Tronc Commun · Sciences · Chapitre 5

L'ordre dans ℝ

Comparer, encadrer, mesurer une erreur : ce chapitre rassemble tout ce qui touche à l'ordre des nombres réels. On y apprend la règle fondamentale — comparer a et b, c'est étudier le signe de a − b — puis comment une inégalité réagit aux opérations : l'addition la conserve, mais multiplier ou diviser par un nombre négatif la renverse (le piège n° 1 de l'année). Vous manipulerez le passage au carré, à la racine et à l'inverse, l'encadrement d'expressions composées, et tout le langage des intervalles (ouverts, fermés, non bornés, avec ∩ et ∪), leur centre c = (a + b)/2 et leur rayon r = (b − a)/2. La seconde moitié est consacrée à la valeur absolue |x|, qui se lit comme une distance : |x − a| est la distance de x à a, ce qui transforme toute inéquation |x − a| ≤ r en un encadrement a − r ≤ x ≤ a + r. On termine avec les valeurs approchées à ε près, l'approximation décimale par défaut/par excès, la troncature et l'arrondi.

1 · Résumé du cours

Comparer deux nombres, encadrer une expression ou mesurer une erreur sont des gestes indispensables en calcul. Ce chapitre rassemble les règles de l'ordre dans \(\mathbb{R}\), le langage des intervalles, la valeur absolue et les méthodes d'approximation décimale.

1.1 Comparer deux nombres réels

Définition Pour deux réels \(a\) et \(b\) : \[a\le b\iff b-a\ge0,\qquad a0.\] Comparer \(a\) et \(b\) revient donc à étudier le signe de leur différence.

Propriété — propriétés de l'ordre Pour tous réels \(a,b,c\) :

une et une seule des relations \(ab\) est vraie ;
si \(a\le b\) et \(b\le c\), alors \(a\le c\) (transitivité) ;
si \(a\le b\) et \(b\le a\), alors \(a=b\).

Méthode — comparer deux expressions Pour comparer \(A\) et \(B\) : (1) calculer et simplifier \(A-B\) ; (2) déterminer son signe ; (3) conclure : \(A-B>0\Rightarrow A>B\), et \(A-B<0\Rightarrow A

Exemple. Comparons \(a^2+b^2\) et \((a+b)^2\) : \((a+b)^2-(a^2+b^2)=2ab\). Si \(ab\ge0\), alors \((a+b)^2\ge a^2+b^2\) ; si \(ab\le0\), l'inégalité est inversée.

1.2 Ordre et opérations

Propriété — addition et soustraction Pour tous réels \(a,b,c\) : \[a\le b\iff a+c\le b+c\iff a-c\le b-c.\] Ajouter ou soustraire un même nombre conserve le sens de l'inégalité.

Propriété — multiplication et division Si \(a\le b\), alors :

pour \(c>0\) : \(ac\le bc\) et \(\dfrac ac\le\dfrac bc\) ;
pour \(c<0\) : \(ac\ge bc\) et \(\dfrac ac\ge\dfrac bc\) ;
pour \(c=0\) : \(ac=bc=0\).

Le réflexe indispensable Avant de multiplier ou diviser une inégalité, regarder le signe du nombre utilisé. S'il est négatif, il faut renverser le sens : \(-2x\ge6\iff x\le-3\).

Propriété — additionner des inégalités Si \(a\le b\) et \(c\le d\), alors \(\boxed{a+c\le b+d.}\) En revanche, on ne soustrait pas deux inégalités membre à membre : on remplace la soustraction par l'addition de l'opposé.

1.3 Carré, racine carrée et inverse

Propriété Pour \(0\le a\le b\) : \(a^2\le b^2\) et \(\sqrt a\le\sqrt b\). Le carré et la racine carrée conservent l'ordre sur les réels positifs.

Passage au carré De \(a\le b\) on ne peut pas toujours déduire \(a^2\le b^2\) : il faut contrôler les signes. Par exemple \(-3<-2\) mais \((-3)^2>(-2)^2\).

Propriété — passage à l'inverse Si \(a\) et \(b\) sont de même signe et \(0

Propriété — comparer \(a\), \(a^2\) et \(a^3\) Pour \(a>0\) : \[\begin{cases}01&\Rightarrow a^3>a^2>a.\end{cases}\]

1.4 Encadrer une expression

Définition Encadrer un réel \(x\), c'est trouver deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(a\le x\le b\). L'amplitude de l'encadrement est \(b-a\).

Propriété — règles d'encadrement Si \(a\le x\le b\) et \(c\le y\le d\), alors \[\boxed{a+c\le x+y\le b+d},\qquad\boxed{a-d\le x-y\le b-c}.\] Si de plus \(0\le a\le x\le b\) et \(0\le c\le y\le d\), alors \(\boxed{ac\le xy\le bd}\). Enfin, si \(0

Méthode — encadrer une expression composée (1) écrire séparément les encadrements disponibles ; (2) appliquer à chaque terme l'opération prévue en surveillant les signes ; (3) additionner les encadrements ; (4) simplifier les bornes et vérifier leur ordre. Pour un quotient, encadrer d'abord l'inverse du dénominateur (qui ne doit pas s'annuler), puis effectuer un produit.

Exemple. Si \(1\le x\le3\) et \(2\le y\le4\), alors \(2\le2x\le6\) et \(-12\le-3y\le-6\). En additionnant : \(\boxed{-10\le2x-3y\le0.}\)

1.5 Intervalles de ℝ

Définition Un intervalle est une partie de \(\mathbb{R}\) sans interruption : dès qu'il contient deux réels, il contient tous les réels situés entre eux. Pour \(a

\([a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x\le b\}\) ;

\(]a,b[=\{x\in\mathbb{R}\mid a

\([a,b[=\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x

\(]a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a

Propriété — intervalles non bornés \([a,+\infty[=\{x\mid x\ge a\}\), \(]a,+\infty[=\{x\mid x>a\}\), \(]-\infty,b]=\{x\mid x\le b\}\), \(]-\infty,b[=\{x\mid x

Crochet ouvert ou fermé Une inégalité large (\(\le\) ou \(\ge\)) inclut la borne : crochet fermé. Une inégalité stricte (\(<\) ou \(>\)) exclut la borne : crochet ouvert. De plus \([a,a]=\{a\}\) tandis que \(]a,a[=\varnothing\).

1.6 Intersection et réunion d'intervalles

Définition Pour deux ensembles \(I\) et \(J\) : \(I\cap J\) contient les éléments appartenant à \(I\) et à \(J\) ; \(I\cup J\) contient ceux appartenant à \(I\) ou à \(J\) (éventuellement aux deux).

Méthode Tracer les deux intervalles sur une même droite graduée : la partie commune donne l'intersection, toutes les parties coloriées donnent la réunion. Une réunion de deux intervalles disjoints ne s'écrit pas comme un seul intervalle.

Exemple. Pour \(I=]-2,4]\) et \(J=[1,6[\) : \(I\cap J=[1,4]\) et \(I\cup J=]-2,6[\). En revanche \([-3,1]\cup[3,5]\) reste une réunion de deux intervalles séparés.

1.7 Centre, rayon et amplitude d'un intervalle

Définition Pour un intervalle borné d'extrémités \(a

Exemple. L'intervalle \([-3,5]\) a pour centre \(c=\dfrac{-3+5}{2}=1\), pour rayon \(r=\dfrac{5-(-3)}{2}=4\) et pour amplitude \(8\).

1.8 Valeur absolue et distance

Définition La valeur absolue d'un réel \(x\) est \[|x|=\begin{cases}x&\text{si }x\ge0,\\-x&\text{si }x<0.\end{cases}\] Elle représente la distance de \(x\) à \(0\). Plus généralement, \(|x-y|\) est la distance entre \(x\) et \(y\).

Propriété — règles de calcul Pour tous réels \(x,y\) (avec \(y\ne0\) pour le quotient) : \[|x|\ge0,\quad |x|=0\iff x=0,\quad |-x|=|x|,\quad \sqrt{x^2}=|x|,\] \[|xy|=|x|\,|y|,\qquad\left|\frac xy\right|=\frac{|x|}{|y|}.\]

Théorème — inégalités triangulaires Pour tous réels \(x,y\) : \[\boxed{|x+y|\le|x|+|y|}\qquad\text{et}\qquad\boxed{\big||x|-|y|\big|\le|x-y|}.\]

Enlever une valeur absolue Avant de remplacer \(|u|\) par \(u\) ou par \(-u\), déterminer le signe de \(u\) : \(u\ge0\Rightarrow|u|=u\) et \(u\le0\Rightarrow|u|=-u\).

1.9 Équations et inéquations avec une valeur absolue

Théorème Pour \(r>0\) et \(a\in\mathbb{R}\) : \[|x-a|=r\iff x=a-r\ \text{ou}\ x=a+r,\] \[\boxed{|x-a|\le r\iff a-r\le x\le a+r},\] \[\boxed{|x-a|\ge r\iff x\le a-r\ \text{ou}\ x\ge a+r}.\] Pour des inégalités strictes, on remplace les signes larges par des signes stricts.

Propriété — intervalle et valeur absolue Pour \(r>0\) : \([a-r,a+r]=\{x\mid|x-a|\le r\}\) et \(]a-r,a+r[=\{x\mid|x-a|

Méthode — résoudre avec une valeur absolue Reconnaître d'abord une distance : \(|x-a|\) est la distance de \(x\) à \(a\). Une distance inférieure à \(r\) donne un intervalle centré en \(a\) ; une distance supérieure à \(r\) donne les deux parties extérieures à cet intervalle.

1.10 Valeurs approchées et précision

Définition Pour \(x,a\in\mathbb{R}\) et \(\varepsilon>0\), le nombre \(a\) est une valeur approchée de \(x\) à \(\varepsilon\) près si \(\boxed{|x-a|\le\varepsilon.}\) Le nombre \(|x-a|\) est l'erreur absolue, et \(|x-a|\le\varepsilon\iff a-\varepsilon\le x\le a+\varepsilon\).

Définition — par défaut ou par excès \(a\) est une approximation de \(x\) à \(\varepsilon\) près : par défaut si \(a\le x\le a+\varepsilon\) ; par excès si \(a-\varepsilon\le x\le a\).

Définition — approximation décimale Si \(p\in\mathbb{N}\) et \(N\in\mathbb{Z}\) vérifient \(N\times10^{-p}\le x<(N+1)\times10^{-p}\), alors \(N\times10^{-p}\) est l'approximation décimale par défaut de \(x\) à \(10^{-p}\) près, et \((N+1)\times10^{-p}\) celle par excès.

Définition — troncature et arrondi La troncature à \(p\) décimales supprime toutes les décimales qui suivent la \(p\)-ième. L'arrondi à \(p\) décimales est le nombre décimal à \(p\) décimales le plus proche.

Exemple. Pour \(\sqrt3=1{,}7320508\ldots\) : \(1{,}732<\sqrt3<1{,}733\). Donc \(1{,}732\) est l'approximation décimale par défaut à \(10^{-3}\) près et \(1{,}733\) celle par excès. La troncature à trois décimales est \(1{,}732\), et l'arrondi aussi \(1{,}732\).

Contrôler une approximation Ne pas se contenter d'un nombre décimal : toujours préciser la précision et, si possible, écrire un encadrement. L'amplitude de l'encadrement indique directement la qualité de l'approximation.

L'essentiel du chapitre

Comparer \(A\) et \(B\) revient souvent à étudier le signe de \(A-B\).
Multiplier par un négatif ou passer à l'inverse (sur un intervalle de signe constant) renverse l'ordre.
Pour soustraire deux encadrements : \(a-d\le x-y\le b-c\).
Les symboles \(\pm\infty\) ne sont jamais inclus dans un intervalle.
\(|x-a|\le r\) décrit l'intervalle de centre \(a\) et de rayon \(r\).
Une approximation doit être accompagnée de sa précision ou d'un encadrement.

2 · Exercices résolus

Valeur absolue

Exercice 1

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(|x-3|\le2\) ; b) \(|2x+1|>5\).

Voir la correction

a) \(|x-3|\) est la distance de \(x\) à \(3\), demandée \(\le2\) : \[|x-3|\le2\iff-2\le x-3\le2\iff1\le x\le5.\] Les bornes sont incluses (inégalité large), donc \(\boxed{S_a=[1,5].}\)

b) Une valeur absolue strictement \(>5\) donne deux cas : \[|2x+1|>5\iff 2x+1<-5\ \text{ou}\ 2x+1>5.\] On résout : \(2x+1<-5\iff x<-3\) et \(2x+1>5\iff x>2\). L'inégalité est stricte, donc \[\boxed{S_b=\;]-\infty,-3[\ \cup\ ]2,+\infty[.}\] \(\blacksquare\)

Encadrement

Exercice 2

Sachant que \(2\le x\le5\), encadrer \(A=3x-4\) puis \(B=\dfrac1x\).

Voir la correction

Encadrement de \(A=3x-4\). Le coefficient \(3>0\) conserve le sens : \(6\le3x\le15\). On soustrait \(4\) : \(6-4\le3x-4\le15-4\), soit \(\boxed{2\le A\le11.}\) (\(x=2\Rightarrow A=2\), \(x=5\Rightarrow A=11\)).

Encadrement de \(B=\dfrac1x\). Comme \(x>0\), on passe aux inverses en renversant l'ordre : \[2\le x\le5\Rightarrow\frac12\ge\frac1x\ge\frac15.\] En rangeant : \(\boxed{\dfrac15\le B\le\dfrac12.}\) \(\blacksquare\)

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