1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 15

Vecteurs de l'espace

1 · Résumé du cours

1.1 Vecteurs et opérations

Définition Un vecteur de l'espace est caractérisé par une direction, un sens et une norme (longueur). Deux vecteurs sont égaux s'ils ont ces trois éléments en commun : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) signifie que \(ABDC\) est un parallélogramme.

Somme et relation de Chasles Comme dans le plan : \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\ (\text{Chasles}),\qquad \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\ \text{si }ABCD\text{ est un parallélogramme}.\] La multiplication par un réel obéit aux mêmes règles que dans le plan.

1.2 Colinéarité et alignement

Définition Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) (avec \(\vec u\neq\vec0\)) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec v=k\,\vec u\).

Alignement et parallélisme

Trois points \(A,B,C\) sont alignés \(\iff\) \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires ;
les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles \(\iff\) \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.

Définition vectorielle d'une droite La droite passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec u\neq\vec0\) est l'ensemble des points \(M\) tels que \[\overrightarrow{AM}=t\,\vec u,\qquad t\in\mathbb{R}.\]

1.3 Plan et vecteurs coplanaires

Définition vectorielle d'un plan Le plan passant par \(A\) et dirigé par deux vecteurs non colinéaires \(\vec u\) et \(\vec v\) est l'ensemble des points \(M\) tels que \[\overrightarrow{AM}=t\,\vec u+s\,\vec v,\qquad t,s\in\mathbb{R}.\] Le couple \((\vec u,\vec v)\) forme une base du plan.

Vecteurs coplanaires Trois vecteurs \(\vec u,\vec v,\vec w\) sont coplanaires s'ils admettent des représentants dans un même plan.

Caractérisation Si \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires, alors \(\vec u,\vec v,\vec w\) sont coplanaires si et seulement si \(\vec w\) est une combinaison linéaire de \(\vec u\) et \(\vec v\) : \[\exists\,a,b\in\mathbb{R},\quad \vec w=a\,\vec u+b\,\vec v.\]

Coplanaires = « pas de vraie 3D » Trois vecteurs coplanaires « tiennent » dans un même plan : ils ne suffisent pas à décrire tout l'espace. À l'inverse, trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace — tout vecteur s'écrit alors de façon unique \(\vec w=a\vec u+b\vec v+c\vec t\). C'est l'analogue 3D de « deux vecteurs non colinéaires » dans le plan.

Points coplanaires Quatre points \(A,B,C,D\) sont coplanaires \(\iff\) les vecteurs \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\) sont coplanaires \(\iff\) \(\overrightarrow{AD}\) est combinaison linéaire de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) (si ces deux-là ne sont pas colinéaires).

2 · Exercices résolus

Tétraèdre

Exercice 1

\(ABCD\) est un tétraèdre. \(I\) est le milieu de \([AB]\), \(J\) celui de \([CD]\). Exprimer \(\overrightarrow{IJ}\) en fonction de \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BD}\).

Voir la correction

Par Chasles : \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CJ}\) et \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DJ}\).

En additionnant : \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0\) (\(I\) milieu de \([AB]\)) et \(\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{DJ}=\vec0\) (\(J\) milieu de \([CD]\)). Il reste \(2\,\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\), donc \[\overrightarrow{IJ}=\tfrac12\big(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\big).\] ∎

Coplanarité

Exercice 2

On donne \(\vec u,\vec v,\vec w\) avec \(\vec w=2\vec u-3\vec v\). Ces trois vecteurs sont-ils coplanaires ?

Voir la correction

\(\vec w\) est une combinaison linéaire de \(\vec u\) et \(\vec v\) (\(a=2,\ b=-3\)). Par la caractérisation, les trois vecteurs sont donc coplanaires. ∎

L'essentiel du chapitre

Tout le calcul vectoriel du plan (Chasles, colinéarité, barycentre) reste valable dans l'espace.
Alignement : \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\) colinéaires ; droite : \(\overrightarrow{AM}=t\vec u\).
Plan : \(\overrightarrow{AM}=t\vec u+s\vec v\) (avec \(\vec u,\vec v\) non colinéaires).
Coplanaires : \(\vec w=a\vec u+b\vec v\) ; trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace.

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