1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 18

Les polynômes

1 · Résumé du cours

1.1 Définitions et degré

Polynôme On appelle polynôme à coefficients réels toute expression de la forme \[P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0},\] où \(n\in\mathbb{N}\) et \(a_{0},a_{1},\dots,a_{n}\) sont des réels appelés coefficients.

Degré Si \(a_{n}\neq0\), l'entier \(n\) est le degré de \(P\), noté \(\deg P\) ; \(a_{n}\) est le coefficient dominant et \(a_{0}\) le terme constant. Le polynôme nul (tous les coefficients nuls) n'a pas de degré (on convient parfois \(\deg 0=-\infty\)).

Exemple \(P(x)=3x^{4}-x^{2}+5\) est de degré \(4\), de coefficient dominant \(3\) et de terme constant \(5\). Un polynôme de degré \(0\) est une constante non nulle.

Égalité de deux polynômes Deux polynômes sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coefficients : \[\sum a_{k}x^{k}=\sum b_{k}x^{k}\iff\forall k,\ a_{k}=b_{k}.\]

La méthode d'identification C'est la propriété la plus utilisée du chapitre : si deux écritures d'un même polynôme coïncident pour tout \(x\), on peut identifier les coefficients terme à terme et obtenir un système d'équations. En particulier, un polynôme est nul pour tout \(x\) si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

Degré d'une somme, d'un produit Pour \(P\) et \(Q\) non nuls : \[\deg(P+Q)\le\max(\deg P,\deg Q),\qquad \deg(P\times Q)=\deg P+\deg Q.\] L'inégalité pour la somme peut être stricte : les termes dominants peuvent s'annuler (ex. \((x^{2}+x)+(-x^{2}+1)=x+1\), de degré \(1\)).

1.2 Racines d'un polynôme

Racine Un réel \(\alpha\) est une racine (ou un zéro) de \(P\) lorsque \(P(\alpha)=0\).

Factorisation par \((x-\alpha)\) Soit \(P\) un polynôme de degré \(n\ge1\). Alors \[P(\alpha)=0\iff\exists\,Q \text{ tel que } P(x)=(x-\alpha)\,Q(x),\] et dans ce cas \(\deg Q=n-1\).

Chercher une « racine évidente » Devant une équation de degré \(3\) ou plus, on teste d'abord les petites valeurs \(x=0,\ \pm1,\ \pm2,\dots\) (et les diviseurs du terme constant). Une racine trouvée = un facteur \((x-\alpha)\) mis en évidence = un degré de moins à traiter.

Nombre de racines Un polynôme non nul de degré \(n\) admet au plus \(n\) racines réelles.
Conséquence : un polynôme de degré \(\le n\) qui s'annule en plus de \(n\) points est le polynôme nul.

1.3 Division euclidienne des polynômes

Division euclidienne Soient \(A\) et \(B\) deux polynômes avec \(B\neq0\). Il existe un unique couple de polynômes \((Q,R)\) tel que \[A=B\,Q+R \quad\text{avec}\quad R=0 \ \text{ ou }\ \deg R<\deg B.\] \(Q\) est le quotient et \(R\) le reste.

Divisibilité \(B\) divise \(A\) si et seulement si le reste \(R\) est nul. En particulier, \((x-\alpha)\) divise \(P\) si et seulement si \(P(\alpha)=0\).

Méthode — poser la division On procède comme pour les entiers, en ordonnant les deux polynômes selon les puissances décroissantes (et en laissant un « trou » pour les degrés manquants) :

diviser le terme dominant de \(A\) par celui de \(B\) : c'est le premier terme de \(Q\) ;
multiplier \(B\) par ce terme, puis soustraire ;
recommencer avec le reste obtenu, tant que son degré est \(\ge\deg B\).

Exemple — diviser \(A(x)=x^{3}-2x^{2}+3x-6\) par \(B(x)=x-2\) \[\begin{aligned} x^{3}-2x^{2}+3x-6 &= (x-2)\,x^{2} + (3x-6)\\ 3x-6 &= (x-2)\times 3 + 0\end{aligned}\] Donc \(A(x)=(x-2)(x^{2}+3)\), avec un reste nul : \(2\) est bien racine de \(A\) (en effet \(A(2)=8-8+6-6=0\)).

1.4 Le schéma de Horner

Méthode — division rapide par \((x-\alpha)\) Pour diviser \(P(x)=a_{n}x^{n}+\dots+a_{0}\) par \((x-\alpha)\), on n'écrit que les coefficients :

recopier \(a_{n}\) ;
à chaque étape : multiplier le résultat précédent par \(\alpha\), puis ajouter le coefficient suivant ;
les nombres obtenus sont les coefficients du quotient \(Q\) ; le dernier est le reste, c'est-à-dire \(P(\alpha)\).

Exemple — \(P(x)=2x^{3}-3x^{2}-11x+6\) divisé par \((x-3)\) Coefficients : \(2,\ -3,\ -11,\ 6\) et \(\alpha=3\). \[\begin{array}{c|cccc} & 2 & -3 & -11 & 6\\ 3 & & 6 & 9 & -6\\ \hline & 2 & 3 & -2 & \mathbf{0}\end{array}\] Le reste est \(0\) (donc \(P(3)=0\)) et le quotient est \(Q(x)=2x^{2}+3x-2\). Ainsi \(P(x)=(x-3)(2x^{2}+3x-2)\).

Deux usages pour le prix d'un Le schéma de Horner factorise et évalue en même temps : la dernière case donne \(P(\alpha)\). C'est la façon la plus rapide de calculer l'image d'un nombre par un polynôme.

1.5 Le trinôme du second degré

Discriminant Soit \(P(x)=ax^{2}+bx+c\) avec \(a\neq0\), et \(\Delta=b^{2}-4ac\).

\(\Delta>0\) : deux racines \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\) et \(P(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\) ;
\(\Delta=0\) : une racine double \(x_{0}=\dfrac{-b}{2a}\) et \(P(x)=a(x-x_{0})^{2}\) ;
\(\Delta<0\) : aucune racine réelle, \(P\) ne se factorise pas dans \(\mathbb{R}\).

Somme et produit des racines Si \(\Delta\ge0\) : \(\ x_{1}+x_{2}=-\dfrac ba,\qquad x_{1}\,x_{2}=\dfrac ca.\)

Signe du trinôme \(P(x)\) est du signe de \(a\) partout, sauf entre les racines où il est du signe de \(-a\). Si \(\Delta<0\), \(P\) garde le signe de \(a\) sur tout \(\mathbb{R}\).

2 · Exercices résolus

Factoriser & signe

Exercice 1

Soit \(P(x)=x^{3}-4x^{2}+x+6\).

Montrer que \(-1\) est une racine de \(P\).
Factoriser complètement \(P\), puis résoudre \(P(x)=0\).
Étudier le signe de \(P(x)\) sur \(\mathbb{R}\).

Voir la correction

1. \(P(-1)=-1-4-1+6=0\) : \(-1\) est bien racine.

2. On divise par \((x+1)\) avec Horner (\(\alpha=-1\)) : \[\begin{array}{c|cccc} & 1 & -4 & 1 & 6\\ -1 & & -1 & 5 & -6\\ \hline & 1 & -5 & 6 & \mathbf{0}\end{array}\] Donc \(P(x)=(x+1)(x^{2}-5x+6)\). Le trinôme a pour discriminant \(\Delta=25-24=1>0\), d'où \(x=\frac{5\pm1}{2}\), soit \(2\) et \(3\). Finalement \[P(x)=(x+1)(x-2)(x-3),\qquad \mathcal S=\{-1\,;\,2\,;\,3\}.\]

3. Tableau de signes (coefficient dominant \(1>0\)) : \[\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -1 & & 2 & & 3 \quad +\infty\\ \hline P(x) & & - & 0 & + & 0 & - & 0 \quad +\end{array}\] Donc \(P(x)\ge0\) sur \([-1;2]\cup[3;+\infty[\). ∎

Identification

Exercice 2

Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(\ x^{3}-1=(x-1)\big(ax^{2}+bx+c\big).\)

Voir la correction

Développons le membre de droite : \[(x-1)(ax^{2}+bx+c)=ax^{3}+(b-a)x^{2}+(c-b)x-c.\] Par identification avec \(x^{3}-1=1\cdot x^{3}+0\cdot x^{2}+0\cdot x-1\) : \[\begin{cases} a=1\\ b-a=0\\ c-b=0\\ -c=-1\end{cases}\Longrightarrow a=b=c=1.\] D'où l'identité remarquable \(x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)\). ∎

Reste par évaluation

Exercice 3

Déterminer le reste de la division euclidienne de \(A(x)=x^{2026}+x+1\) par \(B(x)=x^{2}-1\).

Voir la correction

\(\deg B=2\), donc le reste s'écrit \(R(x)=\alpha x+\beta\) et \(A(x)=(x^{2}-1)\,Q(x)+\alpha x+\beta\).

Comme \(x^{2}-1=(x-1)(x+1)\), évaluons en \(1\) puis en \(-1\) (le terme en \(Q\) s'annule) : \[A(1)=1+1+1=3=\alpha+\beta,\qquad A(-1)=1-1+1=1=-\alpha+\beta\] (car \((-1)^{2026}=1\), l'exposant étant pair). En additionnant : \(2\beta=4\), donc \(\beta=2\) et \(\alpha=1\). Le reste est \(R(x)=x+2\). ∎

L'essentiel du chapitre

\(\deg(PQ)=\deg P+\deg Q\) ; \(\deg(P+Q)\le\max(\deg P,\deg Q)\).
Identification : deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients — c'est ce qui transforme une identité en système.
Théorème-clé : \(P(\alpha)=0 \iff (x-\alpha)\mid P(x)\). Un polynôme de degré \(n\) a au plus \(n\) racines.
Division euclidienne : \(A=BQ+R\) avec \(\deg R<\deg B\), couple \((Q,R)\) unique.
Horner : division par \((x-\alpha)\) en une ligne ; la dernière case vaut \(P(\alpha)\).
Pour un reste par un \(B\) scindé, évaluer en les racines de \(B\) : bien plus rapide que la division posée.
Trinôme : \(\Delta=b^{2}-4ac\) ; signe de \(a\) sauf entre les racines.

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