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1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 16
Géométrie analytique de l'espace
1 · Résumé du cours
1.1 Coordonnées dans un repère
Définition
On fixe un repère \((O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)\) de l'espace. Un point \(M\) a pour coordonnées \((x,y,z)\) si \(\overrightarrow{OM}=x\vec\imath+y\vec\jmath+z\vec k\). Un vecteur \(\vec u\) a pour coordonnées \((x,y,z)\) dans la base \((\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)\) si \(\vec u=x\vec\imath+y\vec\jmath+z\vec k\).
Calculs sur les coordonnées
Si \(A(x_A,y_A,z_A)\) et \(B(x_B,y_B,z_B)\) :
\[\overrightarrow{AB}\,\big(x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A\big),\qquad \text{milieu de }[AB]\ \Big(\tfrac{x_A+x_B}2,\tfrac{y_A+y_B}2,\tfrac{z_A+z_B}2\Big).\]
La somme et la multiplication par un réel se font coordonnée par coordonnée.
1.2 Déterminant de trois vecteurs
Définition
Le déterminant de \(\vec u(x,y,z)\), \(\vec v(x',y',z')\), \(\vec w(x'',y'',z'')\) est le réel
\[\det(\vec u,\vec v,\vec w)=\begin{vmatrix} x & x' & x''\\ y & y' & y''\\ z & z' & z''\end{vmatrix}=x\begin{vmatrix} y' & y''\\ z' & z''\end{vmatrix}-x'\begin{vmatrix} y & y''\\ z & z''\end{vmatrix}+x''\begin{vmatrix} y & y'\\ z & z'\end{vmatrix},\]
où \(\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc\).
Colinéarité de deux vecteurs
\(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x',y',z')\) sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c.-à-d. si les trois « déterminants \(2\times2\) » \(yz'-y'z\), \(zx'-z'x\), \(xy'-x'y\) sont tous nuls.
Coplanarité de trois vecteurs
\(\vec u,\vec v,\vec w\) sont coplanaires si et seulement si \(\det(\vec u,\vec v,\vec w)=0\). S'il est non nul, les trois vecteurs forment une base de l'espace.
Le déterminant, test de « vraie 3D »
\(\det=0\) signifie « les trois vecteurs tiennent dans un plan » ; \(\det\neq0\) signifie « ils remplissent l'espace ». C'est l'outil analytique pour prouver qu'un point est dans un plan, ou que quatre points sont coplanaires.
1.3 Représentation paramétrique d'une droite
Définition
La droite \((D)\) passant par \(A(x_A,y_A,z_A)\) et de vecteur directeur \(\vec u(a,b,c)\) admet la représentation paramétrique
\[\begin{cases} x=x_A+t\,a\\ y=y_A+t\,b\\ z=z_A+t\,c\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.\]
Positions relatives de deux droites
Deux droites de vecteurs directeurs \(\vec u\) et \(\vec u'\) :
- \(\vec u,\vec u'\) colinéaires : les droites sont parallèles (confondues ou strictement) ;
- \(\vec u,\vec u'\) non colinéaires : elles sont sécantes (si coplanaires) ou non coplanaires (« gauches »).
1.4 Plan : paramétrique et équation cartésienne
Représentation paramétrique
Le plan \((P)\) passant par \(A\) et dirigé par \(\vec u(a,b,c)\), \(\vec v(a',b',c')\) non colinéaires est l'ensemble des points
\[\begin{cases} x=x_A+t\,a+s\,a'\\ y=y_A+t\,b+s\,b'\\ z=z_A+t\,c+s\,c'\end{cases}\qquad t,s\in\mathbb{R}.\]
Équation cartésienne
Tout plan admet une équation cartésienne \(ax+by+cz+d=0\) avec \((a,b,c)\neq(0,0,0)\), et réciproquement toute telle équation représente un plan.
Positions relatives de deux plans
Deux plans \(ax+by+cz+d=0\) et \(a'x+b'y+c'z+d'=0\) :
- si \((a,b,c)\) et \((a',b',c')\) sont proportionnels : plans parallèles (confondus si \(d\) suit la même proportion, strictement parallèles sinon) ;
- sinon : plans sécants selon une droite.
Droite comme intersection de deux plans
Une droite de l'espace peut être décrite par deux équations cartésiennes (intersection de deux plans sécants) :
\[(D):\ \begin{cases} ax+by+cz+d=0\\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}\]
Position d'une droite et d'un plan
Pour \((D)\) de vecteur directeur \(\vec u\) et \((P):ax+by+cz+d=0\), on reporte la paramétrisation de \((D)\) dans l'équation de \((P)\). L'équation obtenue en \(t\) a :
- une solution : \((D)\) sécante à \((P)\) (un point) ;
- aucune solution : \((D)\) strictement parallèle à \((P)\) ;
- une infinité : \((D)\) incluse dans \((P)\).
2 · Exercices résolus
Coplanarité
Exercice 1
Les points \(A(1,0,1)\), \(B(2,1,0)\), \(C(0,1,2)\), \(D(1,2,1)\) sont-ils coplanaires ?
Voir la correction
On teste la coplanarité de \(\overrightarrow{AB}(1,1,-1)\), \(\overrightarrow{AC}(-1,1,1)\), \(\overrightarrow{AD}(0,2,0)\) : \[\det=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 2\\ -1 & 1 & 0\end{vmatrix}=1(1\cdot0-2\cdot1)-(-1)(1\cdot0-2\cdot(-1))+0=-2+2=0.\] Le déterminant est nul : les quatre points sont coplanaires. ∎
Droite ∩ plan
Exercice 2
Déterminer l'intersection de la droite \((D):\begin{cases}x=1+t\\ y=2t\\ z=-t\end{cases}\) et du plan \((P):x+y+z-4=0\).
Voir la correction
On reporte la paramétrisation dans \((P)\) : \((1+t)+(2t)+(-t)-4=0\iff2t-3=0\iff t=\frac32\).
Une seule solution : \((D)\) est sécante à \((P)\). Le point d'intersection (pour \(t=\frac32\)) : \(x=\frac52,\ y=3,\ z=-\frac32\), soit \(I\big(\frac52,3,-\frac32\big)\). ∎
L'essentiel du chapitre
- Coordonnées : tout se calcule coordonnée par coordonnée (vecteur \(\overrightarrow{AB}\), milieu).
- Déterminant de trois vecteurs : nul \(\iff\) coplanaires ; non nul \(\iff\) base de l'espace.
- Droite : paramétrique (point + vecteur directeur), ou intersection de deux plans.
- Plan : paramétrique (point + deux vecteurs), ou cartésienne \(ax+by+cz+d=0\).
- Position droite/plan : reporter la paramétrisation dans l'équation du plan et compter les solutions.
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