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Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Lois de composition interne — Méthodes & Formules

Sciences Excellence — Anass Shimi
1 · Les fondations
Loi interne
\(a\ast b\in E\)
« interne » = stable
Neutre
\(a\ast e=e\ast a=a\)
unique · résoudre \(a\ast e=a\)
Symétrique
\(a\ast a'=e\)
unique si associative
Morphisme
\(f(a\ast b)=f(a)\top f(b)\)
bijectif = isomorphisme
Distributivité
\(a\top(b\ast c)=(a\top b)\ast(a\top c)\)
relie deux lois → anneau
Associativité
\((a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)\)
place des parenthèses
Commutativité
\(a\ast b=b\ast a\)
ordre indifférent
Régulier
\(a\ast x=a\ast y\Rightarrow x=y\)
symétrisable ⇒ régulier
2 · Les méthodes types
Étudier une loi \(\ast\)
  • ① stabilité \(a\ast b\in E\)
  • ② commutative ? associative ?
  • ③ neutre ④ symétriques
toujours dans cet ordre.
Trouver le neutre
  • résoudre \(a\ast e=a\)
  • indépendant de \(a\) ⇒ neutre
  • dépend de \(a\) ⇒ pas de neutre
Trouver les symétriques
  • résoudre \(a\ast a'=e\)
  • discuter l'existence de \(a'\)
préciser quels \(a\) sont symétrisables.
Prouver un morphisme
  • vérifier \(f(a\ast b)=f(a)\top f(b)\)
  • bijectif ⇒ isomorphisme
il transporte neutre & symétriques.
Partie stable
  • \(\forall x,y\in F,\ x\ast y\in F\)
Matrices \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\)
  • \(+\) et \(\times\) : deux lois
  • calculer \(AB\) et \(BA\)
\(\times\) associative, non commutative.
3 · Réflexes & valeurs clés
stabilité = 1ʳᵉ étape
neutre : \(a\ast e=a\)
symétrique : \(a\ast a'=e\)
symétrisable ⇒ régulier
réciproque fausse : \((\mathbb{N},+)\)
\(\ln\) : \((\mathbb{R}_+^{*},\times)\to(\mathbb{R},+)\)
\(I\) neutre de \(\times\)
\(O\) neutre de \(+\)
\(AB\neq BA\) en général
4 · Distinctions fines
Régulier vs symétrisable
  • symétrisable \(\Rightarrow\) régulier
  • régulier \(\not\Rightarrow\) symétrisable
contre-ex. : \((\mathbb{N},+)\).
Associatif vs commutatif
  • indépendants l'un de l'autre
  • \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) : assoc. non commut.
Morphisme → structures (ch. 12)
  • isomorphes = indiscernables
  • brique des groupes / anneaux
Neutre à deux côtés
  • vérifier \(a\ast e\) et \(e\ast a\)
  • tant que \(\ast\) non commutative
★ Astuces géniales
  • La stabilité d'abord — inutile de tester le reste si la loi n'est pas interne.
  • Neutre qui dépend de \(a\) ⇒ il n'y a pas de neutre.
  • Un isomorphisme rend deux structures interchangeables (\(\ln\) / \(\exp\)).
  • Distributivité = pont vers l'anneau du chapitre suivant.
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