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1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 17
Produit scalaire dans l'espace
1 · Résumé du cours
1.1 Produit scalaire dans l'espace
Définition
Pour deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) de l'espace,
\[\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\big(\widehat{\vec u,\vec v}\big),\]
et \(\vec u\cdot\vec0=0\). On note \(\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^{2}=\vec u^{\,2}\).
Expression analytique
Dans un repère orthonormé \((O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)\), si \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x',y',z')\) :
\[\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz',\qquad \|\vec u\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.\]
La distance vaut \(AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\).
Propriétés et orthogonalité
Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire, et
\[\vec u\perp\vec v \iff \vec u\cdot\vec v=0.\]
1.2 Vecteur normal et équation d'un plan
Définition
Un vecteur \(\vec n\neq\vec0\) est normal au plan \((P)\) s'il est orthogonal à tout vecteur de \((P)\). Géométriquement, \(\vec n\) est orthogonal à toutes les droites du plan.
Équation cartésienne d'un plan
Le plan passant par \(A(x_A,y_A,z_A)\) et de vecteur normal \(\vec n(a,b,c)\) est l'ensemble des points \(M(x,y,z)\) tels que \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\), soit
\[a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0 \iff ax+by+cz+d=0.\]
Réciproquement, \(ax+by+cz+d=0\) (avec \((a,b,c)\neq\vec0\)) est un plan de vecteur normal \(\vec n(a,b,c)\).
Les coefficients sont le vecteur normal
Dans \(ax+by+cz+d=0\), on lit directement le vecteur normal \(\vec n(a,b,c)\). D'où : deux plans sont parallèles si leurs normales sont colinéaires, perpendiculaires si leurs normales sont orthogonales.
Distance d'un point à un plan
Pour \((P):ax+by+cz+d=0\) et un point \(M(x_0,y_0,z_0)\) :
\[d\big(M,(P)\big)=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.\]
Elle se mesure le long de la normale au plan.
1.3 La sphère
Définition
La sphère de centre \(\Omega(a,b,c)\) et de rayon \(R>0\) est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\Omega M=R\) :
\[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}.\]
Intersection d'une sphère et d'un plan
Soit \(S\) la sphère de centre \(\Omega\), rayon \(R\), et \((P)\) un plan ; posons \(d=d\big(\Omega,(P)\big)\).
- si \(d
- si \(d=R\) : le plan est tangent (un seul point de contact) ;
- si \(d>R\) : l'intersection est vide.
1.4 Produit vectoriel
Définition
Le produit vectoriel de \(\vec u\) et \(\vec v\) est le vecteur \(\vec u\wedge\vec v\) tel que :
- si \(\vec u,\vec v\) sont colinéaires, \(\vec u\wedge\vec v=\vec0\) ;
- sinon, \(\vec u\wedge\vec v\) est orthogonal à \(\vec u\) et à \(\vec v\), orienté selon la règle de la main droite, de norme \(\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\big|\sin(\widehat{\vec u,\vec v})\big|\).
Règles de calcul
\[\vec v\wedge\vec u=-(\vec u\wedge\vec v)\ \ (\text{antisymétrie}),\qquad (\lambda\vec u)\wedge\vec v=\lambda(\vec u\wedge\vec v),\]
\[\vec u\wedge(\vec v+\vec w)=\vec u\wedge\vec v+\vec u\wedge\vec w,\qquad \vec u\wedge\vec v=\vec0 \iff \vec u,\vec v \text{ colinéaires}.\]
Expression analytique
En base orthonormée directe, pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x',y',z')\) :
\[\vec u\wedge\vec v=\big(\,yz'-zy'\,,\ \ zx'-xz'\,,\ \ xy'-yx'\,\big).\]
Chaque composante est un déterminant \(2\times2\) des deux autres lignes.
Aires
L'aire du parallélogramme construit sur \(\vec u,\vec v\) vaut \(\|\vec u\wedge\vec v\|\) ; celle du triangle \(ABC\) vaut
\[\mathcal{A}(ABC)=\tfrac12\,\big\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\big\|.\]
Scalaire ou vectoriel : que veut-on ?
Le produit scalaire donne un nombre — il sert aux angles, à l'orthogonalité, aux distances à un plan. Le produit vectoriel donne un vecteur — il sert aux directions normales, à la colinéarité et aux aires.
2 · Exercices résolus
Plan (ABC)
Exercice 1
On donne \(A(1,0,0)\), \(B(0,1,0)\), \(C(0,0,1)\). Déterminer un vecteur normal au plan \((ABC)\), puis une équation cartésienne de ce plan.
Voir la correction
\(\overrightarrow{AB}(-1,1,0)\) et \(\overrightarrow{AC}(-1,0,1)\). Un vecteur normal est \[\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\big(1\cdot1-0\cdot0,\ \ 0\cdot(-1)-(-1)\cdot1,\ \ (-1)\cdot0-1\cdot(-1)\big)=(1,1,1).\]
Le plan a donc une équation \(x+y+z+d=0\) ; il passe par \(A(1,0,0)\), d'où \(1+d=0\), soit \(d=-1\). Ainsi \((ABC):\ x+y+z-1=0\). ∎
Distance
Exercice 2
Calculer la distance du point \(M(1,1,1)\) au plan \((P):2x-y+2z-3=0\).
Voir la correction
\[d\big(M,(P)\big)=\dfrac{|2\cdot1-1+2\cdot1-3|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}}=\dfrac{|0|}{3}=0.\]
La distance est nulle : le point \(M\) appartient au plan \((P)\). ∎
Aire
Exercice 3
Calculer l'aire du triangle \(ABC\) avec \(A(1,0,0)\), \(B(0,1,0)\), \(C(0,0,1)\).
Voir la correction
D'après l'exercice 1, \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(1,1,1)\), de norme \(\sqrt3\). Donc \[\mathcal{A}(ABC)=\tfrac12\big\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\big\|=\dfrac{\sqrt3}2.\] ∎
L'essentiel du chapitre
- Produit scalaire : \(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'\) ; \(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\).
- Plan : \(ax+by+cz+d=0\) a pour normale \(\vec n(a,b,c)\) ; distance \(d(M,P)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).
- Sphère : \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\) ; couper par un plan selon \(d\lessgtr R\).
- Produit vectoriel : \(\vec u\wedge\vec v\perp\vec u,\vec v\) ; nul \(\iff\) colinéaires ; \(\|\vec u\wedge\vec v\|=\) aire du parallélogramme, d'où \(\mathcal{A}(ABC)=\frac12\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|\).
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