Tronc Commun · Sciences · Chapitre 7

Les polynômes

Un polynôme, c'est une somme de monômes aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ : l'objet central de tout le calcul algébrique. Ce chapitre pose d'abord le vocabulaire (degré, coefficient dominant, terme constant) et la règle d'or de l'identification — deux polynômes sont égaux exactement quand leurs coefficients de même degré coïncident, ce qui permet de trouver des coefficients inconnus par un système. On étudie ensuite les opérations et leur effet sur le degré (deg(PQ) = deg P + deg Q), puis la division euclidienne P = AQ + R avec deg R < deg A. Le cœur du chapitre relie division et racines : le théorème du reste (le reste de la division par x − a vaut P(a)) et le théorème de factorisation (a est racine ⟺ P est divisible par x − a). Vous apprendrez à chercher une racine évidente, à obtenir le quotient par identification ou par le schéma de Horner, puis à factoriser complètement et à résoudre P(x) = 0 grâce à la règle du produit nul. Un polynôme de degré n a au plus n racines réelles distinctes.

1 · Résumé du cours

Les polynômes interviennent dans le calcul littéral, la résolution d'équations et l'étude des fonctions. Ce chapitre apprend à reconnaître un polynôme, à opérer sur ses coefficients, à le diviser et à le factoriser à l'aide de ses racines.

1.1 Vocabulaire et définition

Définition — monôme Un monôme de variable \(x\) est une expression \(ax^k\) avec \(a\in\mathbb{R}\) et \(k\in\mathbb{N}\). Le réel \(a\) est le coefficient et, lorsque \(a\ne0\), \(k\) est le degré du monôme.

Définition — polynôme Un polynôme à une variable réelle est une somme finie de monômes. Après réduction et classement selon les puissances décroissantes : \[\boxed{P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}\quad(a_n\ne0).\] \(a_n\) est le coefficient dominant, \(a_0\) le terme constant, et \(n=\deg P\) le degré.

Propriété — cas particuliers

Un polynôme constant non nul est de degré \(0\).
Le polynôme dont tous les coefficients sont nuls est le polynôme nul ; on ne lui attribue pas de degré.
Degré \(1\) : un binôme \(ax+b\) (\(a\ne0\)) ; degré \(2\) : un trinôme \(ax^2+bx+c\) (\(a\ne0\)).

Exemple. \(P(x)=-3x^5+2x^3-x+7\) est réduit et ordonné (les coefficients en \(x^4\) et \(x^2\) sont nuls). Son degré est \(5\), son coefficient dominant \(-3\), son terme constant \(7\).

Reconnaître ce qui n'est pas un polynôme Dans un polynôme, les exposants de \(x\) sont des entiers naturels. Ainsi \(x^2+3x-1\) est un polynôme, mais \(\dfrac2x+x\), \(\sqrt x+1\) et \(x^{-2}+4\) n'en sont pas.

1.2 Valeur numérique d'un polynôme

Définition La valeur numérique de \(P\) en \(a\in\mathbb{R}\), notée \(P(a)\), s'obtient en remplaçant chaque \(x\) par \(a\).

Exemple. Pour \(P(x)=2x^3-5x+4\) : \(P(-2)=2(-8)+10+4=-2\). De plus \(P(0)=4\) : \(P(0)\) est toujours égal au terme constant.

Méthode — calculer \(P(a)\) sans erreur (1) remplacer \(x\) par \(a\) entre parenthèses ; (2) calculer d'abord les puissances ; (3) faire les produits, puis les sommes ; (4) surveiller les signes lorsque \(a<0\).

1.3 Égalité et identification des coefficients

Théorème — égalité de deux polynômes Deux polynômes réduits sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degré sont égaux : \[a_nx^n+\cdots+a_0=b_nx^n+\cdots+b_0\iff\boxed{a_0=b_0,\ a_1=b_1,\ \ldots,\ a_n=b_n.}\] On complète au besoin par des coefficients nuls avant d'identifier.

Méthode — déterminer des coefficients inconnus (1) développer chaque membre ; (2) réduire et ordonner ; (3) identifier les coefficients de même degré ; (4) résoudre le système, puis vérifier.

Exemple. Cherchons \(a,b,c\) tels que \((x-2)(ax^2+bx+c)=3x^3-x^2-12x+4\). Le développement donne \(ax^3+(b-2a)x^2+(c-2b)x-2c\), d'où \(a=3\), \(b=5\), \(c=-2\) (la troisième égalité \(c-2b=-12\) est bien vérifiée). Donc \(\boxed{(a,b,c)=(3,5,-2).}\)

Contrôle de cohérence Quand il y a plus d'équations que d'inconnues, les égalités en trop servent à vérifier. Si l'une n'est pas satisfaite, l'égalité demandée est impossible.

1.4 Opérations sur les polynômes

Propriété — somme, différence, produit Pour \(P,Q\) non nuls :

\(\deg(P+Q)\le\max(\deg P,\deg Q)\) et de même pour \(P-Q\) ;
\(\boxed{\deg(PQ)=\deg P+\deg Q}\) ;
pour tout \(k\in\mathbb{N}\), \(\deg(P^k)=k\deg P\).

Pourquoi le degré d'une somme peut-il diminuer ? Les termes de plus haut degré peuvent s'annuler : \((3x^4+x)-(3x^4-2x^2)=2x^2+x\) est de degré \(2\) alors que les deux polynômes sont de degré \(4\). Dans un produit de polynômes non nuls, en revanche, les degrés s'ajoutent toujours.

Exemple. Pour \(P(x)=2x^2-3x+1\) et \(Q(x)=x^2+x-4\) : \(P+Q=3x^2-2x-3\), \(P-Q=x^2-4x+5\), et \(PQ=2x^4-x^3-10x^2+13x-4\) (degré \(4\), coefficient dominant \(2\times1=2\)).

1.5 Division euclidienne

Théorème — division euclidienne des polynômes Pour \(P\) et \(A\) polynômes, \(A\ne0\), il existe un unique couple \((Q,R)\) tel que \[\boxed{P(x)=A(x)Q(x)+R(x)}\] avec \(R=0\) ou \(\deg R<\deg A\). \(P\) est le dividende, \(A\) le diviseur, \(Q\) le quotient, \(R\) le reste.

Méthode — poser une division euclidienne (1) réduire et ordonner dividende et diviseur ; (2) compléter les puissances manquantes par des \(0\) ; (3) diviser le terme dominant du dividende par celui du diviseur ; (4) multiplier le diviseur par ce terme, puis soustraire ; (5) recommencer tant que le reste provisoire a un degré \(\ge\) celui du diviseur.

Exemple. Division de \(P(x)=2x^3+3x^2-5x+1\) par \(A(x)=x^2+x-2\) : le quotient est \(2x+1\), le reste \(-2x+3\), soit \(\boxed{P(x)=(x^2+x-2)(2x+1)+(-2x+3).}\)

Définition — divisibilité \(P\) est divisible par \(A\) lorsque le reste de la division euclidienne de \(P\) par \(A\) est nul ; il existe alors \(Q\) tel que \(P(x)=A(x)Q(x)\).

1.6 Division par \(x-a\) et théorème du reste

Théorème — théorème du reste La division de \(P\) par \(x-a\) s'écrit \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\) avec \(r\) constant. En posant \(x=a\), on obtient \(P(a)=r\), donc \[\boxed{P(x)=(x-a)Q(x)+P(a).}\]

Exemple. Le reste de la division de \(P(x)=x^4-3x^2+2x-5\) par \(x-2\) est \(P(2)=16-12+4-5=3\). Inutile de poser toute la division si l'on ne veut que le reste.

1.7 Racines et factorisation

Définition Un réel \(a\) est une racine (ou un zéro) de \(P\) si \(\boxed{P(a)=0.}\)

Théorème — théorème de factorisation Pour tout réel \(a\), \[\boxed{P(a)=0\iff P(x)=(x-a)Q(x)}\] pour un certain polynôme \(Q\). Ainsi \(a\) est racine de \(P\) si et seulement si \(P\) est divisible par \(x-a\). Si \(P\ne0\), alors \(\deg Q=\deg P-1\).

Propriété — nombre de racines Un polynôme non nul de degré \(n\) possède au plus \(n\) racines réelles distinctes. En particulier, un polynôme de degré \(\le n\) qui s'annule en plus de \(n\) valeurs distinctes est le polynôme nul.

Méthode — chercher puis exploiter une racine Pour factoriser un polynôme de degré \(\ge3\) : (1) tester des valeurs simples \(0,1,-1,2,-2\) ; (2) dès que \(P(a)=0\), écrire \(P(x)=(x-a)Q(x)\) ; (3) déterminer \(Q\) (identification, division ou Horner) ; (4) factoriser \(Q\) si possible ; (5) vérifier en développant.

Exemple. Pour \(P(x)=x^3-4x^2+x+6\) : \(P(2)=0\), donc \(P(x)=(x-2)(x^2-2x-3)=(x-2)(x-3)(x+1)\). Les racines sont \(-1,2,3\).

1.8 Méthode de Horner

Méthode — schéma de Horner Le schéma de Horner calcule à la fois \(P(a)\) et le quotient de la division de \(P\) par \(x-a\). Pour \(P(x)=b_nx^n+\cdots+b_0\) : (1) écrire tous les coefficients, y compris les nuls ; (2) abaisser le premier ; (3) le multiplier par \(a\) et l'ajouter au coefficient suivant ; (4) répéter jusqu'au terme constant ; (5) le dernier nombre est \(P(a)\), les précédents sont les coefficients du quotient.

Exemple. Division de \(P(x)=x^3-4x^2+x+6\) par \(x-2\), avec \(a=2\) et coefficients \(1,-4,1,6\) : \[\begin{array}{c|rrrr}2&1&-4&1&6\\&&2&-4&-6\\\hline&1&-2&-3&0\end{array}\] La dernière valeur \(0=P(2)\) : \(2\) est racine. Le quotient est \(Q(x)=x^2-2x-3\), donc \(P(x)=(x-2)(x^2-2x-3)\).

Ne pas oublier les coefficients nuls Pour appliquer Horner à \(P(x)=2x^4-3x+1\), la liste est \(2,\ 0,\ 0,\ -3,\ 1\). Oublier les zéros de \(x^3\) et \(x^2\) décale tous les calculs et donne un quotient faux.

1.9 Résoudre une équation polynomiale factorisée

Propriété — règle du produit nul Pour des expressions réelles \(A_1(x),\ldots,A_k(x)\) : \[A_1(x)A_2(x)\cdots A_k(x)=0\] si et seulement si au moins l'un des facteurs est nul.

Méthode — résoudre \(P(x)=0\) (1) tout ramener dans un même membre pour obtenir \(P(x)=0\) ; (2) factoriser complètement \(P\) ; (3) appliquer la règle du produit nul ; (4) résoudre chaque équation et réunir les solutions.

Exemple. \(x^3-4x^2+x+6=0\) se factorise en \((x-2)(x-3)(x+1)=0\), d'où \(x=2\), \(x=3\) ou \(x=-1\) : \(\boxed{S=\{-1,2,3\}.}\)

L'essentiel du chapitre

\(P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\) avec \(a_n\ne0\), \(\deg P=n\).
Deux polynômes sont égaux ssi leurs coefficients de même degré le sont.
\(\deg(PQ)=\deg P+\deg Q\) ; le degré d'une somme peut diminuer.
Division euclidienne : \(P=AQ+R\) avec \(R=0\) ou \(\deg R<\deg A\).
Le reste de la division de \(P\) par \(x-a\) est \(P(a)\).
\(a\) racine de \(P\iff P\) divisible par \(x-a\).
Degré \(n\) \(\Rightarrow\) au plus \(n\) racines réelles distinctes.
Après factorisation, \(P(x)=0\) se résout avec la règle du produit nul.

2 · Exercices résolus

Racine · factorisation

Exercice 1

Soit \(P(x)=2x^3+x^2-13x+6\). Vérifier que \(2\) est racine de \(P\), puis factoriser complètement \(P\).

Voir la correction

1. \(P(2)=2\times8+4-26+6=0\). Donc \(2\) est racine et \(P\) est divisible par \(x-2\).

2. On écrit \(P(x)=(x-2)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-2a)x^2+(c-2b)x-2c\). Par identification avec \(2x^3+x^2-13x+6\) : \(a=2\), \(b-2a=1\Rightarrow b=5\), \(-2c=6\Rightarrow c=-3\), et \(c-2b=-3-10=-13\) (vérifié). Donc \(P(x)=(x-2)(2x^2+5x-3)\).

3. \(2x^2+5x-3=2x^2+6x-x-3=2x(x+3)-(x+3)=(2x-1)(x+3)\). Ainsi \[\boxed{P(x)=(x-2)(2x-1)(x+3).}\]

4. Contrôle : produit des dominants \(1\times2\times1=2\) ; terme constant \((-2)(-1)(3)=6\). Cohérent. \(\blacksquare\)

Paramètre

Exercice 2

Déterminer \(m\) pour que \(-1\) soit racine de \(P(x)=x^3+mx^2-x+3\).

Voir la correction

\(-1\) est racine \(\iff P(-1)=0\). Or \[P(-1)=(-1)^3+m(-1)^2-(-1)+3=-1+m+1+3=m+3.\]

Donc \(P(-1)=0\iff m+3=0\iff\boxed{m=-3}\).

Vérification : pour \(m=-3\), \(P(x)=x^3-3x^2-x+3=x^2(x-3)-(x-3)=(x^2-1)(x-3)=(x-1)(x+1)(x-3)\). Le facteur \(x+1\) apparaît : \(-1\) est bien racine. \(\blacksquare\)

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