Tronc Commun · Sciences · Chapitre 3

Calcul vectoriel dans le plan

Un vecteur, c'est un déplacement : une direction, un sens et une longueur, que l'on peut poser n'importe où dans le plan. Ce chapitre construit tout le calcul vectoriel dont vous aurez besoin en géométrie. On y apprend à additionner des vecteurs avec la relation de Chasles (AB + BC = AC), à les multiplier par un réel k (ce qui étire ou retourne le vecteur), et à traduire des faits géométriques — alignement, parallélisme, milieu — en égalités vectorielles. La notion clé est la colinéarité : deux vecteurs sont colinéaires quand l'un est k fois l'autre, ce qui prouve d'un coup qu'un point est sur une droite ou que deux droites sont parallèles. On passe ensuite aux coordonnées dans un repère : celles d'un vecteur AB (xB − xA, yB − yA), du milieu d'un segment, et le déterminant xy′ − yx′ qui vaut 0 exactement lorsque deux vecteurs sont colinéaires. En repère orthonormé, on termine avec la norme et la distance AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²).

1 · Résumé du cours

Un vecteur représente un déplacement caractérisé par une direction, un sens et une longueur. Le calcul vectoriel permet de traduire des propriétés géométriques sous forme d'égalités, puis de les exploiter dans un repère à l'aide des coordonnées et du déterminant.

1.1 Notion de vecteur

Définition Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan. Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est caractérisé par sa direction (celle de la droite \((AB)\)), son sens (de \(A\) vers \(B\)) et sa norme \(\|\overrightarrow{AB}\|\), égale à la distance \(AB\). Le point \(A\) est l'origine du représentant \(\overrightarrow{AB}\) et \(B\) son extrémité.

Définition — vecteur nul, vecteur unitaire Pour tout point \(A\), le vecteur \(\overrightarrow{AA}\) est le vecteur nul, noté \(\vec0\) : il n'a ni direction ni sens et sa norme est nulle. Un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme vaut \(1\).

Propriété Pour tous points \(A\) et \(B\) : \[\overrightarrow{AB}=\vec0\iff A=B,\qquad \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}.\] Si \(A\ne B\), les deux vecteurs unitaires colinéaires à \(\overrightarrow{AB}\) sont \(\dfrac1{AB}\overrightarrow{AB}\) et \(-\dfrac1{AB}\overrightarrow{AB}\).

Un vecteur n'a pas de position fixe Deux représentants d'un même vecteur peuvent être placés à des endroits différents. Seules la direction, le sens et la norme comptent.

1.2 Égalité de deux vecteurs

Définition Deux vecteurs non nuls sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

Propriété — caractérisation par un parallélogramme Pour quatre points \(A,B,C,D\) : \[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff ABCD\text{ est un parallélogramme},\] \[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff ABDC\text{ est un parallélogramme}.\]

Propriété \[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}.\] Autrement dit, les segments \([AD]\) et \([BC]\) ont le même milieu.

Théorème Étant donné un point \(A\) et un vecteur \(\vec u\), il existe un unique point \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM}=\vec u\).

1.3 Somme et différence de vecteurs

Théorème — relation de Chasles Pour tous points \(A\), \(B\) et \(C\) : \[\boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.}\] On enchaîne le déplacement de \(A\) vers \(B\), puis de \(B\) vers \(C\).

Propriété — règle du parallélogramme Si \(ABDC\) est un parallélogramme, alors \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\). Réciproquement, cette égalité permet de construire la somme de deux vecteurs ayant la même origine \(A\).

Définition — différence La différence de deux vecteurs est définie par \(\vec u-\vec v=\vec u+(-\vec v)\).

Propriété — règles de l'addition Pour tous vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec w\) : \[\vec u+\vec v=\vec v+\vec u,\qquad (\vec u+\vec v)+\vec w=\vec u+(\vec v+\vec w),\] \[\vec u+\vec0=\vec u,\qquad \vec u+(-\vec u)=\vec0.\]

Méthode — utiliser Chasles Pour faire apparaître un point \(M\), on écrit \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}\). On peut aussi réduire une chaîne : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\).

1.4 Multiplication d'un vecteur par un réel

Définition Soient \(k\in\mathbb{R}\) et \(\vec u\ne\vec0\). Le vecteur \(k\vec u\) possède la même direction que \(\vec u\), le même sens si \(k>0\) et le sens contraire si \(k<0\), et la norme \(\|k\vec u\|=|k|\,\|\vec u\|\). De plus, \(0\vec u=\vec0\) et \(k\vec0=\vec0\).

Propriété — règles de calcul Pour tous vecteurs \(\vec u,\vec v\) et tous réels \(k,k'\) : \[k(\vec u+\vec v)=k\vec u+k\vec v,\qquad (k+k')\vec u=k\vec u+k'\vec u,\] \[k(k'\vec u)=(kk')\vec u,\qquad 1\vec u=\vec u.\] Enfin, \(k\vec u=\vec0\iff k=0\ \text{ou}\ \vec u=\vec0\).

Exemple. \[\vec w=2(\vec u+\vec v)-4\left(\tfrac12\vec u-\vec v\right)=2\vec u+2\vec v-2\vec u+4\vec v=6\vec v.\]

Méthode — construire une combinaison linéaire Pour construire \(a\vec u+b\vec v\), on construit d'abord \(a\vec u\) et \(b\vec v\), puis on additionne ces deux vecteurs avec la règle du parallélogramme ou la relation de Chasles.

1.5 Colinéarité, alignement et parallélisme

Définition Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec v=k\vec u\), lorsque \(\vec u\ne\vec0\). Le vecteur nul est considéré comme colinéaire à tout vecteur.

Propriété Soient \(A,B,C,D\) des points tels que \(A\ne B\) et \(C\ne D\).

\(A,B,C\) sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
Un point \(M\) appartient à \((AB)\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont colinéaires.

Méthode — montrer un alignement ou un parallélisme On exprime les deux vecteurs concernés en fonction des mêmes vecteurs de base, puis on cherche un réel \(k\) tel que l'un soit égal à \(k\) fois l'autre.

1.6 Milieu d'un segment et théorème des milieux

Propriété — caractérisations du milieu Le point \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si l'une des relations équivalentes suivantes est vérifiée : \[\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB},\qquad \overrightarrow{AI}=\tfrac12\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0.\] Pour tout point \(M\) du plan : \[\boxed{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}.}\]

Théorème des milieux Dans un triangle \(ABC\), si \(I\) et \(J\) sont les milieux respectifs de \([AB]\) et \([AC]\), alors \(\overrightarrow{IJ}=\tfrac12\overrightarrow{BC}\). En particulier, \((IJ)\parallel(BC)\) et \(IJ=\tfrac12BC\).

Propriété Si \(K\) est le milieu de \([BC]\), alors \[\boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AK}.}\]

1.7 Coordonnées de points et de vecteurs

Définition Dans un repère \((O,\vec i,\vec j)\), si \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B,y_B)\), alors \[\boxed{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}.}\]

Propriété — égalité et opérations Si \(\vec u=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\), alors \(\vec u=\vec v\iff x=x'\ \text{et}\ y=y'\), et \[\vec u+\vec v=\begin{pmatrix}x+x'\\y+y'\end{pmatrix},\qquad k\vec u=\begin{pmatrix}kx\\ky\end{pmatrix}.\]

Méthode — déterminer les coordonnées d'un point Pour un point \(M\) défini par une relation vectorielle : (1) on pose \(M(x,y)\) ; (2) on écrit les coordonnées de tous les vecteurs de la relation ; (3) on utilise l'égalité des abscisses et des ordonnées.

Exemple. Soient \(A(2,-1)\) et \(B(3,4)\). Cherchons \(M(x,y)\) tel que \(\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}\). Comme \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AM}=\begin{pmatrix}x-2\\y+1\end{pmatrix}\), on a \(\begin{cases}x-2=3\\y+1=15\end{cases}\Rightarrow M(5,14)\).

1.8 Déterminant et colinéarité dans un repère

Définition Pour \(\vec u=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\), le déterminant de \(\vec u\) et \(\vec v\) est \[\boxed{\det(\vec u,\vec v)=xy'-yx'.}\]

Théorème Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires si et seulement si \(\det(\vec u,\vec v)=0\).

Méthode — montrer que trois points sont alignés On calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis leur déterminant : \(A,B,C\) alignés \(\iff\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0\).

Exemple. Pour \(A(-3,4)\), \(B(3,13)\) et \(C(1,10)\) : \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}\). Alors \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=6\times6-9\times4=0\) : les points \(A,B,C\) sont alignés.

1.9 Coordonnées du milieu, norme et distance

Propriété — coordonnées du milieu Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors \[\boxed{I\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right).}\]

Propriété — repère orthonormé Dans un repère orthonormé, si \(\vec u=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\), alors \(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}\). Pour \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B,y_B)\) : \[\boxed{AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.}\]

Exemple. Pour \(A(1,-2)\) et \(B(5,1)\), le milieu de \([AB]\) est \(I\left(3,-\tfrac12\right)\) et \(AB=\sqrt{(5-1)^2+(1+2)^2}=\sqrt{16+9}=5\).

L'essentiel du chapitre

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) : relation de Chasles.
\(\|k\vec u\|=|k|\,\|\vec u\|\) ; le signe de \(k\) détermine le sens.
Colinéarité : \(\vec v=k\vec u\), d'où alignement ou parallélisme.
Milieu : \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0\) et \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\).
\(\overrightarrow{AB}\ \big(x_B-x_A,\ y_B-y_A\big)\).
\(\det(\vec u,\vec v)=0\) caractérise la colinéarité.
Dans un repère orthonormé, \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).

2 · Exercices résolus

Chasles · milieu

Exercice 1

\(ABC\) est un triangle et \(I\) le milieu de \([BC]\). Montrer que \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}\).

Voir la correction

Par la relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}\) et \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}\). En additionnant, \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}.\]

Comme \(I\) est le milieu de \([BC]\), \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec0\). Donc \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}\). \(\blacksquare\)

Alignement

Exercice 2

Soient \(A(-2,1)\), \(B(4,5)\) et \(C(7,7)\). Montrer que ces trois points sont alignés et préciser la position de \(B\) sur \([AC]\).

Voir la correction

\(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}9\\6\end{pmatrix}\). On remarque que \(\overrightarrow{AB}=\tfrac23\overrightarrow{AC}\).

Les deux vecteurs sont colinéaires, donc \(A,B,C\) sont alignés. Comme \(0<\tfrac23<1\), le point \(B\) appartient au segment \([AC]\). \(\blacksquare\)

Coordonnées d'un point

Exercice 3

Dans un repère, on considère \(A(2,-1)\) et \(B(3,4)\). Déterminer le point \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}\), puis vérifier que \(A,B,M\) sont alignés.

Voir la correction

\(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}\Rightarrow 3\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}\). Si \(M(x,y)\), alors \(\overrightarrow{AM}=\begin{pmatrix}x-2\\y+1\end{pmatrix}\).

L'égalité \(\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}\) donne \(x-2=3\) et \(y+1=15\), soit \(M(5,14)\). De plus, \(\overrightarrow{AM}\) est un multiple de \(\overrightarrow{AB}\) ; les points \(A,B,M\) sont donc alignés. \(\blacksquare\)

Milieu · distance

Exercice 4

Dans un repère orthonormé, soient \(A(-1,2)\) et \(B(5,-2)\). Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\) et calculer la distance \(AB\).

Voir la correction

Le milieu \(I\) a pour coordonnées \(I\left(\dfrac{-1+5}{2},\dfrac{2-2}{2}\right)=(2,0)\).

La distance est \(AB=\sqrt{(5+1)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\). \(\blacksquare\)

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