12
1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 12
Étude des fonctions
1 · Résumé du cours
1.1 Branches infinies
1.1.1 Asymptotes verticale et horizontale
Définition
- Si \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\), la droite \(x=a\) est une asymptote verticale à \(\mathcal C_f\) ;
- si \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\) (réel), la droite \(y=\ell\) est une asymptote horizontale.
1.1.2 Asymptote oblique
Définition
La droite \(y=ax+b\) (avec \(a\neq0\)) est une asymptote oblique à \(\mathcal C_f\) en \(+\infty\) (ou \(-\infty\)) si
\[\lim_{x\to+\infty}\big[f(x)-(ax+b)\big]=0.\]
Méthode — trouver une asymptote oblique
- calculer \(a=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\) ; si \(a\) est réel non nul, continuer ;
- calculer \(b=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big[f(x)-ax\big]\) ;
- si \(b\) est fini, \(y=ax+b\) est asymptote oblique.
1.1.3 Branches paraboliques
Définition
Quand \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\pm\infty\), on précise la direction de la branche :
- si \(\displaystyle\lim\frac{f(x)}{x}=\pm\infty\) : branche parabolique de direction l'axe \((Oy)\) ;
- si \(\displaystyle\lim\frac{f(x)}{x}=a\) (fini) mais \(\lim[f(x)-ax]=\pm\infty\) : branche parabolique de direction la droite \(y=ax\).
1.2 Concavité et points d'inflexion
Définition
Sur un intervalle \(I\), \(\mathcal C_f\) est :
- convexe si elle est au-dessus de ses tangentes ;
- concave si elle est au-dessous de ses tangentes.
Concavité et dérivée seconde
Soit \(f\) deux fois dérivable sur \(I\) :
\[f''\ge0\text{ sur }I\iff\mathcal C_f\text{ convexe},\qquad f''\le0\text{ sur }I\iff\mathcal C_f\text{ concave}.\]
Point d'inflexion
Un point d'inflexion est un point où \(\mathcal C_f\) change de concavité. Il correspond à un changement de signe de \(f''\) (en particulier, \(f''\) y s'annule). En un point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente.
Ne pas confondre extremum et inflexion
Un extremum annule \(f'\) (tangente horizontale) ; un point d'inflexion annule \(f''\) (changement de courbure). Ce sont deux phénomènes indépendants : la tangente en un point d'inflexion n'est pas forcément horizontale.
1.3 Éléments de symétrie
Axe de symétrie
La droite d'équation \(x=a\) est un axe de symétrie de \(\mathcal C_f\) si et seulement si, pour tout \(x\) tel que \(2a-x\in D_f\) :
\[f(2a-x)=f(x).\]
Cas particulier : \(a=0\) redonne une fonction paire.
Centre de symétrie
Le point \(\Omega(a,b)\) est un centre de symétrie de \(\mathcal C_f\) si et seulement si, pour tout \(x\) tel que \(2a-x\in D_f\) :
\[f(2a-x)+f(x)=2b.\]
Cas particulier : \(\Omega=O\) redonne une fonction impaire.
À quoi servent les symétries
Un axe ou un centre de symétrie divise le travail par deux : on étudie \(f\) sur la moitié de son domaine, puis on complète la courbe par symétrie. On les repère souvent avant de tracer, en testant \(f(2a-x)\).
2 · Exercices résolus
Asymptote & symétrie
Exercice 1
Soit \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}\). Montrer que la droite \(y=x\) est asymptote oblique à \(\mathcal C_f\) en \(+\infty\), et que \(O\) est centre de symétrie.
Voir la correction
On écrit \(f(x)=x+\frac1x\). Alors \(f(x)-x=\frac1x\xrightarrow[x\to+\infty]{}0\), donc \(y=x\) est asymptote oblique.
Pour \(a=0,\ b=0\) : \(f(-x)+f(x)=\big(-x-\frac1x\big)+\big(x+\frac1x\big)=0=2b\), donc \(O\) est centre de symétrie (\(f\) est impaire). ∎
Concavité
Exercice 2
Étudier la concavité de \(f(x)=x^3-3x^2\) et déterminer son point d'inflexion.
Voir la correction
\(f'(x)=3x^2-6x\), puis \(f''(x)=6x-6=6(x-1)\).
- \(f''<0\) sur \(]-\infty,1[\) : \(\mathcal C_f\) concave ;
- \(f''>0\) sur \(]1,+\infty[\) : \(\mathcal C_f\) convexe.
\(f''\) change de signe en \(x=1\) : le point \((1,f(1))=(1,-2)\) est un point d'inflexion. ∎
L'essentiel du chapitre
- Asymptotes : verticale (\(\lim=\pm\infty\) en \(a\)), horizontale (\(\lim=\ell\) à l'infini), oblique (\(f(x)-(ax+b)\to0\)).
- Branches paraboliques : \(\frac{f(x)}x\to\pm\infty\) (dir. \(Oy\)) ou \(\to a\) avec \(f-ax\to\pm\infty\) (dir. \(y=ax\)).
- Concavité : signe de \(f''\) ; inflexion = \(f''\) change de signe (la courbe traverse sa tangente).
- Symétries : axe \(x=a\) si \(f(2a-x)=f(x)\) ; centre \((a,b)\) si \(f(2a-x)+f(x)=2b\).
© Math Excellence · anassmaths.com