1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 19

Statistiques

1 · Résumé du cours

1.1 Vocabulaire

Les mots de base

La population est l'ensemble étudié ; ses éléments sont les individus.
Le caractère (ou variable) est ce que l'on observe. Il est qualitatif (couleur, sport) ou quantitatif (note, taille) ; un caractère quantitatif est discret (valeurs isolées) ou continu (regroupé en classes).
L'effectif \(n_{i}\) est le nombre d'individus prenant la valeur \(x_{i}\) ; l'effectif total est \(N=\sum n_{i}\).
La fréquence est \(f_{i}=\dfrac{n_{i}}{N}\), avec \(\sum f_{i}=1\) (soit \(100\,\%\)).

Effectifs cumulés L'effectif cumulé croissant d'une valeur est la somme des effectifs des valeurs qui lui sont inférieures ou égales. Idem pour les fréquences cumulées.

À quoi servent les cumuls ? Les effectifs cumulés répondent aux questions du type « combien d'élèves ont au plus \(12\) ? ». C'est aussi l'outil qui permet de lire directement la médiane et les quartiles.

1.2 Indicateurs de position

Moyenne arithmétique \[\bar x=\dfrac{1}{N}\sum_{i}n_{i}\,x_{i}=\sum_{i}f_{i}\,x_{i}.\]

Mode Le mode est la valeur (ou la classe) de plus grand effectif. Une série peut avoir plusieurs modes.

Médiane La médiane \(M_{e}\) est la valeur qui partage la série ordonnée en deux parties de même effectif : au moins \(50\,\%\) des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins \(50\,\%\) lui sont supérieures ou égales.

Calculer la médiane On ordonne les \(N\) valeurs par ordre croissant.

Si \(N\) est impair : \(M_{e}\) est la valeur de rang \(\dfrac{N+1}{2}\).
Si \(N\) est pair : \(M_{e}\) est la moyenne des valeurs de rangs \(\dfrac N2\) et \(\dfrac N2+1\).

Quartiles \(Q_{1}\) (premier quartile) est la plus petite valeur telle qu'au moins \(25\,\%\) des données lui soient inférieures ou égales ; \(Q_{3}\) (troisième quartile) correspond à \(75\,\%\). La médiane est le deuxième quartile.

Moyenne ou médiane ? La moyenne tient compte de toutes les valeurs, donc elle est sensible aux valeurs extrêmes. La médiane ne l'est pas : si un seul élève a \(0\) et tous les autres \(15\), la moyenne chute mais la médiane reste à \(15\). Pour des salaires ou des notes très dispersés, la médiane est plus représentative.

1.3 Indicateurs de dispersion

Étendue et écart interquartile L'étendue est \(x_{\max}-x_{\min}\). L'écart interquartile est \(Q_{3}-Q_{1}\) : il mesure la dispersion des \(50\,\%\) de valeurs centrales, sans subir les extrêmes.

Variance et écart-type \[V=\dfrac1N\sum_{i}n_{i}\,(x_{i}-\bar x)^{2}\qquad\text{et}\qquad \sigma=\sqrt{V}.\] \(\sigma\) est l'écart-type : il s'exprime dans la même unité que les données, contrairement à la variance.

Formule de König–Huygens \[V=\underbrace{\dfrac1N\sum_{i}n_{i}\,x_{i}^{2}}_{\text{moyenne des carrés}}\;-\;\underbrace{\bar x^{\,2}}_{\text{carré de la moyenne}}.\]

Toujours utiliser König–Huygens La formule de définition oblige à calculer \(\bar x\), puis tous les écarts \(x_{i}-\bar x\). La formule de König–Huygens ne demande que deux sommes : \(\sum n_{i}x_{i}\) et \(\sum n_{i}x_{i}^{2}\). C'est bien plus rapide, et c'est elle qu'on attend dans les exercices. Contrôle : on doit toujours trouver \(V\ge0\) ; un résultat négatif signale une erreur de calcul.

Effet d'un changement affine Si \(y_{i}=a\,x_{i}+b\), alors \[\bar y=a\,\bar x+b,\qquad V(y)=a^{2}\,V(x),\qquad \sigma_{y}=|a|\,\sigma_{x}.\] Ajouter une constante ne change pas la dispersion ; multiplier par \(a\) la multiplie par \(|a|\).

1.4 Séries regroupées en classes

Traiter des classes Quand les données sont regroupées en classes \([a_{i};b_{i}[\) :

on remplace chaque classe par son centre \(c_{i}=\dfrac{a_{i}+b_{i}}{2}\) ;
on applique les formules de \(\bar x\), \(V\) et \(\sigma\) avec les \(c_{i}\) ;
les résultats sont alors des valeurs approchées (on a supposé les données réparties uniformément dans chaque classe).

Classe modale La classe modale est celle de plus grand effectif — à condition que toutes les classes aient la même amplitude. Sinon, il faut comparer les effectifs ramenés à l'amplitude.

2 · Exercices résolus

Série discrète

Exercice 1

Les notes obtenues par \(25\) élèves sont résumées ci-dessous.

\[\begin{array}{l|ccccc} \text{Note } x_{i} & 8 & 10 & 12 & 14 & 16\\ \hline \text{Effectif } n_{i} & 3 & 6 & 8 & 5 & 3\end{array}\]

Calculer la moyenne, la médiane, le mode, puis la variance et l'écart-type.

Voir la correction

Effectif total : \(N=3+6+8+5+3=25\).

Moyenne : \(\sum n_{i}x_{i}=24+60+96+70+48=298\), donc \(\bar x=\dfrac{298}{25}=11{,}92\).

Médiane : \(N=25\) est impair, donc \(M_{e}\) est la valeur de rang \(\frac{25+1}{2}=13\). Les effectifs cumulés valent \(3,\ 9,\ 17,\ 22,\ 25\) : le \(13^{\text{e}}\) élève se trouve dans le cumul \(17\), donc \(M_{e}=12\).

Mode : l'effectif maximal est \(8\), donc le mode est \(12\).

Variance (König–Huygens) : \[\sum n_{i}x_{i}^{2}=3(64)+6(100)+8(144)+5(196)+3(256)=192+600+1152+980+768=3692.\] \[V=\dfrac{3692}{25}-(11{,}92)^{2}=147{,}68-142{,}0864=5{,}5936.\]

Écart-type : \(\sigma=\sqrt{5{,}5936}\approx2{,}37\). ∎

Série en classes

Exercice 2

Les tailles (en cm) de \(40\) élèves sont regroupées en classes :

\[\begin{array}{l|cccc} \text{Classe} & [150;160[ & [160;170[ & [170;180[ & [180;190[\\ \hline \text{Effectif} & 6 & 14 & 15 & 5\end{array}\]

Déterminer la classe modale et une valeur approchée de la taille moyenne.

Voir la correction

Toutes les classes ont la même amplitude (\(10\) cm), donc la classe modale est celle de plus grand effectif : \([170;180[\).

Centres des classes : \(155,\ 165,\ 175,\ 185\). Alors \[\sum n_{i}c_{i}=6(155)+14(165)+15(175)+5(185)=930+2310+2625+925=6790,\] \[\bar x=\dfrac{6790}{40}=169{,}75\ \text{cm (valeur approchée).}\] ∎

Changement affine

Exercice 3

Une série de notes a pour moyenne \(\bar x=11\) et pour écart-type \(\sigma=2\). Le professeur décide de majorer chaque note de \(2\) points, puis de multiplier le tout par \(1{,}5\). Déterminer la nouvelle moyenne et le nouvel écart-type.

Voir la correction

La transformation est \(y=1{,}5\,(x+2)=1{,}5\,x+3\), donc affine avec \(a=1{,}5\) et \(b=3\). \[\bar y=1{,}5\times11+3=19{,}5,\qquad \sigma_{y}=|1{,}5|\times2=3.\] La dispersion a été multipliée par \(1{,}5\) : ajouter \(2\) points n'y change rien, seul le facteur multiplicatif agit. ∎

L'essentiel du chapitre

\(N=\sum n_{i}\), \(\ f_{i}=\frac{n_{i}}N\), \(\ \sum f_{i}=1\).
Position : \(\bar x=\frac1N\sum n_{i}x_{i}\) ; la médiane partage l'effectif en deux ; le mode est la valeur la plus fréquente.
Moyenne sensible aux valeurs extrêmes, médiane non.
Dispersion : \(V=\frac1N\sum n_{i}x_{i}^{2}-\bar x^{\,2}\) (König–Huygens, la plus rapide) et \(\sigma=\sqrt V\), dans l'unité des données. Toujours \(V\ge0\).
Changement affine \(y=ax+b\) : \(\bar y=a\bar x+b\) et \(\sigma_{y}=|a|\sigma_{x}\) — le \(+b\) ne disperse pas.
Classes : remplacer chaque classe par son centre ; les résultats sont approchés.

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