Tronc Commun · Sciences · Chapitre 4

La projection dans le plan

Projeter un point, c'est l'envoyer sur une droite fixe (le support) en suivant toujours la même direction. Ce chapitre géométrique explique comment construire le projeté d'un point, reconnaître les points invariants (ceux qui sont déjà sur le support) et ceux qui ont le même projeté, et distingue la projection orthogonale (direction perpendiculaire au support) de la projection oblique. L'idée centrale est qu'une projection ne conserve ni les longueurs ni les angles, mais qu'elle conserve l'alignement, les rapports sur une droite et les coefficients de colinéarité : c'est exactement ce qui fait fonctionner le théorème de Thalès. Vous verrez le théorème direct (un parallélisme donne l'égalité des rapports AM/AB = AN/AC = MN/BC) et sa réciproque (l'égalité des rapports, avec le même ordre des points, prouve un parallélisme), ainsi que la conservation du milieu et du coefficient k d'une relation vectorielle après projection.

1 · Résumé du cours

Projeter, c'est envoyer chaque point du plan sur une droite fixe en suivant toujours la même direction. Cette transformation ne conserve ni les longueurs ni les angles, mais elle conserve l'alignement, les rapports et les coefficients de colinéarité — ce qui en fait l'outil naturel pour démontrer le théorème de Thalès.

1.1 Projection sur une droite suivant une direction

Définition Soient \((D)\) et \((\Delta)\) deux droites sécantes. La projection sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\) est l'application \(p\) qui associe à tout point \(M\) l'unique point \(M'\) vérifiant \[M'\in(D)\qquad\text{et}\qquad(MM')\parallel(\Delta).\] On écrit \(\boxed{p(M)=M'.}\) La droite \((D)\) est le support de la projection et \((\Delta)\) sa direction.

Bien lire la définition Pour reconnaître que \(M'\) est le projeté de \(M\), il faut vérifier deux informations : \(M'\) appartient au support \((D)\), et la droite \((MM')\) est parallèle à la direction \((\Delta)\). Une seule de ces conditions ne suffit pas.

1.2 Construction et caractérisation d'un projeté

Méthode — construire le projeté d'un point Pour construire le projeté \(M'\) de \(M\) sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\) :

tracer par \(M\) la droite parallèle à \((\Delta)\) ;
repérer son point d'intersection avec \((D)\) ;
nommer ce point \(M'\).

Ainsi \(M'=(D)\cap\big(\text{parallèle à }(\Delta)\text{ passant par }M\big)\).

Propriété — points invariants Un point est confondu avec son projeté si et seulement s'il appartient au support : \[\boxed{p(M)=M\iff M\in(D).}\] Tous les points de \((D)\) sont donc invariants par \(p\), et \(p\big(p(M)\big)=p(M)\).

Propriété — points ayant le même projeté Deux points distincts \(M\) et \(N\) ont le même projeté sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\) si et seulement si \((MN)\parallel(\Delta)\). Tous les points d'une même parallèle à \((\Delta)\) sont envoyés sur un même point de \((D)\).

Exemple. Si \(A\in(D)\), alors \(p(A)=A\). Si \(B\notin(D)\) et \((AB)\parallel(\Delta)\), alors \(p(B)=A\) : \(A\) et \(B\) sont sur la même droite de projection.

1.3 Projection orthogonale et projection oblique

Définition Lorsque \((D)\perp(\Delta)\), la projection sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\) est appelée projection orthogonale sur \((D)\). Lorsque \((D)\) et \((\Delta)\) sont sécantes sans être perpendiculaires, on parle de projection oblique.

Propriété Une projection ne conserve généralement ni les longueurs ni les angles. Elle conserve en revanche l'alignement, les rapports sur une même droite et les coefficients de colinéarité. Une droite parallèle à la direction de projection peut même être réduite à un seul point.

Ne pas confondre deux notions Le support indique où se trouvent les images ; la direction indique comment on les construit. Dans une projection orthogonale, la direction est perpendiculaire au support ; dans une projection oblique, elle ne l'est pas.

1.4 Projection et décomposition dans un repère oblique

Propriété Soient \((D)\) et \((\Delta)\) sécantes en \(O\), \(A\in(D)\) et \(B\in(\Delta)\) avec \(A\ne O\) et \(B\ne O\). Si \(M'\) est le projeté de \(M\) sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\) et \(M_1\) le projeté de \(M\) sur \((\Delta)\) parallèlement à \((D)\), il existe deux réels \(x\) et \(y\) tels que \[\overrightarrow{OM'}=x\,\overrightarrow{OA},\qquad \overrightarrow{OM_1}=y\,\overrightarrow{OB},\] et \[\boxed{\overrightarrow{OM}=x\,\overrightarrow{OA}+y\,\overrightarrow{OB}.}\] Les nombres \(x\) et \(y\) sont les coordonnées de \(M\) dans le repère oblique \((O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\).

Méthode — retrouver les composantes d'un vecteur On projette \(M\) sur chacun des deux axes en suivant la direction de l'autre axe. Les deux vecteurs obtenus donnent les composantes de \(\overrightarrow{OM}\), et la règle du parallélogramme donne \(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM'}+\overrightarrow{OM_1}\).

1.5 Théorème direct de Thalès

Théorème — forme classique Soit \(ABC\) un triangle, \(M\in(AB)\) et \(N\in(AC)\). Si \((MN)\parallel(BC)\), alors \[\boxed{\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.}\] Lorsque \(M\in[AB]\) et \(N\in[AC]\), tous ces rapports sont compris entre \(0\) et \(1\).

Théorème — formulation par une projection Soient \(A,B,C\) trois points distincts d'une même droite non parallèle à \((\Delta)\). Leurs projetés \(A',B',C'\) sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\) vérifient \[\boxed{\frac{AC}{AB}=\frac{A'C'}{A'B'}}\] dès que les longueurs sont prises dans le même ordre.

Méthode — calculer une longueur avec Thalès

identifier les deux droites sécantes et les deux droites parallèles ;
écrire les rapports dans un ordre cohérent ;
remplacer les longueurs connues ;
effectuer le produit en croix ;
vérifier que le résultat est compatible avec la figure.

Exemple. Dans un triangle \(ABC\), \(M\in[AB]\), \(N\in[AC]\) et \((MN)\parallel(BC)\). Si \(AM=4\), \(AB=10\) et \(AC=15\), alors \(\dfrac{4}{10}=\dfrac{AN}{15}\), d'où \(AN=\dfrac{4\times15}{10}=6\).

1.6 Réciproque du théorème de Thalès

Théorème — réciproque de Thalès Dans un triangle \(ABC\), soient \(M\in(AB)\) et \(N\in(AC)\). Si les points \(A,M,B\) sont placés dans le même ordre que \(A,N,C\) et si \[\boxed{\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC},}\] alors \(\boxed{(MN)\parallel(BC).}\)

Méthode — démontrer un parallélisme

vérifier les deux alignements \(A,M,B\) et \(A,N,C\) ;
vérifier que les points sont rangés dans le même ordre ;
calculer séparément \(\dfrac{AM}{AB}\) et \(\dfrac{AN}{AC}\) ;
constater l'égalité des rapports ;
conclure explicitement par la réciproque de Thalès.

Exemple. Dans un triangle \(ADE\), \(B\in[AD]\), \(C\in[AE]\), avec \(AB=4\), \(AD=6\), \(AC=6\), \(AE=9\). Alors \(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac46=\dfrac23\) et \(\dfrac{AC}{AE}=\dfrac69=\dfrac23\). L'ordre des points étant vérifié, la réciproque de Thalès donne \((BC)\parallel(DE)\).

Direct ou réciproque ? Le théorème direct utilise un parallélisme connu pour calculer des rapports ou des longueurs. La réciproque utilise une égalité de rapports pour démontrer que deux droites sont parallèles.

1.7 Conservation du coefficient de colinéarité

Théorème Soient \(A',B',C',D'\) les projetés de \(A,B,C,D\) par une même projection. Pour tout réel \(k\), \[\boxed{\overrightarrow{CD}=k\,\overrightarrow{AB}\ \Longrightarrow\ \overrightarrow{C'D'}=k\,\overrightarrow{A'B'}.}\] La projection conserve donc le coefficient de colinéarité de deux vecteurs.

Propriété — trois points alignés Si \(A,B,C\) sont alignés avec \(\overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}\), alors leurs projetés vérifient \(\boxed{\overrightarrow{A'C'}=k\,\overrightarrow{A'B'}.}\) Le signe de \(k\) et la position relative des points sont conservés, sauf si la droite est réduite à un point.

Propriété — conservation du milieu Si \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(I',A',B'\) les projetés de \(I,A,B\), alors \(\overrightarrow{A'I'}=\tfrac12\overrightarrow{A'B'}\). Par conséquent \(I'\) est le milieu de \([A'B']\) lorsque \(A'\ne B'\).

Démonstration. Comme \(I\) est le milieu de \([AB]\), \(\overrightarrow{AI}=\tfrac12\overrightarrow{AB}\). La projection conserve le coefficient de colinéarité, donc \(\overrightarrow{A'I'}=\tfrac12\overrightarrow{A'B'}\), ce qui caractérise le milieu de \([A'B']\). \(\blacksquare\)

1.8 Méthodes de résolution

Méthode — transporter une relation par projection

identifier les points et leurs projetés ;
écrire la relation vectorielle connue avant projection ;
conserver exactement le même coefficient après projection ;
interpréter la relation obtenue : alignement, milieu ou rapport.

Exemple. Si \(\overrightarrow{AM}=-2\overrightarrow{AB}\) et \(A',M',B'\) sont les projetés de \(A,M,B\), alors \(\overrightarrow{A'M'}=-2\overrightarrow{A'B'}\). Les points \(A',M',B'\) sont alignés, et le coefficient \(-2\) place \(M'\) et \(B'\) de part et d'autre de \(A'\) lorsque \(A'\ne B'\).

Contrôles utiles

Un projeté doit toujours appartenir au support de la projection.
Les droites joignant un point à son projeté sont parallèles à la direction choisie.
Pour Thalès, ne jamais écrire les rapports avant d'avoir identifié alignements et parallélisme.
Dans la réciproque, l'ordre des points est une hypothèse indispensable.
Une projection conserve les coefficients, mais pas les distances.

L'essentiel du chapitre

\(p(M)=M'\) signifie \(M'\in(D)\) et \((MM')\parallel(\Delta)\).
Les points de \((D)\) sont invariants et \(p(p(M))=p(M)\).
Projection orthogonale : \((D)\perp(\Delta)\).
Thalès direct : parallélisme \(\Rightarrow\) égalité de rapports.
Réciproque de Thalès : égalité de rapports et même ordre \(\Rightarrow\) parallélisme.
\(\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{C'D'}=k\overrightarrow{A'B'}\).
La projection conserve alignement, rapports et milieux, mais généralement ni longueurs ni angles.

2 · Exercices résolus

Thalès direct

Exercice 1

Dans un triangle \(ABC\), \(M\in[AB]\) avec \(AM=3\) et \(AB=7{,}5\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(M\) coupe \([AC]\) en \(N\). Calculer \(\dfrac{AN}{AC}\), puis \(MN\) sachant que \(BC=10\).

Voir la correction

Les points \(A,M,B\) et \(A,N,C\) sont alignés et \((MN)\parallel(BC)\), donc le théorème direct de Thalès donne \[\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.\]

1. \(\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3}{7{,}5}=\dfrac{30}{75}=\dfrac25.\)

2. \(\dfrac{MN}{BC}=\dfrac25\) et \(BC=10\), donc \(MN=\dfrac25\times10=4\).

Ainsi \(\boxed{\dfrac{AN}{AC}=\dfrac25\ \text{et}\ MN=4.}\) \(\blacksquare\)

Conservation du coefficient

Exercice 2

\(A,B,C\) sont alignés avec \(\overrightarrow{AC}=\tfrac34\overrightarrow{AB}\). On projette sur une droite \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\). Que vaut \(\overrightarrow{A'C'}\) en fonction de \(\overrightarrow{A'B'}\) ?

Voir la correction

La relation \(\overrightarrow{AC}=\tfrac34\overrightarrow{AB}\) montre que le coefficient de colinéarité est \(k=\tfrac34\).

Une projection conserve ce coefficient, donc \[\boxed{\overrightarrow{A'C'}=\frac34\overrightarrow{A'B'}.}\]

Comme \(0<\tfrac34<1\), si \(A'\ne B'\), le point \(C'\) est sur le segment \([A'B']\), aux trois quarts du trajet de \(A'\) vers \(B'\). \(\blacksquare\)

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