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1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 11
Dérivation
1 · Résumé du cours
1.1 Nombre dérivé et tangente
Définition
\(f\) est dérivable en \(x_0\) si le taux de variation admet une limite finie quand \(x\to x_0\). Cette limite est le nombre dérivé \(f'(x_0)\) :
\[f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.\]
Équation de la tangente
Si \(f\) est dérivable en \(x_0\), la courbe \(\mathcal C_f\) admet en ce point une tangente d'équation
\[y=f'(x_0)\,(x-x_0)+f(x_0).\]
Le nombre dérivé \(f'(x_0)\) est le coefficient directeur de cette tangente. Quand le second point se rapproche, la sécante pivote vers la tangente : sa pente tend vers \(f'(x_0)\).
Approximation affine
Au voisinage de \(x_0\), \(f(x)\approx f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\) : la tangente est la meilleure approximation de \(f\) par une fonction affine près de \(x_0\).
1.1.1 Dérivabilité à gauche, à droite
Définition
\(f\) est dérivable à droite (resp. à gauche) en \(x_0\) si le taux de variation admet une limite finie en \(x_0^+\) (resp. \(x_0^-\)) : ce sont \(f'_d(x_0)\) et \(f'_g(x_0)\). \(f\) est dérivable en \(x_0\) si et seulement si \(f'_d(x_0)=f'_g(x_0)\). Sinon, la courbe présente un point anguleux (demi-tangentes de pentes différentes).
1.2 Fonction dérivée
Définition
Si \(f\) est dérivable en tout point d'un intervalle \(I\), la fonction qui à \(x\) associe \(f'(x)\) est la fonction dérivée \(f'\).
Dérivées des fonctions usuelles
\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline f(x) & f'(x) & \text{sur}\\ \hline k\ (\text{const.}) & 0 & \mathbb{R}\\ \hline x^n\ (n\in\mathbb{N}^*) & n\,x^{n-1} & \mathbb{R}\\ \hline \tfrac1x & -\tfrac1{x^2} & \mathbb{R}^*\\ \hline \sqrt x & \tfrac1{2\sqrt x} & ]0,+\infty[\\ \hline \cos x & -\sin x & \mathbb{R}\\ \hline \sin x & \cos x & \mathbb{R}\\ \hline \tan x & 1+\tan^2x=\tfrac1{\cos^2x} & \cos x\neq0\\ \hline\end{array}\]
Opérations sur les dérivées
\[(u+v)'=u'+v',\qquad (k\,u)'=k\,u',\qquad (u\,v)'=u'v+uv',\]
\[\Big(\frac1v\Big)'=-\frac{v'}{v^2},\qquad \Big(\frac uv\Big)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.\]
Dérivée d'une fonction composée
Si \(u\) est dérivable et \(v\) dérivable là où il faut : \((v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)\). En particulier :
\[(u^n)'=n\,u'\,u^{n-1},\quad (\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u},\quad (\cos u)'=-u'\sin u,\quad (\sin u)'=u'\cos u.\]
Dérivées successives
La dérivée de \(f'\) est la dérivée seconde \(f''\) ; en itérant, on obtient \(f''',\dots,f^{(n)}\). La dérivée seconde décrit la concavité (chapitre suivant).
1.3 Applications de la dérivation
Monotonie et signe de la dérivée
Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\) :
- \(f'\ge0\) sur \(I\) \(\iff\) \(f\) est croissante sur \(I\) ;
- \(f'\le0\) sur \(I\) \(\iff\) \(f\) est décroissante sur \(I\) ;
- \(f'=0\) sur \(I\) \(\iff\) \(f\) est constante sur \(I\).
Le signe de \(f'\) pilote tout
Étudier une fonction, c'est d'abord étudier le signe de \(f'\). On dresse alors le tableau de variations : là où \(f'>0\), flèche montante ; là où \(f'<0\), flèche descendante. C'est la méthode reine — celle qu'on n'avait pas au chapitre « Généralités », faute de dérivée.
Extremum
Si \(f'\) s'annule en changeant de signe en \(x_0\) (intérieur à \(I\)), alors \(f\) admet un extremum local en \(x_0\) : un maximum si \(f'\) passe de \(+\) à \(-\), un minimum si \(f'\) passe de \(-\) à \(+\). En un extremum, la tangente est horizontale : \(f'(x_0)=0\).
1.4 Dérivabilité et continuité
Dérivable ⟹ continue
Si \(f\) est dérivable en \(x_0\), alors \(f\) est continue en \(x_0\).
Preuve : pour \(x\neq x_0\), \(f(x)-f(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\times(x-x_0)\to f'(x_0)\times0=0\), donc \(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\). ∎
Preuve : pour \(x\neq x_0\), \(f(x)-f(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\times(x-x_0)\to f'(x_0)\times0=0\), donc \(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\). ∎
La réciproque est fausse
Continue n'entraîne pas dérivable. Contre-exemple : \(f(x)=|x|\) est continue en \(0\), mais \(\frac{|x|}{x}=1\) si \(x>0\) et \(-1\) si \(x<0\), donc \(f'_d(0)=1\neq f'_g(0)=-1\) : non dérivable en \(0\) (point anguleux).
Retenir : dérivable \(\Rightarrow\) continue, et la contraposée — non continue \(\Rightarrow\) non dérivable — sert souvent à conclure sans calcul.
Retenir : dérivable \(\Rightarrow\) continue, et la contraposée — non continue \(\Rightarrow\) non dérivable — sert souvent à conclure sans calcul.
1.4.1 Tangente verticale
Définition
Si \(f\) est continue en \(x_0\) et si \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\infty\) (ou \(-\infty\)), alors \(f\) n'est pas dérivable en \(x_0\), mais \(\mathcal C_f\) admet en ce point une tangente verticale d'équation \(x=x_0\).
Exemple : \(f(x)=\sqrt x\) en \(0\) : \(\frac{\sqrt x}{x}=\frac1{\sqrt x}\xrightarrow[x\to0^+]{}+\infty\) — demi-tangente verticale dirigée vers le haut.
Exemple : \(f(x)=\sqrt x\) en \(0\) : \(\frac{\sqrt x}{x}=\frac1{\sqrt x}\xrightarrow[x\to0^+]{}+\infty\) — demi-tangente verticale dirigée vers le haut.
2 · Exercices résolus
Quotient & tangente
Exercice 1
Calculer la dérivée de \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2+1}\), puis l'équation de la tangente à \(\mathcal C_f\) au point d'abscisse \(0\).
Voir la correction
Avec \(u=2x-1\ (u'=2)\) et \(v=x^2+1\ (v'=2x)\) : \[f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{2(x^2+1)-(2x-1)(2x)}{(x^2+1)^2}=\frac{-2x^2+2x+2}{(x^2+1)^2}.\]
En \(x_0=0\) : \(f(0)=-1\) et \(f'(0)=\frac21=2\). La tangente est \(y=2x-1\). ∎
Variations
Exercice 2
Étudier les variations de \(f(x)=x^3-3x\) sur \(\mathbb{R}\).
Voir la correction
\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). Le trinôme est positif à l'extérieur des racines \(-1\) et \(1\) :
- \(f'>0\) sur \(]-\infty,-1[\) et \(]1,+\infty[\) : \(f\) croissante ;
- \(f'<0\) sur \(]-1,1[\) : \(f\) décroissante.
\(f\) admet un maximum local en \(x=-1\) (\(f(-1)=2\)) et un minimum local en \(x=1\) (\(f(1)=-2\)). ∎
Oscillateur
Exercice 3
Résoudre \(y''+4y=0\) avec les conditions \(y(0)=1\) et \(y'(0)=2\).
Voir la correction
Ici \(\omega^2=4\), donc \(\omega=2\) et \(y(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x)\). Alors \(y'(x)=-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)\). Les conditions donnent \(y(0)=A=1\) et \(y'(0)=2B=2\Rightarrow B=1\).
D'où \(y(x)=\cos(2x)+\sin(2x)\). ∎
L'essentiel du chapitre
- Nombre dérivé = limite du taux de variation = pente de la tangente \(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\).
- Dérivable en \(x_0\) \(\iff\) \(f'_g(x_0)=f'_d(x_0)\) (sinon point anguleux).
- Maîtriser le tableau des dérivées usuelles + opérations + composée (\((u^n)'=nu'u^{n-1}\), \((\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}\)…).
- Signe de \(f'\) \(\Rightarrow\) variations ; \(f'\) change de signe \(\Rightarrow\) extremum.
- \(y''+\omega^2y=0\Rightarrow y=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)\) (oscillateur).
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