaines combinaisons ne se concluent pas directement : \[\infty-\infty,\qquad 0\times\infty,\qquad \frac\infty\infty,\qquad \frac00.\] Devant une F.I., il faut transformer l'expression : factoriser par le terme dominant, simplifier, ou multiplier par la quantité conjuguée.

Polynôme / fraction rationnelle à l'infini À l'infini, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré ; une fraction rationnelle, la même limite que le quotient des termes de plus haut degré.
Exemple : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2-x+3}{x^2+5}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2}{x^2}=2\).

Fonction composée Si \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}u(x)=a\) et \(\displaystyle\lim_{t\to a}v(t)=\ell\), alors \[\lim_{x\to x_0}(v\circ u)(x)=\lim_{x\to x_0}v\big(u(x)\big)=\ell\] (valable aussi si \(a\) ou \(\ell\) vaut \(\pm\infty\)). C'est la règle du changement de variable \(t=u(x)\).
Exemple : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{3x^2+1}{x^2+x}}\) : on pose \(t=\frac{3x^2+1}{x^2+x}\to3\), et \(\sqrt t\to\sqrt3\).

1.5 Limites de fonctions trigonométriques

Limites trigonométriques de référence \[\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1.\]

Le réflexe \(\frac{\sin x}{x}\) Ces limites lèvent la F.I. \(\frac00\) des expressions trigonométriques en \(0\). On fait apparaître le motif \(\frac{\sin(\square)}{\square}\) : par exemple \(\frac{\sin(3x)}{x}=3\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}\to3\).

1.6 Limites et ordre

Passage à la limite dans une inégalité Si \(f\le g\) au voisinage de \(x_0\) et si les deux limites existent, alors \(\displaystyle\lim f\le\lim g\).

Théorème des gendarmes Si \(g(x)\le f(x)\le h(x)\) au voisinage de \(x_0\) et si \(\displaystyle\lim g=\lim h=\ell\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell\).

Par comparaison Si \(f(x)\ge g(x)\) et \(\displaystyle\lim g=+\infty\), alors \(\displaystyle\lim f=+\infty\). (Symétriquement pour \(-\infty\).)

2 · Exercices résolus

Conjuguée

Exercice 1

Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(\sqrt{x^2+x}-x\big)\).

Voir la correction

F.I. \(\infty-\infty\). On multiplie par la quantité conjuguée : \[\sqrt{x^2+x}-x=\frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}.\]

En factorisant \(\sqrt{x^2+x}=x\sqrt{1+\frac1x}\) (pour \(x>0\)) : \[\frac{x}{x\big(\sqrt{1+\frac1x}+1\big)}=\frac1{\sqrt{1+\frac1x}+1}\ \xrightarrow[x\to+\infty]{}\ \frac1{1+1}=\frac12.\] ∎

Trigo

Exercice 2

Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{\sin(2x)}\).

Voir la correction

On fait apparaître deux motifs \(\frac{\sin\square}{\square}\) : \[\frac{\sin(5x)}{\sin(2x)}=\frac{\sin(5x)}{5x}\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}\cdot\frac{5x}{2x}\ \xrightarrow[x\to0]{}\ 1\cdot1\cdot\frac52=\frac52.\] ∎

Gendarmes

Exercice 3

Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\cos x}{x}=0\).

Voir la correction

Pour tout \(x>0\), \(-1\le\cos x\le1\) donne \(-\frac1x\le\frac{\cos x}x\le\frac1x\). Or \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(-\frac1x\big)=\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0\). Par le théorème des gendarmes, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\cos x}x=0\). ∎

L'essentiel du chapitre

Définition formelle (SM) : \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f=\ell\) s'écrit \((\forall\varepsilon>0)(\exists\alpha>0)\ |x-x_0|<\alpha\Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon\).
Limite en un point : distinguer gauche et droite si un dénominateur s'annule (asymptote verticale).
Limite à l'infini : polynôme \(\sim\) terme dominant ; fraction rationnelle \(\sim\) quotient des termes dominants.
Formes indéterminées \(\infty-\infty,\ 0\times\infty,\ \frac\infty\infty,\ \frac00\) : factoriser, simplifier, ou conjuguer.
Composée : poser \(t=u(x)\) et enchaîner les deux limites.
Trigo : \(\frac{\sin x}{x}\to1\), \(\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12\).
Gendarmes : encadrer \(f\) entre deux fonctions de même limite.

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