L'algèbre linéaire commence ici, et vous suivra jusqu'en classes préparatoires. Le vocabulaire est nouveau, mais les idées sont géométriques : tout revient à comprendre comment des vecteurs se combinent. Le réflexe unique du chapitre : poser une combinaison linéaire, puis résoudre. Partout, \(E\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\).
1.1 Espace vectoriel réel
Définition
\(E\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\) (ou \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel) s'il est muni d'une addition interne et d'une loi externe \(\cdot:\mathbb{R}\times E\to E\) telles que : ① \((E,+)\) est un groupe abélien (neutre le vecteur nul \(\vec 0\)) ; ② pour tous \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\) et \(\vec x,\vec y\in E\) :
\[\lambda(\vec x+\vec y)=\lambda\vec x+\lambda\vec y,\quad(\lambda+\mu)\vec x=\lambda\vec x+\mu\vec x,\quad\lambda(\mu\vec x)=(\lambda\mu)\vec x,\quad 1\cdot\vec x=\vec x.\]
Les éléments de \(E\) sont les vecteurs, ceux de \(\mathbb{R}\) les scalaires. Références : \(\mathbb{R}^{2}\), \(\mathbb{R}^{3}\), \(\mathbb{R}^{n}\).
Règles de calcul
Dans tout espace vectoriel : \(0\cdot\vec x=\vec 0\), \(\lambda\cdot\vec 0=\vec 0\), \((-1)\vec x=-\vec x\), et surtout
\[\boxed{\;\lambda\vec x=\vec 0\ \Longleftrightarrow\ \lambda=0\ \text{ ou }\ \vec x=\vec 0\;}\]
La règle du produit nul, version vectorielle
Cette équivalence est l'exact analogue de l'intégrité dans \(\mathbb{R}\) (chapitre 12) : un produit externe \(\lambda\vec x\) est nul si et seulement si l'un des deux facteurs l'est. C'est elle qui autorise à « diviser par \(\lambda\) » (quand \(\lambda\neq0\)) dans une égalité vectorielle.
1.2 Des espaces vectoriels au-delà de \(\mathbb{R}^{n}\)
Exemples fondamentaux
Un seul jeu d'axiomes, une infinité d'objets qui s'y plient :
\(\mathbb{C}\), avec son addition et la multiplication par un réel ;
\(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\), les fonctions, avec \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) et \((\lambda f)(x)=\lambda f(x)\) ;
\(\mathbb{R}_n[X]\), les polynômes de degré \(\le n\) ;
\(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), les matrices carrées d'ordre \(2\) (chapitre 11).
1.3 Sous-espace vectoriel
Critère du sous-espace vectoriel (SEV)
Une partie \(F\) de \(E\) est un sous-espace vectoriel si et seulement si : ① \(\vec 0\in F\) (donc \(F\neq\varnothing\)) ; ② pour tous \(\vec u,\vec v\in F\) et tous réels \(\alpha,\beta\) : \(\boxed{\,\alpha\vec u+\beta\vec v\in F\,}\).
Le critère qui remplace tout
Inutile de revérifier les axiomes d'espace vectoriel sur \(F\) : ils sont hérités de \(E\). Le critère en deux points suffit — et la deuxième condition regroupe à elle seule la stabilité par addition et par multiplication scalaire.
1.4 Combinaisons linéaires & sous-espace engendré
Combinaison linéaire · famille génératrice
Une combinaison linéaire de \(\vec v_1,\dots,\vec v_p\) est un vecteur \(\alpha_1\vec v_1+\cdots+\alpha_p\vec v_p\) (\(\alpha_i\in\mathbb{R}\)). La famille est génératrice de \(E\) si tout vecteur de \(E\) est une telle combinaison — ils suffisent à « fabriquer » l'espace.
Sous-espace engendré \(\mathrm{Vect}\)
\[\boxed{\;\mathrm{Vect}(\vec v_1,\dots,\vec v_p)=\big\{\alpha_1\vec v_1+\cdots+\alpha_p\vec v_p\ ;\ \alpha_i\in\mathbb{R}\big\}\;}\]
C'est toujours un sous-espace vectoriel de \(E\) (le plus petit contenant les \(\vec v_i\)). De plus : la famille est génératrice de \(E\) \(\iff\mathrm{Vect}(\vec v_1,\dots,\vec v_p)=E\).
Une combinaison linéaire \(\alpha\vec u+\beta\vec v\) s'obtient par la règle du parallélogramme. L'ensemble de toutes ces combinaisons, quand \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires, remplit un plan : c'est \(\mathrm{Vect}(\vec u,\vec v)\).
1.5 Familles libres, familles liées
Définition
\((\vec v_1,\dots,\vec v_p)\) est libre si la seule combinaison linéaire nulle est celle à coefficients tous nuls :
\[\alpha_1\vec v_1+\cdots+\alpha_p\vec v_p=\vec 0\ \Longrightarrow\ \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0.\]
Sinon, la famille est liée.
Propriétés à connaître
Deux vecteurs sont liés \(\iff\) ils sont colinéaires ;
toute famille contenant \(\vec 0\) est liée ; une famille libre n'a que des vecteurs non nuls ;
une famille est liée \(\iff\) l'un des vecteurs est combinaison linéaire des autres (il est redondant) ;
monotonie : toute sous-famille d'une libre est libre ; toute sur-famille d'une liée est liée.
Critère du déterminant
Coordonnées prises dans une base fixée : deux vecteurs \(\vec u(x_1,y_1)\), \(\vec v(x_2,y_2)\) du plan sont libres \(\iff\)
\[\boxed{\;\begin{vmatrix}x_1&x_2\\y_1&y_2\end{vmatrix}=x_1y_2-x_2y_1\neq0\;}\]
En dimension \(3\), trois vecteurs sont libres \(\iff\) leur déterminant \(3\times3\) est non nul.
Déterminant nul = vecteurs liés
Le déterminant mesure une aire (dim \(2\)) ou un volume (dim \(3\)) : il s'annule exactement quand les vecteurs sont « aplatis », c'est-à-dire liés. Pour deux ou trois vecteurs, ce calcul remplace avantageusement la résolution du système.
1.6 Base et dimension
Base · coordonnées
Une base de \(E\) est une famille à la fois libre et génératrice. Dans une base \((\vec e_1,\dots,\vec e_n)\), tout vecteur s'écrit de manière unique \(\vec u=x_1\vec e_1+\cdots+x_n\vec e_n\) ; les \(x_i\) sont les coordonnées de \(\vec u\).
Dimension
Toutes les bases d'un même espace ont le même nombre de vecteurs : c'est la dimension \(\dim E\). Ainsi \(\dim\mathbb{R}^{2}=2\), \(\dim\mathbb{R}^{3}=3\), \(\dim\mathbb{R}^{n}=n\). Toute matrice se décompose de manière unique sur \(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\) : d'où \(\dim\mathcal{M}_2(\mathbb{R})=4\).
Droite & plan vectoriels
Un SEV de dimension \(1\) est une droite vectorielle : \(\mathrm{Vect}(\vec x_1)\) avec \(\vec x_1\neq\vec 0\). Un SEV de dimension \(2\) est un plan vectoriel : \(\mathrm{Vect}(\vec x_1,\vec x_2)\) avec \(\vec x_1,\vec x_2\) non colinéaires.
Le raccourci sur la dimension
Dans un espace de dimension \(n\) : une famille libre a au plus \(n\) vecteurs ; une famille génératrice au moins \(n\) ; et une famille de exactement \(n\) vecteurs est une base dès qu'elle est libre (ou dès qu'elle est génératrice) — inutile de vérifier les deux.
2 · Feuille de route
L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.
1
Espace vectoriel
\((E,+)\) abélien + loi externe ; \(\lambda\vec x=\vec0\iff\lambda=0\) ou \(\vec x=\vec0\).
2
Sous-espace
Critère : \(\vec0\in F\) et \(\alpha\vec u+\beta\vec v\in F\).
3
\(\mathrm{Vect}\) & génératrice
Toutes les combinaisons linéaires ; \(\mathrm{Vect}=E\) ⇒ génératrice.
4
Libre / liée
Poser \(\sum\alpha_i\vec v_i=\vec0\), résoudre le système.
5
Déterminant
Dim \(2\)–\(3\) : \(\det\neq0\Rightarrow\) libre.
6
Base & dimension
Libre + génératrice ; \(n\) vecteurs libres en dim \(n\) ⇒ base.
3 · Exercices choisis
Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.
Famille libre
Exercice 1
Dans \(\mathbb{R}^{3}\), la famille \(\big(\vec u(1,0,1),\ \vec v(0,1,1)\big)\) est-elle libre ?
Voir la correction
On pose \(\alpha\vec u+\beta\vec v=\vec 0\), soit \((\alpha,\beta,\alpha+\beta)=(0,0,0)\), d'où le système
\[\begin{cases}\alpha=0\\\beta=0\\\alpha+\beta=0\end{cases}\]
Les deux premières équations imposent \(\alpha=\beta=0\) (la troisième suit). La seule solution est nulle : la famille est libre.
Comme elle ne compte que \(2\) vecteurs dans \(\mathbb{R}^{3}\) (dimension \(3\)), elle n'est pas génératrice : elle engendre un plan vectoriel dont elle constitue une base. ∎
Famille liée · colinéarité
Exercice 2
Dans \(\mathbb{R}^{2}\), la famille \(\big(\vec u(1,2),\ \vec v(3,6)\big)\) est-elle libre ou liée ?
Voir la correction
On remarque que \(\vec v=(3,6)=3(1,2)=3\vec u\) : les deux vecteurs sont colinéaires, donc la famille est liée.
Confirmation par la définition : \(3\vec u-\vec v=\vec 0\) est une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls (\(3\) et \(-1\)). Par le déterminant : \(\begin{vmatrix}1&3\\2&6\end{vmatrix}=6-6=0\) ✓.
Réflexe : dans le plan, deux vecteurs sont liés dès que leurs coordonnées sont proportionnelles. ∎
Sous-espace vectoriel
Exercice 3
Montrer que \(F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\ ;\ x+y-z=0\}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{3}\), puis en donner une base.
Voir la correction
Méthode \(\mathrm{Vect}\) (la plus rentable). La condition \(x+y-z=0\) s'écrit \(z=x+y\). Un élément de \(F\) est donc
\[(x,y,x+y)=x(1,0,1)+y(0,1,1).\]
Ainsi \(F=\mathrm{Vect}\big((1,0,1),(0,1,1)\big)\) : c'est automatiquement un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{3}\).
Les deux vecteurs \((1,0,1)\) et \((0,1,1)\) sont non colinéaires (exercice 1 : libres), donc ils forment une base de \(F\), et \(\dim F=2\) : \(F\) est un plan vectoriel. ∎
Base & coordonnées
Exercice 4
Montrer que \(\mathcal{B}=\big(\vec e_1(1,1),\ \vec e_2(1,-1)\big)\) est une base de \(\mathbb{R}^{2}\), puis donner les coordonnées de \(\vec w(5,1)\) dans \(\mathcal{B}\).
Voir la correction
Base : \(\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=(1)(-1)-(1)(1)=-2\neq0\), donc \(\mathcal{B}\) est libre. Deux vecteurs libres dans \(\mathbb{R}^{2}\) (dimension \(2\)) forment automatiquement une base (raccourci de la dimension).
Coordonnées : on cherche \(a,b\) tels que \(a\vec e_1+b\vec e_2=\vec w\), soit
\[\begin{cases}a+b=5\\a-b=1\end{cases}\Longrightarrow a=3,\ b=2.\]
Donc \(\vec w=3\vec e_1+2\vec e_2\) : ses coordonnées dans \(\mathcal{B}\) sont \((3,2)\), et elles sont uniques. ∎
Redondance · déterminant
Exercice 5
Dans \(\mathbb{R}^{3}\), la famille \(\big(\vec u(1,0,1),\ \vec v(0,1,1),\ \vec w(1,1,2)\big)\) est-elle libre ?
Voir la correction
Observation directe : \(\vec w=(1,1,2)=(1,0,1)+(0,1,1)=\vec u+\vec v\). Le vecteur \(\vec w\) est redondant (combinaison linéaire des deux autres) : la famille est liée.
Confirmation par le déterminant :
\[\begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&2\end{vmatrix}=1(1\cdot2-1\cdot1)-0+1(0\cdot1-1\cdot1)=1-1=0.\]
Le déterminant est nul : les trois vecteurs sont « aplatis » dans un même plan (celui de l'exercice 1), donc liés. ∎
Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.
4 · Astuces & pièges à éviter
Astuce Le réflexe unique : pour tester une famille, poser \(\sum\alpha_i\vec v_i=\vec 0\), traduire en système, résoudre.
Astuce Pour prouver qu'une partie est un SEV, l'écrire sous forme \(\mathrm{Vect}(\dots)\) : c'est immédiat, et on gagne une base au passage.
Astuce En dimension \(2\)–\(3\), le déterminant tranche : \(\neq0\Rightarrow\) libre, \(=0\Rightarrow\) liée — plus rapide que le système.
AstuceRaccourci : \(n\) vecteurs libres dans un espace de dimension \(n\) forment déjà une base — pas besoin de vérifier « génératrice ».
Piège Une famille contenant le vecteur nul est toujours liée : une famille libre n'a que des vecteurs non nuls.
Piège « Libre » et « génératrice » sont indépendants : une famille peut être libre sans engendrer \(E\) (trop peu de vecteurs), ou génératrice sans être libre (redondance).
Piège Ne pas confondre colinéaires (deux vecteurs) et liés : la colinéarité n'est le critère que pour deux vecteurs.
Piège Vérifier \(\vec 0\in F\) d'abord : si le vecteur nul n'y est pas, \(F\) n'est pas un sous-espace, inutile d'aller plus loin.
Formulaire à retenir
Espace vectoriel \((E,+,\cdot)\) \((E,+)\) groupe abélien de neutre \(\vec 0\) · loi externe \(\cdot:\mathbb{R}\times E\to E\)
Axiomes de la loi externe \(\lambda(\vec x+\vec y)=\lambda\vec x+\lambda\vec y\) · \((\lambda+\mu)\vec x=\lambda\vec x+\mu\vec x\) · \(\lambda(\mu\vec x)=(\lambda\mu)\vec x\) · \(1\cdot\vec x=\vec x\)