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Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Espaces vectoriels — Méthodes & Formules

Sciences Excellence — Anass Shimi
1 · Les notions
Espace vectoriel
\((E,+)\) abélien + loi externe
4 axiomes du \(\cdot\)
Règle du zéro
\(\lambda\vec x=\vec0\iff\lambda=0\) ou \(\vec x=\vec0\)
« diviser par \(\lambda\) »
Sous-espace (SEV)
\(\vec0\in F,\ \alpha\vec u+\beta\vec v\in F\)
axiomes hérités
\(\mathrm{Vect}\)
toutes les comb. linéaires
le plus petit SEV
Famille libre
\(\sum\alpha_i\vec v_i=\vec0\Rightarrow\alpha_i=0\)
aucune redondance
Famille liée
un vecteur = comb. des autres
colinéaires si 2
Base
libre et génératrice
coordonnées uniques
Dimension
nombre de vecteurs d'une base
\(\dim\mathbb{R}^{n}=n\)
2 · Les méthodes types
Montrer que \(F\) est un SEV
  • \(\vec0\in F\) (donc \(F\neq\varnothing\))
  • \(\alpha\vec u+\beta\vec v\in F\) pour tous \(\alpha,\beta,\vec u,\vec v\)
ou l'écrire \(F=\mathrm{Vect}(\dots)\).
Étudier libre / liée
  • poser \(\sum\alpha_i\vec v_i=\vec0\)
  • traduire en système, résoudre
solution nulle seule ⇒ libre.
Critère du déterminant
  • dim 2 : \(x_1y_2-x_2y_1\neq0\)
  • dim 3 : \(\det\ 3\times3\neq0\)
\(\neq0\Rightarrow\) libre, \(=0\Rightarrow\) liée.
Trouver une base / la dimension
  • écrire \(F=\mathrm{Vect}(\vec v_1,\dots)\)
  • garder une sous-famille libre
\(\dim F=\) nb de vecteurs gardés.
Coordonnées dans une base
  • résoudre \(\sum x_i\vec e_i=\vec u\)
  • les \(x_i\) sont uniques
Raccourci de la dimension
  • en dim \(n\) : \(n\) vecteurs libres ⇒ base
  • (idem si génératrice)
évite de vérifier les deux.
3 · Réflexes & valeurs clés
\(\dim\mathbb{R}^{2}=2,\ \dim\mathbb{R}^{3}=3\)
\(\dim\mathcal{M}_2(\mathbb{R})=4\)
\(\dim\mathbb{R}_n[X]=n+1\)
2 vecteurs liés \(\iff\) colinéaires
famille avec \(\vec0\) ⇒ liée
libre ⇒ tous non nuls
droite \(=\mathrm{Vect}(\vec x_1),\ \vec x_1\neq\vec0\)
plan \(=\mathrm{Vect}(\vec x_1,\vec x_2)\) non colin.
\(\det\neq0\Rightarrow\) libre
4 · Distinctions fines
Libre vs génératrice
  • libre : « pas trop » de vecteurs
  • génératrice : « assez » de vecteurs
base = les deux à la fois.
Monotonie des familles
  • sous-famille d'une libre : libre
  • sur-famille d'une liée : liée
Deux voies pour un SEV
  • critère \(\alpha\vec u+\beta\vec v\in F\)
  • ou forme \(\mathrm{Vect}(\dots)\)
\(\mathrm{Vect}\) donne aussi une base.
Droite vs plan vectoriel
  • droite : dim 1, un vecteur non nul
  • plan : dim 2, deux non colinéaires
★ Astuces géniales
  • Le réflexe unique : poser \(\sum\alpha_i\vec v_i=\vec0\), puis résoudre le système.
  • Pour un SEV, l'écrire \(\mathrm{Vect}(\dots)\) : immédiat, et une base offerte.
  • En dim \(2\)–\(3\), le déterminant tranche libre/liée d'un calcul.
  • Le raccourci : \(n\) vecteurs libres en dim \(n\) forment déjà une base.
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