1 · Résumé du cours
La géométrie analytique traduit les propriétés d'une figure en calculs sur les coordonnées. Grâce à un repère, l'alignement, le parallélisme, l'appartenance à une droite ou la recherche d'un point d'intersection deviennent des problèmes algébriques que l'on résout par des méthodes précises.
1.1 Base et repère du plan
Définition — base du plan
Deux vecteurs non colinéaires \(\vec\imath\) et \(\vec\jmath\) forment une base du plan. Tout vecteur \(\vec u\) s'écrit alors de façon unique \(\vec u=x\vec\imath+y\vec\jmath\), et \((x,y)\) est le couple de coordonnées de \(\vec u\) dans la base \((\vec\imath,\vec\jmath)\).
Définition — repère du plan
Un repère est formé d'un point \(O\) (l'origine) et d'une base \((\vec\imath,\vec\jmath)\) ; on le note \((O,\vec\imath,\vec\jmath)\). Le point \(M\) a pour coordonnées \((x,y)\) si \[\boxed{\overrightarrow{OM}=x\vec\imath+y\vec\jmath.}\]
Propriété — types de repères
Un repère est orthogonal si ses axes sont perpendiculaires, normé si \(\|\vec\imath\|=\|\vec\jmath\|=1\), et orthonormé s'il est à la fois orthogonal et normé. Les formules de distance et de norme exigent un repère orthonormé.
1.2 Calculs sur les coordonnées
Propriété — égalité, somme, produit par un réel
Pour \(\vec u(x,y)\), \(\vec v(x',y')\) et \(\lambda\in\mathbb{R}\) : \[\vec u=\vec v\iff x=x'\ \text{et}\ y=y',\] \[\boxed{\vec u+\vec v=(x+x',y+y')},\qquad\boxed{\lambda\vec u=(\lambda x,\lambda y)}.\] Toutes les opérations se font coordonnée par coordonnée.
Propriété — vecteur défini par deux points
Pour \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B,y_B)\) : \[\boxed{\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\ y_B-y_A).}\] En particulier \(A=B\iff\overrightarrow{AB}=\vec0\).
Propriété — coordonnées du milieu
Le milieu \(I\) de \([AB]\) a pour coordonnées \[\boxed{I\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right).}\]
Exemple. Pour \(A(-1,3)\) et \(B(5,-1)\) : \(\overrightarrow{AB}=(6,-4)\) et le milieu de \([AB]\) est \(I\left(\dfrac{-1+5}{2},\dfrac{3-1}{2}\right)=(2,1)\).
1.3 Déterminant et colinéarité
Définition
Le déterminant des vecteurs \(\vec u(x,y)\) et \(\vec v(x',y')\) est \[\boxed{\det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y}=\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}.\]
Théorème — condition analytique de colinéarité
\(\vec u(x,y)\) et \(\vec v(x',y')\) sont colinéaires si et seulement si \(\boxed{\det(\vec u,\vec v)=0}\), c'est-à-dire \(xy'-x'y=0\).
Propriété — alignement de trois points
\(A,B,C\) sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires : \[\boxed{A,B,C\text{ alignés}\iff\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0.}\]
Méthode — vérifier un alignement
(1) calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ; (2) calculer leur déterminant ; (3) conclure : déterminant nul \(\Rightarrow\) alignement ; non nul \(\Rightarrow\) points non alignés.
Un seul outil, plusieurs usages
Le déterminant vérifie la colinéarité de deux vecteurs, l'alignement de trois points et le parallélisme de deux droites. Il suffit de choisir les bons vecteurs avant de calculer.
1.4 Norme et distance dans un repère orthonormé
Propriété
Dans un repère orthonormé, la norme de \(\vec u(x,y)\) est \(\boxed{\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}.}\) Par conséquent, pour \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B,y_B)\) : \[\boxed{AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.}\]
Vérifier le repère
La formule de la distance ne s'utilise que dans un repère orthonormé. Les formules des coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et du milieu restent, elles, valables dans tout repère.
Exemple. Dans un repère orthonormé, pour \(A(1,-2)\) et \(B(4,2)\) : \(AB=\sqrt{(4-1)^2+(2+2)^2}=\sqrt{9+16}=5\).
1.5 Vecteur directeur et définition vectorielle d'une droite
Définition
Un vecteur directeur d'une droite \((D)\) est un vecteur non nul dont la direction est celle de \((D)\). Si \(\vec u\) dirige \((D)\), tout vecteur non nul colinéaire à \(\vec u\) dirige aussi \((D)\).
Propriété — définition vectorielle
La droite passant par \(A\) et dirigée par \(\vec u\ne\vec0\) est l'ensemble des points \(M\) tels que \[\boxed{M\in(D)\iff\exists\,t\in\mathbb{R}:\ \overrightarrow{AM}=t\vec u.}\] On la note \(D(A,\vec u)\).
Propriété
Si \(A\ne B\), le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur directeur de \((AB)\). Tous les vecteurs directeurs de \((AB)\) sont les vecteurs non nuls colinéaires à \(\overrightarrow{AB}\).
1.6 Représentation paramétrique d'une droite
Théorème
La droite passant par \(A(x_A,y_A)\) de vecteur directeur \(\vec u(\alpha,\beta)\ne\vec0\) admet la représentation paramétrique \[\boxed{\begin{cases}x=x_A+t\alpha,\\y=y_A+t\beta,\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.}\] Chaque valeur de \(t\) donne un point de la droite, et chaque point correspond à une unique valeur de \(t\).
Méthode — lire une représentation paramétrique
Dans \(\begin{cases}x=x_A+t\alpha\\y=y_A+t\beta\end{cases}\) on lit directement un point \(A(x_A,y_A)\) (obtenu pour \(t=0\)) et un vecteur directeur \(\vec u(\alpha,\beta)\).
Exemple. La droite \(\begin{cases}x=2-3t\\y=-1+4t\end{cases}\) passe par \(A(2,-1)\), de vecteur directeur \(\vec u(-3,4)\) ; pour \(t=1\) on obtient \(B(-1,3)\).
Méthode — tester l'appartenance (forme paramétrique)
Pour vérifier si \(M(x_M,y_M)\) appartient à une droite paramétrique, remplacer \(x\) et \(y\) par \(x_M\) et \(y_M\) : le point appartient à la droite si une même valeur de \(t\) satisfait les deux équations.
1.7 Équation cartésienne d'une droite
Théorème
Soient \(a,b,c\) réels avec \((a,b)\ne(0,0)\). L'ensemble des points \(M(x,y)\) vérifiant \(\boxed{ax+by+c=0}\) est une droite, dont un vecteur directeur est \(\boxed{\vec u(-b,a).}\) Réciproquement, toute droite admet une équation de cette forme.
Propriété — équations équivalentes
Une droite possède une infinité d'équations cartésiennes : multiplier par un réel non nul ne change pas la droite : \[ax+by+c=0\iff\lambda ax+\lambda by+\lambda c=0\quad(\lambda\ne0).\]
Méthode — tester l'appartenance d'un point
Pour \((D):ax+by+c=0\), calculer \(ax_M+by_M+c\) : le résultat est nul \(\iff M\in(D)\) ; sinon \(M\notin(D)\).
1.8 Déterminer l'équation d'une droite
Méthode — un point et un vecteur directeur
Pour \((D)\) passant par \(A(x_A,y_A)\) et dirigée par \(\vec u(\alpha,\beta)\), un point \(M(x,y)\) vérifie \(M\in(D)\iff\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0\). Comme \(\overrightarrow{AM}=(x-x_A,y-y_A)\), on obtient \[\boxed{\beta(x-x_A)-\alpha(y-y_A)=0.}\]
Méthode — deux points distincts
Pour \((AB)\) : (1) calculer \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)\) ; (2) prendre \(A\) comme point et \(\overrightarrow{AB}\) comme vecteur directeur ; (3) écrire \(\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})=0\) ; (4) développer et simplifier par un même facteur non nul ; (5) vérifier que \(A\) et \(B\) satisfont l'équation.
Méthode — cartésienne \(\to\) paramétrique
Pour \((D):ax+by+c=0\) : (1) choisir un point \(A(x_A,y_A)\) vérifiant l'équation ; (2) prendre le vecteur directeur \(\vec u(-b,a)\) ; (3) écrire \(x=x_A-bt\) et \(y=y_A+at\), \(t\in\mathbb{R}\).
1.9 Équation réduite et représentation graphique
Propriété — équation réduite
Si \(b\ne0\), l'équation \(ax+by+c=0\) équivaut à \(\boxed{y=mx+p}\) avec \(m=-\dfrac ab\) et \(p=-\dfrac cb\). Le réel \(m\) est le coefficient directeur, \(p\) l'ordonnée à l'origine ; un vecteur directeur est \((1,m)\).
Propriété — droite passant par deux points
Si \(x_A\ne x_B\), le coefficient directeur de \((AB)\) est \(\boxed{m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\), et la droite admet l'équation \(y-y_A=m(x-x_A)\).
Propriété — cas particuliers
- \(x=k\) : droite verticale, parallèle à l'axe des ordonnées ;
- \(y=k\) : droite horizontale, parallèle à l'axe des abscisses ;
- \(y=mx+p\) n'est jamais une droite verticale.
Exemple. Pour tracer \((D):2x+y-4=0\), on écrit \(y=-2x+4\). Si \(x=0\), \(y=4\) ; si \(x=2\), \(y=0\). La droite passe par \(A(0,4)\) et \(B(2,0)\).
1.10 Positions relatives de deux droites
Théorème — critère avec les coefficients
Pour \((D):ax+by+c=0\) et \((D'):a'x+b'y+c'=0\) : si \(ab'-a'b\ne0\), les droites sont sécantes ; si \(ab'-a'b=0\), elles sont parallèles ou confondues.
Propriété — distinguer les cas parallèles
Lorsque \(ab'-a'b=0\) : si \((a,b,c)\) et \((a',b',c')\) sont proportionnels, les droites sont confondues ; sinon elles sont strictement parallèles. On peut aussi tester un point de \((D)\) dans \((D')\).
Méthode — point d'intersection
Si les droites sont sécantes, leur point d'intersection \(I(x,y)\) est l'unique solution du système \[\begin{cases}ax+by+c=0,\\a'x+b'y+c'=0.\end{cases}\] Après résolution, vérifier les coordonnées dans les deux équations.
Ne pas s'arrêter trop tôt
\(ab'-a'b=0\) prouve seulement que les droites sont parallèles au sens large. Il faut encore distinguer confondues et strictement parallèles.
L'essentiel du chapitre
- \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)\) et \(I\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)\).
- \(\det(\vec u,\vec v)=0\) caractérise la colinéarité.
- Droite par \(A\) dirigée par \(\vec u(\alpha,\beta)\) : \(\beta(x-x_A)-\alpha(y-y_A)=0\).
- Pour \(ax+by+c=0\), un vecteur directeur est \((-b,a)\).
- La forme paramétrique fabrique les points ; la forme cartésienne teste vite l'appartenance.
- \(ab'-a'b\ne0\) : droites sécantes ; \(=0\) : distinguer confondues et strictement parallèles.