2023 — Session normale

1) a) Produit vectoriel \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{AB}=(2,0,-2)\) et \(\overrightarrow{AC}=(2,4,-4)\). On calcule chaque composante du produit vectoriel : \[\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\Big(0\cdot(-4)-(-2)\cdot4,\ (-2)\cdot2-2\cdot(-4),\ 2\cdot4-0\cdot2\Big)=(8,4,8)=4(2,1,2).\] Donc \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=4\big(2\vec i+\vec j+2\vec k\big)\). ∎

1) b) Aire du triangle et distance

\(\big\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\big\|=4\sqrt{2^{2}+1^{2}+2^{2}}=4\times3=12\). D'où \[\mathcal A_{ABC}=\frac12\big\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\big\|=\frac12\times12=6.\] Comme \(\mathcal A_{ABC}=\dfrac12\,AC\times d\big(B,(AC)\big)\) et \(AC=\sqrt{2^{2}+4^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{36}=6\) : \[d\big(B,(AC)\big)=\frac{\big\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\big\|}{AC}=\frac{12}{6}=2. ∎\]

2) a) \(\overrightarrow{D\Omega}=\tfrac14\big(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\big)\)

\(D\) milieu de \([AC]\) : \(D=\Big(\dfrac{0+2}{2},\dfrac{1+5}{2},\dfrac{4+0}{2}\Big)=(1,3,2)\). Alors \[\overrightarrow{D\Omega}=(3-1,\,4-3,\,4-2)=(2,1,2)=\frac14\,(8,4,8)=\frac14\big(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\big). ∎\]

2) b) \(d\big(\Omega,(ABC)\big)=3\)

Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\) ; d'après 2)a), \(\overrightarrow{D\Omega}\) lui est colinéaire, donc \(\overrightarrow{D\Omega}\) est aussi normal à \((ABC)\). Or \(D\) (milieu de \([AC]\)) appartient à \((ABC)\), donc \(D\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((ABC)\) et \[d\big(\Omega,(ABC)\big)=\Omega D=\|\overrightarrow{D\Omega}\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+2^{2}}=3. ∎\]

3) a) Centre et rayon de \((S)\)

On identifie l'équation \(x^{2}+y^{2}+z^{2}-6x-8y-8z+32=0\) à \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}\) : le centre est \(\Omega'(3,4,4)\) et \[R^{2}=3^{2}+4^{2}+4^{2}-32=41-32=9\ \Longrightarrow\ R=3.\] Le centre de \((S)\) est donc le point \(\Omega(3,4,4)\) (le même que celui de l'énoncé) et le rayon \(R=3\). ∎

3) b) Tangence du plan \((ABC)\) à \((S)\)

D'après 2)b), \(d\big(\Omega,(ABC)\big)=3=R\) : le plan \((ABC)\) est donc tangent à la sphère \((S)\). Le point de contact est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((ABC)\), c'est-à-dire \(D(1,3,2)\). Le plan \((ABC)\) est tangent à \((S)\) au point \(D\). ∎

4) Plans parallèles \((Q_1)\) et \((Q_2)\)

Une équation du plan \((ABC)\), de vecteur normal \((2,1,2)\) et passant par \(A(0,1,4)\), est \(2x+y+2z-9=0\). Tout plan \((Q)\) parallèle à \((ABC)\) s'écrit \(2x+y+2z+d=0\).

Une section de \((S)\) par \((Q)\) est un cercle de rayon \(r=\sqrt5\) lorsque \(R^{2}=r^{2}+d\big(\Omega,(Q)\big)^{2}\), soit \[9=5+d\big(\Omega,(Q)\big)^{2}\ \Longrightarrow\ d\big(\Omega,(Q)\big)=2.\] Or \(d\big(\Omega,(Q)\big)=\dfrac{|2\cdot3+4+2\cdot4+d|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}+2^{2}}}=\dfrac{|18+d|}{3}\), d'où \(|18+d|=6\), soit \(d=-12\) ou \(d=-24\). Les deux plans cherchés sont \[\boxed{(Q_1):\ 2x+y+2z-12=0\quad\text{et}\quad(Q_2):\ 2x+y+2z-24=0.} ∎\]

1) Forme trigonométrique de \(a\)

\(a=\sqrt2+i\sqrt2=\sqrt2(1+i)\), de module \(|a|=\sqrt{(\sqrt2)^{2}+(\sqrt2)^{2}}=\sqrt4=2\). Comme \(a=2\Big(\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}\Big)\), \[a=2\Big(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Big). ∎\]

2) a) \(b-d=c\)

\[b-d=(1+\sqrt2+i)-2i=1+\sqrt2-i=\overline{1+\sqrt2+i}=\bar b=c. ∎\]

2) b) Alignement de \(A\), \(B\), \(D\)

\(b-a=(1+\sqrt2+i)-(\sqrt2+i\sqrt2)=1+i(1-\sqrt2)\). Alors \[(\sqrt2+1)(b-a)=(\sqrt2+1)\big[1+i(1-\sqrt2)\big]=(\sqrt2+1)+i\underbrace{(\sqrt2+1)(1-\sqrt2)}_{=-1}=\sqrt2+1-i=b-d,\] car \((\sqrt2+1)(1-\sqrt2)=\sqrt2-2+1-\sqrt2=-1\) et \(b-d=c=1+\sqrt2-i\). Ainsi \(\dfrac{b-d}{b-a}=\sqrt2+1\in\mathbb{R}^{*}\), ce qui signifie que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DB}\) sont colinéaires : les points \(A\), \(B\) et \(D\) sont alignés. ∎

3) a) \(ac=2b\)

\[ac=\sqrt2(1+i)\,(1+\sqrt2-i).\] Or \((1+i)(1+\sqrt2-i)=(1+\sqrt2-i)+i(1+\sqrt2-i)=(1+\sqrt2+1)+i(-1+1+\sqrt2)=(2+\sqrt2)+i\sqrt2\), donc \[ac=\sqrt2\big[(2+\sqrt2)+i\sqrt2\big]=(2\sqrt2+2)+2i=2(1+\sqrt2+i)=2b. ∎\]

3) b) \(2\arg(b)\equiv\tfrac{\pi}{4}\ [2\pi]\)

De \(ac=2b\), en passant aux arguments : \(\arg(a)+\arg(c)\equiv\arg(b)\ [2\pi]\). Or \(c=\bar b\), donc \(\arg(c)\equiv-\arg(b)\), d'où \[\arg(a)-\arg(b)\equiv\arg(b)\ \Longrightarrow\ 2\arg(b)\equiv\arg(a)\equiv\frac{\pi}{4}\ [2\pi]. ∎\]

4) a) Écriture complexe de \(R\)

La rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\) s'écrit \(z'=e^{i\pi/4}z\). Comme \(a=2e^{i\pi/4}\), on a \(e^{i\pi/4}=\dfrac{a}{2}\), donc \[z'=\frac12\,az. ∎\]

4) b) Images de \(C\) et de \(A\)

Pour \(C\) : \(z'_C=\dfrac12\,a\,c=\dfrac12(ac)=\dfrac12(2b)=b\), donc \(R(C)=B\).

Pour \(A\) : \(z'_A=\dfrac12\,a\cdot a=\dfrac12\,a^{2}\). Or \(a^{2}=\big(2e^{i\pi/4}\big)^{2}=4e^{i\pi/2}=4i\), donc \(z'_A=\dfrac12\cdot4i=2i=d\), d'où \(R(A)=D\). ∎

4) c) Rapport \(\dfrac{b-a}{c-a}\) et angle \(\big(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\big)\)

On a \(b-a=1+i(1-\sqrt2)\) et \(c-a=(1+\sqrt2-i)-(\sqrt2+i\sqrt2)=1-i(1+\sqrt2)\). En multipliant haut et bas par le conjugué de \(c-a\) : \[\frac{b-a}{c-a}=\frac{\big[1+i(1-\sqrt2)\big]\big[1+i(1+\sqrt2)\big]}{1+(1+\sqrt2)^{2}}=\frac{2+2i}{4+2\sqrt2}=\frac{1+i}{2+\sqrt2}.\] En multipliant par \(\dfrac{2-\sqrt2}{2-\sqrt2}\) : \(\dfrac{(1+i)(2-\sqrt2)}{2}=\dfrac{2-\sqrt2}{2}(1+i)\). Or \(\Big(\dfrac{\sqrt2-1}{2}\Big)a=\dfrac{\sqrt2-1}{2}\cdot\sqrt2(1+i)=\dfrac{2-\sqrt2}{2}(1+i)\). Donc \[\frac{b-a}{c-a}=\Big(\frac{\sqrt2-1}{2}\Big)a.\] Comme \(\dfrac{\sqrt2-1}{2}>0\), on a \(\arg\dfrac{b-a}{c-a}\equiv\arg(a)\equiv\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]\). Or \(\big(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\big)\equiv\arg\dfrac{b-a}{c-a}\), d'où \[\big(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\big)\equiv\frac{\pi}{4}\ [2\pi]. ∎\]

Composition : \(U_1\) contient \(2\) fois « \(0\) », \(3\) fois « \(1\) », \(1\) fois « \(2\) » (soit \(6\) boules) ; \(U_2\) contient \(3\) fois « \(1\) », \(2\) fois « \(2\) » (soit \(5\) boules). Après avoir déposé la boule tirée de \(U_1\), l'urne \(U_2\) contient \(6\) boules.

1) a) \(p(A)\)

\(A\) ne concerne que le premier tirage : il y a \(3\) boules « \(1\) » parmi \(6\), donc \[p(A)=\frac{3}{6}=\frac12. ∎\]

1) b) \(p(B)=\dfrac14\)

Le produit \(ab=2\) n'est possible que dans deux cas :

• \(a=1\) puis \(b=2\). \(p(a=1)=\dfrac36=\dfrac12\). On ajoute un « \(1\) » à \(U_2\), qui devient \(\{1,1,1,1,2,2\}\) : \(p(b=2)=\dfrac26=\dfrac13\). Probabilité : \(\dfrac12\times\dfrac13=\dfrac16\).
• \(a=2\) puis \(b=1\). \(p(a=2)=\dfrac16\). On ajoute un « \(2\) » à \(U_2\), qui devient \(\{1,1,1,2,2,2\}\) : \(p(b=1)=\dfrac36=\dfrac12\). Probabilité : \(\dfrac16\times\dfrac12=\dfrac1{12}\).

Donc \(p(B)=\dfrac16+\dfrac1{12}=\dfrac{2}{12}+\dfrac1{12}=\dfrac3{12}=\dfrac14\). ∎

2) \(p(A/B)\)

\(A\cap B\) : « \(a=1\) et \(ab=2\) », c'est-à-dire \(a=1\) puis \(b=2\), dont la probabilité vaut \(\dfrac16\) (calcul ci-dessus). Donc \[p(A/B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}=\frac{1/6}{1/4}=\frac46=\frac23. ∎\]

3) a) \(p(X=0)=\dfrac13\)

Comme \(b\in\{1,2\}\) n'est jamais nul, \(X=ab=0\iff a=0\). Or \(p(a=0)=\dfrac26=\dfrac13\), d'où \(p(X=0)=\dfrac13\). ∎

3) b) Loi de probabilité de \(X\)

• \(X=1\iff a=1\) et \(b=1\) : \(\dfrac12\times\dfrac46=\dfrac13\) (après ajout d'un « \(1\) », \(p(b=1)=\dfrac46\)).
• \(X=2\) : c'est l'événement \(B\), \(p(X=2)=\dfrac14\).
• \(X=4\iff a=2\) et \(b=2\) : \(\dfrac16\times\dfrac36=\dfrac1{12}\) (après ajout d'un « \(2\) », \(p(b=2)=\dfrac36\)).

\[\begin{array}{c|cccc} k & 0 & 1 & 2 & 4\\\hline p(X=k) & \dfrac13 & \dfrac13 & \dfrac14 & \dfrac1{12} \end{array}\] Vérification : \(\dfrac13+\dfrac13+\dfrac14+\dfrac1{12}=\dfrac{4+4+3+1}{12}=1\). ∎

3) c) \(M\) et \(N\) équiprobables

\(M\) : « \(ab\) pair non nul » \(=\{X=2\}\cup\{X=4\}\), donc \(p(M)=\dfrac14+\dfrac1{12}=\dfrac{3+1}{12}=\dfrac13\).
\(N\) : « \(ab=1\) » \(=\{X=1\}\), donc \(p(N)=\dfrac13\).
Comme \(p(M)=p(N)=\dfrac13\), les événements \(M\) et \(N\) sont équiprobables. ∎

1) a) Écriture sur dénominateur commun

\((1-\ln x)^{2}=1-2\ln x+(\ln x)^{2}\), donc \(f(x)=2-\dfrac2x+1-2\ln x+(\ln x)^{2}=3-\dfrac2x-2\ln x+(\ln x)^{2}\). En réduisant au dénominateur \(x\) : \[f(x)=\frac{3x-2-2x\ln x+x(\ln x)^{2}}{x}. ∎\]

1) b) Deux limites par croissances comparées

Posons \(t=\sqrt x\) (donc \(x=t^{2}\)). Quand \(x\to0^{+}\), \(t\to0^{+}\) : \[x(\ln x)^{2}=t^{2}\,(\ln t^{2})^{2}=t^{2}(2\ln t)^{2}=4\,(t\ln t)^{2}\xrightarrow[t\to0^{+}]{}0,\] car \(t\ln t\to0\). Quand \(x\to+\infty\), \(t\to+\infty\) : \[\frac{(\ln x)^{2}}{x}=\frac{(2\ln t)^{2}}{t^{2}}=4\Big(\frac{\ln t}{t}\Big)^{2}\xrightarrow[t\to+\infty]{}0,\] car \(\dfrac{\ln t}{t}\to0\). ∎

1) c) Limite en \(0^{+}\) et interprétation

Dans l'écriture \(f(x)=\dfrac{3x-2-2x\ln x+x(\ln x)^{2}}{x}\), le numérateur tend vers \(3\cdot0-2-2\cdot0+0=-2\) (car \(x\ln x\to0\) et \(x(\ln x)^{2}\to0\)), tandis que le dénominateur \(x\to0^{+}\). Donc \[\lim_{x\to0^{+}}f(x)=\frac{-2}{0^{+}}=-\infty.\] Géométriquement, la droite d'équation \(x=0\) (l'axe \((Oy)\)) est asymptote verticale à \((C_f)\). ∎

1) d) Limite en \(+\infty\) et branche infinie

\(f(x)=2-\dfrac2x+(1-\ln x)^{2}\) ; quand \(x\to+\infty\), \(\dfrac2x\to0\) et \((1-\ln x)^{2}\to+\infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\). Pour la branche infinie : \[\frac{f(x)}{x}=\frac{3}{x}-\frac{2}{x^{2}}-2\,\frac{\ln x}{x}+\frac{(\ln x)^{2}}{x}\xrightarrow[x\to+\infty]{}0\] (tous les termes tendent vers \(0\) par croissances comparées). Comme \(f(x)\to+\infty\) et \(\dfrac{f(x)}{x}\to0\), la courbe \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses \((Ox)\) au voisinage de \(+\infty\). ∎

2) Dérivée \(f'\)

\(\dfrac{d}{dx}\Big(-\dfrac2x\Big)=\dfrac2{x^{2}}\) et \(\dfrac{d}{dx}\big[(1-\ln x)^{2}\big]=2(1-\ln x)\cdot\Big(-\dfrac1x\Big)=\dfrac{2(\ln x-1)}{x}\). Donc \[f'(x)=\frac2{x^{2}}+\frac{2(\ln x-1)}{x}=\frac{2+2x(\ln x-1)}{x^{2}}=\frac{2(1-x+x\ln x)}{x^{2}}. ∎\]

3) a) Stricte croissance et tableau de variations

La fonction \(f'\) est continue sur \(]0,+\infty[\) (quotient de fonctions continues). D'après le tableau donné : \(f'\) décroît de \(+\infty\) à \(0\) sur \(]0,1]\) (donc \(f'>0\) sur \(]0,1[\) et \(f'(1)=0\)), puis \(f'\ge0\) au-delà (elle croît vers \(f'(\beta)>0\), puis redécroît vers \(0^{+}\) sans jamais s'annuler sur \(]1,+\infty[\)). Ainsi \(f'(x)\ge0\) sur \(]0,+\infty[\), avec égalité seulement en \(x=1\) : \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).

\[\begin{array}{c|ccc} x & 0 & & +\infty\\\hline f'(x) & & + & \\\hline f(x) & -\infty & \nearrow & +\infty \end{array}\qquad\text{avec } f(1)=2-2+(1-0)^{2}=1.\] ∎

3) b) Signe de \(f''\)

\(f''\) est la dérivée de \(f'\) ; son signe se lit sur les variations de \(f'\) : \(f'\) décroît sur \(]0,1[\) puis croît sur \(]1,\beta[\) puis décroît sur \(]\beta,+\infty[\). Donc \[\begin{array}{c|ccccccc} x & 0 & & 1 & & \beta & & +\infty\\\hline f''(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \end{array}\] ∎

3) c) Concavité et points d'inflexion

D'après le signe de \(f''\) :

• sur \(]0,1[\) et \(]\beta,+\infty[\) : \(f''<0\), \((C_f)\) est concave ;
• sur \(]1,\beta[\) : \(f''>0\), \((C_f)\) est convexe.

La concavité change en \(x=1\) et en \(x=\beta\) : \((C_f)\) admet deux points d'inflexion, d'abscisses \(x=1\) et \(x=\beta\approx4{,}9\). ∎

4) a) Signe de \(g\)

La courbe \((C_g)\) est au-dessus de l'axe des abscisses sur \(]\alpha,1[\) et en dessous sur \(]0,\alpha[\) et \(]1,+\infty[\), avec \(g(\alpha)=g(1)=0\). Donc \[\begin{array}{c|ccccccc} x & 0 & & \alpha & & 1 & & +\infty\\\hline g(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \end{array}\] ∎

4) b) Position relative de \((\Delta)\) et \((C_f)\)

Comme \(g(x)=f(x)-x\) :

• sur \([\alpha,1]\) : \(g(x)\ge0\iff f(x)\ge x\) : \((\Delta):y=x\) est en dessous de \((C_f)\) ;
• sur \(]0,\alpha]\) et \([1,+\infty[\) : \(g(x)\le0\iff f(x)\le x\) : \((\Delta)\) est au-dessus de \((C_f)\). ∎

5) Construction de \((C_f)\) et \((\Delta)\)

Éléments de tracé :

• asymptote verticale \((Oy)\) : \(f(x)\to-\infty\) quand \(x\to0^{+}\) ;
• \(f\) strictement croissante de \(-\infty\) à \(+\infty\) ; branche parabolique de direction \((Ox)\) en \(+\infty\) ;
• \((C_f)\) coupe \((\Delta):y=x\) aux deux points \(\big(\alpha,\alpha\big)\approx(0{,}3;0{,}3)\) et \((1,1)\) (car \(g(\alpha)=g(1)=0\)) ;
• points d'inflexion en \((1,1)\) et \(\big(\beta,f(\beta)\big)\approx(4{,}9;1{,}9)\) ;
• d'après 4)b), \((C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur \([\alpha,1]\) (petite « bosse ») et en dessous ailleurs.

6) a) Primitive de \(1-\ln x\)

Si \(P(x)=2x-x\ln x\), alors \(P'(x)=2-\big(\ln x+x\cdot\tfrac1x\big)=2-\ln x-1=1-\ln x\). Donc \(x\mapsto2x-x\ln x\) est une primitive de \(x\mapsto1-\ln x\). ∎

6) b) Calcul de \(\displaystyle\int_\alpha^1(1-\ln x)^{2}dx\) par IPP

Posons \(u=(1-\ln x)^{2}\), \(v'=1\), d'où \(u'=-\dfrac{2(1-\ln x)}x\) et \(v=x\) : \[\int_\alpha^1(1-\ln x)^{2}dx=\Big[x(1-\ln x)^{2}\Big]_\alpha^1+2\int_\alpha^1(1-\ln x)\,dx.\] Le crochet vaut \(1\cdot(1-0)^{2}-\alpha(1-\ln\alpha)^{2}=1-\alpha(1-\ln\alpha)^{2}\). D'après 6)a), \(\displaystyle\int_\alpha^1(1-\ln x)dx=\big[2x-x\ln x\big]_\alpha^1=2-(2\alpha-\alpha\ln\alpha)=2-2\alpha+\alpha\ln\alpha\). Donc \[\int_\alpha^1(1-\ln x)^{2}dx=1-\alpha(1-\ln\alpha)^{2}+2(2-2\alpha+\alpha\ln\alpha)=5-\alpha(1-\ln\alpha)^{2}-4\alpha+2\alpha\ln\alpha.\] En développant \(\alpha(1-\ln\alpha)^{2}=\alpha-2\alpha\ln\alpha+\alpha(\ln\alpha)^{2}\) : \[\int_\alpha^1(1-\ln x)^{2}dx=5-5\alpha+4\alpha\ln\alpha-\alpha(\ln\alpha)^{2}=5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha. ∎\]

6) c) Aire du domaine

Sur \([\alpha,1]\), on a \(f(x)\ge x>0\) (question 4)b)), donc \(f\ge0\) et l'aire vaut \(\displaystyle\int_\alpha^1f(x)\,dx\). On sépare : \[\int_\alpha^1f(x)\,dx=\int_\alpha^1\Big(2-\frac2x\Big)dx+\int_\alpha^1(1-\ln x)^{2}dx.\] Or \(\displaystyle\int_\alpha^1\Big(2-\frac2x\Big)dx=\big[2x-2\ln x\big]_\alpha^1=2-(2\alpha-2\ln\alpha)=2-2\alpha+2\ln\alpha\). En ajoutant le résultat de 6)b) : \[\mathcal A=2-2\alpha+2\ln\alpha+5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha=\boxed{7(1-\alpha)+2\ln\alpha+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha}\ \text{cm}^{2}.\] Numériquement (\(\alpha\approx0{,}3\)) : \(\mathcal A\approx0{,}61\ \text{cm}^{2}\). ∎

7) a) Encadrement \(\alpha<u_n<1\)

Par récurrence. Initialisation : \(u_0\in\,]\alpha,1[\), donc \(\alpha<u_0<1\). Hérédité : supposons \(\alpha<u_n<1\). Comme \(f\) est strictement croissante, \(f(\alpha)<f(u_n)<f(1)\). Or \(g(\alpha)=0\Rightarrow f(\alpha)=\alpha\) et \(g(1)=0\Rightarrow f(1)=1\), donc \(\alpha<u_{n+1}<1\). Par récurrence, \(\alpha<u_n<1\) pour tout \(n\). ∎

7) b) \((u_n)\) croissante

D'après 4)b), pour tout \(x\in\,]\alpha,1[\), \(g(x)>0\), soit \(f(x)>x\). Comme \(u_n\in\,]\alpha,1[\), on a \(u_{n+1}=f(u_n)>u_n\) : la suite \((u_n)\) est croissante. ∎

7) c) Convergence et limite

\((u_n)\) est croissante et majorée par \(1\) : elle converge vers une limite \(\ell\). Par continuité de \(f\), \(\ell\) vérifie \(f(\ell)=\ell\), soit \(g(\ell)=0\), donc \(\ell=\alpha\) ou \(\ell=1\). Or \((u_n)\) est croissante avec \(u_0>\alpha\), donc \(\ell\ge u_0>\alpha\) : la seule possibilité est \(\ell=1\). Ainsi \[\lim_{n\to+\infty}u_n=1. ∎\]