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Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Groupes, anneaux et corps — Méthodes & Formules

Sciences Excellence — Anass Shimi
1 · Les structures
Groupe
interne · assoc. · neutre · symétr.
4 axiomes à cocher
Abélien
\(a\ast b=b\ast a\)
groupe + commutative
Sous-groupe
\(e\in H,\ x\ast y'\in H\)
assoc. héritée
Morphisme
\(f(a\ast b)=f(a)\top f(b)\)
bijectif = isomorphisme
Anneau
\((A,+)\) abélien · \(\times\) distrib.
deux lois qui coopèrent
Intègre
\(ab=0\Rightarrow a=0\) ou \(b=0\)
autorise la factorisation
Corps
tout non nul inversible
« on peut diviser »
Hiérarchie
corps \(\Rightarrow\) anneau \(\Rightarrow\) groupe
par ajout d'axiomes
2 · Les méthodes types
Montrer que \((G,\ast)\) est un groupe
  • ① interne \(a\ast b\in G\)
  • ② associative ③ neutre \(a\ast e=a\)
  • ④ symétrique \(a\ast a'=e\), \(a'\in G\)
abélien si \(\ast\) commutative.
Montrer que \(H\) est un sous-groupe
  • \(e\in H\) (donc \(H\neq\varnothing\))
  • \(x\ast y'\in H\) pour tous \(x,y\)
ne pas re-vérifier l'associativité.
Prouver un morphisme
  • vérifier \(f(a\ast b)=f(a)\top f(b)\)
  • bijectif ⇒ isomorphisme
il transporte neutre & symétriques.
Anneau intègre / diviseurs de zéro
  • chercher \(a,b\neq0\) avec \(ab=0\)
  • si aucun ⇒ intègre
\(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) : \(\bar{2}\bar{3}=\bar{0}\).
Montrer que c'est un corps
  • anneau commutatif unitaire
  • tout \(a\neq0\) inversible (calculer \(a^{-1}\))
\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) : \(n\) premier.
Distributivité (anneau)
  • \(a(b+c)=ab+ac\)
  • \((b+c)a=ba+ca\)
à gauche ET à droite.
3 · Réflexes & valeurs clés
\((\mathbb{Z},+),(\mathbb{R},+),(\mathbb{C},+)\) abéliens
\((\mathbb{N},+)\) pas un groupe
\((\mathbb{R}^{*},\times)\) groupe
\(\mathbb{Z}\) intègre, pas corps
\(\mathbb{R},\mathbb{C}\) corps
\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) corps ⟺ \(n\) premier
\(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) non intègre
\(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) anneau non commut.
tout corps est intègre
4 · Distinctions fines
Anneau vs corps
  • anneau : \(\times\) associative + distrib.
  • corps : + tout non nul inversible
\(\mathbb{Z}\) anneau mais pas corps.
Intègre vs non intègre
  • intègre : \(ab=0\Rightarrow a=0\) ou \(b=0\)
  • non intègre : factorisation KO
tout corps est intègre.
Emboîtement par axiomes
  • pas une inclusion d'ensembles
  • on ajoute un axiome à chaque cran
Unitaire : \(1_A\neq0_A\)
  • neutre de \(\times\) distinct de \(0_A\)
  • distributivité à 2 côtés
★ Astuces géniales
  • Une structure = une liste d'axiomes : on coche, on ne « ressent » pas.
  • Sous-groupe : l'associativité est héritée — deux lignes suffisent.
  • L'intégrité est ce qui autorise « produit nul ⟺ un facteur nul ».
  • Un corps est un anneau où l'on peut diviser (\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) : \(n\) premier).
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