2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 12

Groupes, anneaux et corps

1 · Résumé du cours

On assemble maintenant les briques du chapitre précédent. Un groupe, c'est une loi qui vérifie une courte liste d'axiomes ; un anneau, deux lois qui coopèrent ; un corps, un anneau où tout se divise. Tout se démontre en vérifiant une liste — jamais « au feeling ».

1.1 Groupes

Définition Un ensemble \(G\) muni d'une loi \(\ast\) est un groupe, noté \((G,\ast)\), lorsque : ① \(\ast\) est interne ; ② \(\ast\) est associative ; ③ \(G\) possède un élément neutre \(e\) ; ④ tout élément de \(G\) admet un symétrique dans \(G\). Si de plus \(\ast\) est commutative, le groupe est dit abélien.

Exemples & contre-exemple \((\mathbb{Z},+)\), \((\mathbb{R},+)\), \((\mathbb{C},+)\) et \((\mathbb{R}^{*},\times)\) sont des groupes abéliens. En revanche \((\mathbb{N},+)\) n'est pas un groupe : \(2\) n'a pas de symétrique dans \(\mathbb{N}\) (il faudrait \(-2\)).

Méthode — montrer que \((G,\ast)\) est un groupe On vérifie les quatre points dans l'ordre : ① interne \(a\ast b\in G\) ; ② associative ; ③ neutre — résoudre \(a\ast e=a\) pour trouver \(e\) ; ④ symétrique — résoudre \(a\ast a'=e\) et vérifier \(a'\in G\).

1.2 Sous-groupes

Critère du sous-groupe Une partie \(H\) de \(G\) est un sous-groupe de \((G,\ast)\) si et seulement si : ① \(e\in H\) (donc \(H\neq\varnothing\)) ; ② pour tous \(x,y\in H\), \(\boxed{\,x\ast y'\in H\,}\) (où \(y'\) est le symétrique de \(y\)).

Pourquoi ce critère fait gagner du temps Un sous-groupe est déjà un groupe : inutile de re-vérifier l'associativité, elle est héritée de \(G\). Il suffit de contrôler que \(H\) contient le neutre et reste stable par \(x\ast y'\) — deux lignes suffisent.

1.3 Morphismes de groupes

Morphisme & isomorphisme Soient \((G,\ast)\) et \((G',\top)\) deux groupes. Une application \(f:G\to G'\) est un morphisme de groupes si \(\boxed{\,f(a\ast b)=f(a)\top f(b)\,}\) pour tous \(a,b\in G\). Un morphisme bijectif est un isomorphisme.

Ce qu'un morphisme respecte Si \(f:(G,\ast)\to(G',\top)\) est un morphisme, alors \(f(e)=e'\) (le neutre va sur le neutre) et \(f(a')=\big(f(a)\big)'\) (il respecte les symétriques).

Exemple fondamental \(\ln:(\mathbb{R}_+^{*},\times)\to(\mathbb{R},+)\) vérifie \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\) : il transforme le produit en somme. C'est même un isomorphisme, de réciproque \(\exp\).

1.4 Anneaux

Définition Un anneau \((A,+,\times)\) est un ensemble muni de deux lois telles que : \((A,+)\) est un groupe abélien (de neutre \(0_A\)) ; \(\times\) est associative ; \(\times\) est distributive à gauche et à droite par rapport à \(+\) : \[a\times(b+c)=a\times b+a\times c\quad\text{et}\quad(b+c)\times a=b\times a+c\times a.\] Si \(\times\) admet un neutre \(1_A\ (\neq0_A)\), l'anneau est unitaire ; si \(\times\) est commutative, l'anneau est commutatif.

Pourquoi « à gauche ET à droite » Tant que \(\times\) n'est pas supposée commutative, \(a\times(b+c)\) et \((b+c)\times a\) sont a priori différents : il faut donc exiger la distributivité des deux côtés. Dans les anneaux usuels (\(\mathbb{Z},\mathbb{R},\mathbb{C}\)) les deux se confondent, mais l'axiome doit couvrir le cas général.

Règle utile Dans tout anneau : \(\;a\times0_A=0_A\times a=0_A\). Une partie \(B\) d'un anneau unitaire est un sous-anneau si \(1_A\in B\) et si, pour tous \(x,y\in B\), \(x-y\in B\) et \(x\times y\in B\).

Exemples \((\mathbb{Z},+,\times)\), \((\mathbb{R},+,\times)\), \((\mathbb{C},+,\times)\) sont des anneaux commutatifs unitaires. Mais \((\mathcal{M}_2(\mathbb{R}),+,\times)\) (chapitre 11) est un anneau unitaire non commutatif : \(\times\) y est associative et distributive, de neutre \(I\), mais \(A\times B\neq B\times A\) en général.

1.5 Diviseurs de zéro & anneaux intègres

Diviseur de zéro · anneau intègre Dans un anneau \(A\), un élément \(a\neq0_A\) est un diviseur de zéro s'il existe \(b\neq0_A\) tel que \(a\times b=0_A\). Un anneau commutatif unitaire sans diviseur de zéro est intègre : \[\boxed{\;a\times b=0_A\ \Longrightarrow\ a=0_A\ \text{ ou }\ b=0_A\;}\]

Un anneau NON intègre — l'exemple à connaître \((\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+,\times)\) n'est pas intègre : \(\bar{2}\times\bar{3}=\bar{6}=\bar{0}\) alors que \(\bar{2}\neq\bar{0}\) et \(\bar{3}\neq\bar{0}\). De même \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) : \[\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O,\] avec deux facteurs non nuls : ce sont des diviseurs de zéro.

Ce que l'intégrité autorise Dans un anneau intègre, on peut simplifier : \(a\times b=a\times c\) et \(a\neq0_A\ \Longrightarrow\ b=c\).

Pourquoi l'intégrité est vitale C'est elle qui justifie le réflexe « un produit est nul \(\iff\) l'un des facteurs est nul » — donc toute la résolution d'équations par factorisation. Dans un anneau non intègre, cette règle tombe, et une équation du second degré peut avoir plus de deux solutions. Notez que tout corps est intègre.

1.6 Corps & hiérarchie des structures

Définition Un corps est un anneau commutatif unitaire dans lequel tout élément non nul admet un inverse pour \(\times\). Autrement dit : « un anneau où l'on peut diviser ».

Exemples & contre-exemple \((\mathbb{R},+,\times)\) et \((\mathbb{C},+,\times)\) sont des corps. \((\mathbb{Z},+,\times)\) est un anneau commutatif unitaire, mais pas un corps : \(2\) n'a pas d'inverse dans \(\mathbb{Z}\) (il faudrait \(\tfrac12\notin\mathbb{Z}\)). Enfin \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)\) est un corps si et seulement si \(n\) est premier.

Les trois structures s'emboîtent par ajout d'axiomes (et non par inclusion d'ensembles) : le groupe gère une loi ; l'anneau en ajoute une seconde, distributive ; le corps exige en plus que tout non nul soit inversible.

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

Groupe

Interne, associative, neutre, symétrique (+ abélien si commutative).

Sous-groupe

Critère : \(e\in H\) et \(x\ast y'\in H\) — assoc. héritée.

Morphisme

\(f(a\ast b)=f(a)\top f(b)\) ; envoie neutre sur neutre.

Anneau

\((A,+)\) abélien ; \(\times\) assoc. & distributive (2 côtés).

Intégrité

\(ab=0\Rightarrow a=0\) ou \(b=0\) : autorise la factorisation.

Corps

Anneau comm. unitaire où tout non nul est inversible.

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Groupe abélien

Exercice 1

Sur \(\mathbb{R}\), on définit \(a\ast b=a+b-3\). Montrer que \((\mathbb{R},\ast)\) est un groupe abélien.

Voir la correction

Interne : \(a+b-3\in\mathbb{R}\) ✓. Associative : \((a\ast b)\ast c=a+b+c-6=a\ast(b\ast c)\) ✓. Commutative : \(a+b-3=b+a-3\) ✓.

Neutre : \(a\ast e=a\Rightarrow a+e-3=a\Rightarrow e=3\) (indépendant de \(a\)) ✓.

Symétrique : \(a\ast a'=3\Rightarrow a+a'-3=3\Rightarrow a'=6-a\), qui existe pour tout réel \(a\) ✓.

Les quatre axiomes plus la commutativité sont vérifiés : \((\mathbb{R},\ast)\) est un groupe abélien. ∎

Sous-groupe

Exercice 2

Montrer que \(2\mathbb{Z}=\{2k\ ;\ k\in\mathbb{Z}\}\) est un sous-groupe de \((\mathbb{Z},+)\).

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Pour la loi \(+\), le symétrique de \(y\) est \(-y\) ; le critère devient \(x-y\in H\).

Neutre : \(0=2\times0\in2\mathbb{Z}\), donc \(2\mathbb{Z}\neq\varnothing\) ✓.

Stabilité : soient \(x=2k\) et \(y=2k'\). Alors \(x-y=2k-2k'=2(k-k')\in2\mathbb{Z}\) ✓.

Les deux conditions sont remplies : \(2\mathbb{Z}\) est un sous-groupe de \((\mathbb{Z},+)\). Une seule ligne de calcul aura suffi. ∎

Morphisme de groupes

Exercice 3

On munit \(\{-1,1\}\) de la multiplication. Montrer que \(f:(\mathbb{Z},+)\to(\{-1,1\},\times)\), \(f(n)=(-1)^n\), est un morphisme de groupes, puis vérifier qu'il envoie le neutre sur le neutre.

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Morphisme : pour tous \(m,n\in\mathbb{Z}\), \(f(m+n)=(-1)^{m+n}=(-1)^m\times(-1)^n=f(m)\times f(n)\) ✓ (la somme devient produit).

Neutre : le neutre de \((\mathbb{Z},+)\) est \(0\), et \(f(0)=(-1)^0=1\), qui est le neutre de \((\{-1,1\},\times)\) ✓.

Symétriques : le symétrique de \(n\) est \(-n\), et \(f(-n)=(-1)^{-n}=(-1)^n=\big(f(n)\big)^{-1}\) (car \(1\) et \(-1\) sont leurs propres inverses). \(f\) est bien un morphisme. ∎

Intégrité & corps

Exercice 4

a) Montrer que \((\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+,\times)\) n'est pas intègre. b) Justifier que \((\mathbb{Z}/5\mathbb{Z},+,\times)\) est un corps.

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a) On a \(\bar{2}\times\bar{3}=\bar{6}=\bar{0}\), or \(\bar{2}\neq\bar{0}\) et \(\bar{3}\neq\bar{0}\). Le produit de deux éléments non nuls est nul : \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) possède des diviseurs de zéro, il n'est pas intègre (cohérent avec \(6=2\times3\) non premier).

b) \(5\) est premier, donc tout \(\bar{a}\neq\bar{0}\) vérifie \(a\wedge5=1\) : par Bézout, \(\bar{a}\) est inversible dans \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\). Par exemple \(\bar{2}\times\bar{3}=\bar{6}=\bar{1}\), donc \(\bar{2}^{-1}=\bar{3}\). Comme l'anneau est commutatif unitaire et que tout non nul est inversible, \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) est un corps. ∎

Corps \(\mathbb{Q}(\sqrt2)\)

Exercice 5

Soit \(K=\{a+b\sqrt2\ ;\ a,b\in\mathbb{Q}\}\). Montrer que \(K\) est stable par produit, puis que tout élément non nul de \(K\) admet un inverse dans \(K\).

Voir la correction

Stabilité par \(\times\) : \((a+b\sqrt2)(c+d\sqrt2)=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt2\), avec \(ac+2bd\in\mathbb{Q}\) et \(ad+bc\in\mathbb{Q}\) : le résultat est de la forme voulue ✓ (\(K\) contient aussi \(1=1+0\sqrt2\)).

Inverse : soit \(x=a+b\sqrt2\neq0\). On multiplie par le conjugué : \[\frac{1}{a+b\sqrt2}=\frac{a-b\sqrt2}{(a+b\sqrt2)(a-b\sqrt2)}=\frac{a-b\sqrt2}{a^2-2b^2}=\frac{a}{a^2-2b^2}-\frac{b}{a^2-2b^2}\sqrt2.\]

Le dénominateur \(a^2-2b^2\) est non nul : sinon \(\sqrt2=\pm a/b\) serait rationnel, ce qui est faux. Les deux coefficients sont dans \(\mathbb{Q}\), donc l'inverse appartient à \(K\). Ainsi \((K,+,\times)\) est un corps. ∎

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Une structure = une liste d'axiomes à cocher : on démontre en vérifiant chaque point, jamais « au feeling ».

Astuce Sous-groupe : ne re-vérifie jamais l'associativité — elle est héritée. Seuls \(e\in H\) et \(x\ast y'\in H\) comptent.

Astuce Un morphisme envoie neutre sur neutre et symétrique sur symétrique — trois lignes de vérification.

Astuce Corps = « anneau où l'on peut diviser » ; \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un corps \(\iff n\) est premier.

Piège Anneau \(\neq\) commutatif : la distributivité doit être exigée à gauche ET à droite (\(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\)).

Piège Dans un anneau non intègre, \(ab=0\) n'entraîne pas \(a=0\) ou \(b=0\) : la factorisation ne s'applique plus (\(\bar{2}\times\bar{3}=\bar{0}\) dans \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\)).

Piège \((\mathbb{Z},+,\times)\) est intègre mais pas un corps : intégrité \(\neq\) tout non nul inversible.

Piège Les structures s'emboîtent par axiomes, pas par inclusion d'ensembles : « corps \(\Rightarrow\) anneau », « anneau \(\Rightarrow\) \((A,+)\) groupe abélien ».

Formulaire à retenir

Groupe \((G,\ast)\) interne · associative · neutre \(e\) · tout élément symétrisable

Groupe abélien groupe + \(\ast\) commutative

Sous-groupe \(e\in H\) et \(\forall x,y\in H,\ x\ast y'\in H\) (assoc. héritée)

Morphisme \(f(a\ast b)=f(a)\top f(b)\)

Propriétés d'un morphisme \(f(e)=e'\) et \(f(a')=\big(f(a)\big)'\)

Isomorphisme morphisme bijectif (ex. \(\ln:(\mathbb{R}_+^{*},\times)\to(\mathbb{R},+)\))

Anneau \((A,+,\times)\) \((A,+)\) groupe abélien · \(\times\) associative · distributive

Distributivité (2 côtés) \(a(b+c)=ab+ac\) et \((b+c)a=ba+ca\)

Règle du zéro \(a\times0_A=0_A\times a=0_A\)

Unitaire · commutatif \(1_A\neq0_A\) neutre de \(\times\) · \(\times\) commutative

Sous-anneau \(1_A\in B\), \(x-y\in B\) et \(x\times y\in B\)

Diviseur de zéro \(a\neq0_A\), \(\exists b\neq0_A,\ a\times b=0_A\)

Anneau intègre \(a\times b=0_A\Rightarrow a=0_A\) ou \(b=0_A\)

Simplification (intègre) \(ab=ac\) et \(a\neq0_A\Rightarrow b=c\)

Corps anneau commutatif unitaire où tout non nul est inversible

Hiérarchie corps \(\Rightarrow\) anneau comm. unitaire \(\Rightarrow\) \((A,+)\) groupe abélien

Tout corps est intègre \(ab=0,\ a\neq0\Rightarrow b=a^{-1}(ab)=0\)

\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) corps \(\iff n\) premier ; \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) non intègre (\(\bar{2}\bar{3}=\bar{0}\))