2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 11

Lois de composition interne

1 · Résumé du cours

Avant de parler de groupes ou d'anneaux, il faut un objet plus simple : une opération sur un ensemble. Ce chapitre en étudie les propriétés une à une — associativité, neutre, symétrique — car ce sont précisément ces briques qui, assemblées, définiront les grandes structures du chapitre suivant.

1.1 Loi de composition interne & stabilité

Définition Une loi de composition interne (LCI) sur un ensemble \(E\) est une application qui, à tout couple \((a,b)\) d'éléments de \(E\), associe un unique élément de \(E\), noté \(a\ast b\).

« Interne » = stable (1ʳᵉ étape) Le mot interne signifie que le résultat reste dans \(E\). L'addition est une LCI sur \(\mathbb{N}\), mais la soustraction non, car \(2-5=-3\notin\mathbb{N}\). Vérifier la stabilité est toujours la première étape — avant même de tester la moindre propriété.

Partie stable Une partie \(F\) de \(E\) est stable par la loi \(\ast\) si, pour tous \(x,y\in F\), on a \(x\ast y\in F\).

1.2 Propriétés d'une loi

Associativité & commutativité \(\ast\) est associative si \((a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)\) pour tous \(a,b,c\) ; elle est commutative si \(a\ast b=b\ast a\) pour tous \(a,b\).

Élément neutre \(e\in E\) est neutre pour \(\ast\) si \(\boxed{\,a\ast e=e\ast a=a\,}\) pour tout \(a\in E\). S'il existe, il est unique.

Comment trouver le neutre On le cherche en résolvant l'équation \(a\ast e=a\) d'inconnue \(e\). Si la solution ne dépend pas de \(a\), c'est le neutre ; si elle en dépend, il n'y a pas de neutre.

Élément symétrique On suppose \(\ast\) muni d'un neutre \(e\). \(a'\in E\) est un symétrique de \(a\) si \(\boxed{\,a\ast a'=a'\ast a=e\,}\). Si \(\ast\) est associative, le symétrique, lorsqu'il existe, est unique.

Élément régulier (simplifiable) \(a\) est régulier si \(a\ast x=a\ast y\Rightarrow x=y\) et \(x\ast a=y\ast a\Rightarrow x=y\).

Symétrisable \(\Rightarrow\) régulier Tout élément admettant un symétrique (pour une loi associative) est automatiquement régulier : il suffit de « composer par le symétrique » des deux côtés pour simplifier. La réciproque est fausse en général (ex. : dans \((\mathbb{N},+)\) tout élément est régulier, mais aucun sauf \(0\) n'est symétrisable).

1.3 Distributivité

Définition Soient \(\ast\) et \(\top\) deux LCI sur \(E\). \(\top\) est distributive par rapport à \(\ast\) si pour tous \(a,b,c\) : \[a\top(b\ast c)=(a\top b)\ast(a\top c)\quad\text{et}\quad(b\ast c)\top a=(b\top a)\ast(c\top a).\]

À quoi ça sert La distributivité est la propriété qui relie deux lois entre elles. C'est elle qui, au chapitre suivant, permettra de passer d'un simple groupe à un anneau — une structure à deux lois.

1.4 Homomorphisme entre deux lois

Morphisme & isomorphisme Soient \((E,\ast)\) et \((F,\top)\). Une application \(f:E\to F\) est un homomorphisme (ou morphisme) si \(\boxed{\,f(a\ast b)=f(a)\top f(b)\,}\) pour tous \(a,b\in E\). Un morphisme bijectif est un isomorphisme ; \((E,\ast)\) et \((F,\top)\) sont alors isomorphes.

Le diagramme commutatif d'un morphisme : partir de \((a,b)\), composer par \(\ast\) puis appliquer \(f\), ou appliquer \(f\) puis composer par \(\top\) — on obtient le même résultat \(f(a\ast b)=f(a)\top f(b)\).

Ce qu'un morphisme transporte Un morphisme « fait passer » les propriétés de la loi de départ vers son image : il transporte l'associativité et la commutativité, envoie le neutre de \(\ast\) sur celui de \(\top\), et le symétrique de \(a\) sur le symétrique de \(f(a)\). Deux structures isomorphes sont, du point de vue algébrique, indiscernables.

Exemple fondamental \(\ln:(\mathbb{R}_+^{*},\times)\to(\mathbb{R},+)\) vérifie \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\) : c'est un isomorphisme de réciproque \(\exp\). Il transforme le produit en somme, envoie le neutre \(1\) sur le neutre \(0\), et l'inverse \(\frac1a\) sur l'opposé \(-\ln a\).

1.5 Un exemple à deux lois : les matrices \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\)

Matrices carrées d'ordre \(2\) Une matrice \(M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) (\(a,b,c,d\in\mathbb{R}\)) ; leur ensemble est \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), muni de deux lois internes : \[\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+a'&b+b'\\c+c'&d+d'\end{pmatrix},\] \[\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}aa'+bc'&ab'+bd'\\ca'+dc'&cb'+dd'\end{pmatrix}.\]

Propriétés

\(+\) est associative et commutative, de neutre la matrice nulle \(O=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\), et toute \(M\) admet une opposée \(-M\).
\(\times\) est associative et distributive par rapport à \(+\), de neutre l'identité \(I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\).
Mais \(\times\) n'est pas commutative.

Non-commutativité — l'exemple à connaître Avec \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\) : \(AB=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\) tandis que \(BA=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\). Donc \(AB\neq BA\). C'est le premier exemple naturel de loi associative non commutative — on le retrouvera comme anneau non commutatif au chapitre suivant.

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

Stabilité

\(a\ast b\in E\) : la loi est-elle bien interne ?

Commut. / assoc.

\(a\ast b=b\ast a\) ? \((a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)\) ?

Neutre

Résoudre \(a\ast e=a\) ; indépendant de \(a\) ⇒ neutre.

Symétriques

Résoudre \(a\ast a'=e\) ; qui admet un symétrique ?

Réguliers

Symétrisable ⇒ régulier (réciproque fausse).

Distributivité

\(\top\) sur \(\ast\) : relie les deux lois (→ anneau).

Morphismes

\(f(a\ast b)=f(a)\top f(b)\) ; bijectif = isomorphisme.

Matrices \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\)

Deux lois ; \(\times\) associative non commutative.

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Étude complète d'une loi

Exercice 1

Sur \(\mathbb{R}\), on définit \(a\ast b=a+b-3\). Étudier la commutativité, l'associativité, l'existence d'un neutre et des symétriques.

Voir la correction

Interne : \(a+b-3\in\mathbb{R}\) pour tous réels ✓.

Commutative : \(a\ast b=a+b-3=b+a-3=b\ast a\) ✓.

Associative : \((a\ast b)\ast c=(a+b-3)+c-3=a+b+c-6\), et \(a\ast(b\ast c)=a+(b+c-3)-3=a+b+c-6\) : égaux ✓.

Neutre : \(a\ast e=a\Rightarrow a+e-3=a\Rightarrow e=3\) (indépendant de \(a\)) ✓.

Symétriques : \(a\ast a'=3\Rightarrow a+a'-3=3\Rightarrow a'=6-a\), qui existe pour tout réel \(a\) ✓. Ainsi \(\ast\) est commutative, associative, de neutre \(3\), tout élément symétrisable. ∎

Neutre & symétrisables

Exercice 2

Sur \(\mathbb{R}\), on pose \(a\ast b=a+b+ab\). Déterminer l'élément neutre, puis l'ensemble des éléments qui admettent un symétrique.

Voir la correction

Neutre : \(a\ast e=a\Rightarrow a+e+ae=a\Rightarrow e(1+a)=0\). Pour que ce soit vrai pour tout \(a\), il faut \(e=0\).

Symétriques : \(a\ast a'=0\Rightarrow a+a'+aa'=0\Rightarrow a'(1+a)=-a\Rightarrow a'=\dfrac{-a}{1+a}\). Cette expression existe \(\iff 1+a\neq0\), soit \(a\neq-1\). Donc tout réel différent de \(-1\) admet un symétrique ; \(-1\) n'en a pas. ∎

Isomorphisme

Exercice 3

Soit \(f:(\mathbb{R},+)\to(\mathbb{R}_+^{*},\times)\) définie par \(f(x)=e^{2x}\). Montrer que \(f\) est un isomorphisme, puis en déduire l'image du neutre et du symétrique de \(x\).

Voir la correction

Morphisme : \(f(x+y)=e^{2(x+y)}=e^{2x}\times e^{2y}=f(x)\times f(y)\) ✓ (la somme devient produit).

Bijectif : \(f\) est strictement croissante et continue de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}_+^{*}\) ; sa réciproque est \(f^{-1}(y)=\frac12\ln y\). Donc \(f\) est un isomorphisme.

Transport : le neutre \(0\) de \((\mathbb{R},+)\) va sur \(f(0)=e^{0}=1\), le neutre de \((\mathbb{R}_+^{*},\times)\) ✓. Le symétrique de \(x\) est \(-x\), et \(f(-x)=e^{-2x}=\dfrac{1}{e^{2x}}=\big(f(x)\big)^{-1}\) : l'opposé va sur l'inverse. ∎

Élément régulier

Exercice 4

Sur \(\mathbb{N}\) muni de \(+\), montrer que tout élément est régulier, mais qu'aucun sauf \(0\) n'est symétrisable. Que peut-on en conclure ?

Voir la correction

Régulier : pour tous \(x,y,a\in\mathbb{N}\), \(a+x=a+y\Rightarrow x=y\) (on retranche \(a\) dans \(\mathbb{Z}\), le résultat reste dans \(\mathbb{N}\)). Tout \(a\) est donc régulier.

Symétrisable : le neutre est \(0\) ; \(a\) est symétrisable ssi il existe \(a'\in\mathbb{N}\) avec \(a+a'=0\), ce qui n'est possible que pour \(a=a'=0\).

Conclusion : la réciproque de « symétrisable \(\Rightarrow\) régulier » est fausse : tout élément de \(\mathbb{N}\) est régulier sans être symétrisable. ∎

Matrices · non-commutativité

Exercice 5

Dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), soient \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}\). Calculer \(AB\) et \(BA\), et conclure. Vérifier aussi que \(I\) est neutre pour \(A\).

Voir la correction

\(AB=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot3 & 1\cdot0+2\cdot1\\ 0\cdot1+1\cdot3 & 0\cdot0+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&2\\3&1\end{pmatrix}\).

\(BA=\begin{pmatrix}1\cdot1+0\cdot0 & 1\cdot2+0\cdot1\\ 3\cdot1+1\cdot0 & 3\cdot2+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}\).

Donc \(AB\neq BA\) : la multiplication n'est pas commutative. Enfin \(AI=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=A\) et \(IA=A\), donc \(I\) est bien le neutre de \(\times\). ∎

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Interne = stable : le résultat reste dans \(E\) — à vérifier avant tout le reste.

Astuce Le neutre se trouve en résolvant \(a\ast e=a\) ; il est unique.

Astuce Le symétrique se trouve en résolvant \(a\ast a'=e\) ; unique si la loi est associative.

Astuce Homomorphisme \(f(a\ast b)=f(a)\top f(b)\) : il transporte neutre et symétriques ; bijectif ⇒ isomorphisme.

Astuce La distributivité relie deux lois — c'est la clé de la structure d'anneau (chapitre 12).

Piège Symétrisable \(\Rightarrow\) régulier, mais la réciproque est fausse (\((\mathbb{N},+)\)).

Piège Si le \(e\) trouvé dépend de \(a\), il n'y a pas de neutre (donc pas de symétriques à chercher).

Piège Une loi peut être associative sans être commutative : les matrices \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) (\(\times\)) en sont l'exemple type.

Piège Ne pas oublier de vérifier le neutre des deux côtés (\(a\ast e\) et \(e\ast a\)) tant que la commutativité n'est pas acquise.

Formulaire à retenir

Loi interne (LCI) \(\ast:E\times E\to E\), \((a,b)\mapsto a\ast b\) (résultat dans \(E\))

Partie stable \(F\subset E\) stable : \(\forall x,y\in F,\ x\ast y\in F\)

Associativité \((a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)\)

Commutativité \(a\ast b=b\ast a\)

Élément neutre \(a\ast e=e\ast a=a\) ; unique s'il existe (résoudre \(a\ast e=a\))

Symétrique \(a\ast a'=a'\ast a=e\) ; unique si \(\ast\) associative (résoudre \(a\ast a'=e\))

Régulier \(a\ast x=a\ast y\Rightarrow x=y\) (et à droite)

Implication clé symétrisable \(\Rightarrow\) régulier (réciproque fausse)

Distributivité \(a\top(b\ast c)=(a\top b)\ast(a\top c)\) (et à droite)

Homomorphisme \(f(a\ast b)=f(a)\top f(b)\)

Isomorphisme homomorphisme bijectif ⇒ structures indiscernables

Transport par \(f\) \(f(e_\ast)=e_\top\), \(f(a')=\big(f(a)\big)'\)

Exemple \(\ln:(\mathbb{R}_+^{*},\times)\to(\mathbb{R},+)\), \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\)

Matrices — somme \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+a'&b+b'\\c+c'&d+d'\end{pmatrix}\)

Matrices — produit \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}aa'+bc'&ab'+bd'\\ca'+dc'&cb'+dd'\end{pmatrix}\)

Neutres matrices \(O=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\) pour \(+\) ; \(I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) pour \(\times\)

Non-commutativité en général \(AB\neq BA\) dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\)