2024 — Session de rattrapage

1) a) \(A\in(P)\) et vecteur normal

On remplace les coordonnées de \(A(1,1,0)\) dans l'équation de \((P)\) : \(1+0-1=0\). Donc \(A\in(P)\). Les coefficients de \(x,y,z\) dans \(x+z-1=0\) donnent un vecteur normal \(\vec n=(1,0,1)\). ∎

1) b) \((\Omega A)\perp(P)\)

\(\overrightarrow{\Omega A}=(1-(-1),\,1-1,\,0-(-2))=(2,0,2)=2(1,0,1)=2\,\vec n\). Le vecteur directeur \(\overrightarrow{\Omega A}\) de la droite \((\Omega A)\) est colinéaire au vecteur normal \(\vec n\) de \((P)\), donc \((\Omega A)\perp(P)\). ∎

2) a) \((S)\) est une sphère de centre \(\Omega\)

On complète les carrés : \[x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1,\quad y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1,\quad z^{2}+4z=(z+2)^{2}-4.\] L'équation devient \((x+1)^{2}+(y-1)^{2}+(z+2)^{2}-6-3=0\), soit \[(x+1)^{2}+(y-1)^{2}+(z+2)^{2}=9.\] C'est une sphère de centre \(\Omega(-1,1,-2)\) et de rayon \(R=3\). ∎

2) b) Section de \((S)\) par \((P)\)

La distance du centre au plan est \[d\big(\Omega,(P)\big)=\frac{|(-1)+(-2)-1|}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+1^{2}}}=\frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2.\] Comme \(2\sqrt2\approx2{,}83<3=R\), le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle. Son centre est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((P)\) ; or d'après 1)b), \(\overrightarrow{\Omega A}\perp(P)\) avec \(A\in(P)\), donc ce projeté est \(A\). Le rayon du cercle vaut \[r=\sqrt{R^{2}-d\big(\Omega,(P)\big)^{2}}=\sqrt{9-8}=1. ∎\]

3) a) \(A\in(Q_m)\) pour tout \(m\)

\(A(1,1,0)\) : \(1+1+m\cdot0-2=0\), vrai pour tout \(m\in\mathbb R\). Donc \(A\in(Q_m)\). ∎

3) b) \((Q_m)\perp(P)\)

Un vecteur normal de \((Q_m)\) est \(\vec{n_m}=(1,1,m)\), et \(\vec n=(1,0,1)\) est normal à \((P)\). Les deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs normales sont orthogonales : \[\vec{n_m}\cdot\vec n=1\cdot1+1\cdot0+m\cdot1=1+m=0\ \Longrightarrow\ m=-1. ∎\]

3) c) Un cercle de centre \(A\) ?

Pour que \((Q_m)\) coupe \((S)\) suivant un cercle de centre \(A\), il faudrait que \(A\) soit le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((Q_m)\), c'est-à-dire \(\overrightarrow{\Omega A}\) normal à \((Q_m)\), donc \(\overrightarrow{\Omega A}=(2,0,2)\) colinéaire à \(\vec{n_m}=(1,1,m)\).

I) 1) Discriminant de \((E)\)

\(\Delta=(-4)^{2}-4\times1\times9=16-36=-20\). Or \(\big(2i\sqrt5\big)^{2}=4\,i^{2}\times5=-20\). Donc \(\Delta=\big(2i\sqrt5\big)^{2}\). ∎

I) 2) Résolution

\(\sqrt\Delta=2i\sqrt5\), d'où \[z=\frac{4\pm2i\sqrt5}{2}=2\pm i\sqrt5.\] Les solutions sont \(z_1=2+i\sqrt5\) et \(z_2=2-i\sqrt5\). ∎

II) 1) a) \(|a|=3\)

\(|a|=\sqrt{2^{2}+(\sqrt5)^{2}}=\sqrt{4+5}=\sqrt9=3\). ∎

II) 1) b) Triangle \(OAB\) isocèle

\(OA=|a|=3\) et \(OB=|b|=\sqrt{2^{2}+(-\sqrt5)^{2}}=\sqrt9=3\). Donc \(OA=OB\) : le triangle \(OAB\) est isocèle en \(O\). ∎

II) 2) a) \(\dfrac{a-c}{b-c}=i\)

\(a-c=(2+i\sqrt5)-(2-\sqrt5)=\sqrt5+i\sqrt5=\sqrt5(1+i)\) et \(b-c=(2-i\sqrt5)-(2-\sqrt5)=\sqrt5-i\sqrt5=\sqrt5(1-i)\). Donc \[\frac{a-c}{b-c}=\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^{2}}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=i. ∎\]

II) 2) b) Nature du triangle \(ABC\)

Le rapport \(\dfrac{a-c}{b-c}=\dfrac{z_A-z_C}{z_B-z_C}=i\) donne d'une part \(\left|\dfrac{a-c}{b-c}\right|=\dfrac{CA}{CB}=|i|=1\), donc \(CA=CB\) ; d'autre part \(\big(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA}\big)\equiv\arg(i)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\). Le triangle \(ABC\) est donc rectangle isocèle en \(C\). ∎

II) 3) a) Affixe de \(D\)

La translation de vecteur \(\overrightarrow{CA}\) envoie \(B\) sur \(D\), donc \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CA}\), soit \(d-b=a-c\). Ainsi \[d=b+(a-c)=(2-i\sqrt5)+\sqrt5(1+i)=2+\sqrt5. ∎\]

II) 3) b) \(ADBC\) est un carré

De \(d-b=a-c\) on tire \(a+b=c+d\) : les segments \([AB]\) et \([DC]\) ont le même milieu (d'affixe \(\tfrac{a+b}{2}=2\)). Le quadrilatère \(ADBC\) a donc ses diagonales \([AB]\) et \([DC]\) qui se coupent en leur milieu : c'est un parallélogramme. Ensuite :

• \(|AB|=|a-b|=|2i\sqrt5|=2\sqrt5\) et \(|DC|=|d-c|=|(2+\sqrt5)-(2-\sqrt5)|=|2\sqrt5|=2\sqrt5\) : les diagonales sont égales (rectangle) ;
• \(a-b=2i\sqrt5\) est imaginaire pur et \(d-c=2\sqrt5\) est réel : les diagonales sont perpendiculaires (losange).

II) 4) a) \(x_n\,\overline{x_n}=1\)

\(x_n\,\overline{x_n}=|x_n|^{2}=\left|\dfrac{a}{3}\right|^{2n}=\left(\dfrac{|a|}{3}\right)^{2n}=\left(\dfrac{3}{3}\right)^{2n}=1\). ∎

II) 4) b) \(y_n+\overline{y_n}=1\) et partie réelle

Comme \(\overline{y_n}=\dfrac{1}{1-\overline{x_n}}\), \[y_n+\overline{y_n}=\frac{1}{1-x_n}+\frac{1}{1-\overline{x_n}}=\frac{(1-\overline{x_n})+(1-x_n)}{(1-x_n)(1-\overline{x_n})}=\frac{2-(x_n+\overline{x_n})}{1-(x_n+\overline{x_n})+x_n\overline{x_n}}.\] Or \(x_n\overline{x_n}=1\) (question 4a), donc le dénominateur vaut \(1-(x_n+\overline{x_n})+1=2-(x_n+\overline{x_n})\), égal au numérateur. D'où \(y_n+\overline{y_n}=1\).

Comme \(y_n+\overline{y_n}=2\,\mathrm{Re}(y_n)\), on obtient \(\boxed{\mathrm{Re}(y_n)=\dfrac12}\). ∎

1) Nombre de tirages

Le tirage étant successif et sans remise, l'ordre compte : le nombre de tirages est le nombre d'arrangements de \(3\) boules parmi \(8\) : \[\mathrm{Card}(\Omega)=A_8^{3}=8\times7\times6=336. ∎\]

2) \(p(A)\) : trois blanches

Le nombre de tirages ordonnés de \(3\) blanches parmi les \(4\) est \(A_4^{3}=4\times3\times2=24\). Donc \[p(A)=\frac{A_4^{3}}{A_8^{3}}=\frac{24}{336}=\frac{1}{14}. ∎\]

3) \(p(B)=\tfrac{5}{56}\)

« Trois boules de même couleur » = « trois blanches » ou « trois noires » (il n'y a qu'une verte, impossible d'en tirer trois). Donc \[\mathrm{Card}(B)=A_4^{3}+A_3^{3}=24+6=30,\qquad p(B)=\frac{30}{336}=\frac{5}{56}. ∎\]

4) \(p(C)\) : au moins deux couleurs différentes

L'événement contraire de \(C\) est « les trois boules sont de la même couleur », c'est-à-dire \(\overline C=B\). Donc \[p(C)=1-p(B)=1-\frac{5}{56}=\frac{51}{56}. ∎\]

Partie I — 1) a) Encadrement de \(\ln(1+x)\)

Sur \(]-1,+\infty[\), la lecture graphique montre que la courbe \((\mathcal C_g)\) est en dessous de \((\mathcal C_h)\), elle-même en dessous de la droite \(y=x\). Autrement dit \(g(x)\le h(x)\le x\), c'est-à-dire \[\frac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x. ∎\]

Partie I — 1) b) \((1+x)\ln(1+x)-x\ge0\)

De l'inégalité de gauche \(\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\), et comme \(1+x>0\) sur \(]-1,+\infty[\), on multiplie par \(1+x\) sans changer le sens : \[x\le(1+x)\ln(1+x)\ \Longrightarrow\ (1+x)\ln(1+x)-x\ge0. ∎\]

Partie I — 1) c) Inégalité sur \(\mathbb R\)

Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a \(e^{x}\in\,]0,+\infty[\,\subset\,]-1,+\infty[\). En appliquant 1)b) avec \(e^{x}\) à la place de \(x\) : \[(1+e^{x})\ln(1+e^{x})-e^{x}\ge0\ \Longrightarrow\ e^{x}-(1+e^{x})\ln(1+e^{x})\le0. ∎\]

Partie I — 2) a) \(0

Initialisation : \(u_0=1\) vérifie \(0Hérédité : supposons \(01>0\), donc \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}>0\) ; de plus \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}\le1\) car \(u_n\le1+u_n\). Ainsi \(0

Partie I — 2) b) \((u_n)\) décroissante

Pour tout \(n\), comme \(u_n>0\) : \[u_{n+1}-u_n=\frac{u_n}{1+u_n}-u_n=\frac{u_n-u_n(1+u_n)}{1+u_n}=\frac{-u_n^{2}}{1+u_n}<0.\] (On pouvait aussi invoquer 1)a) : \(\dfrac{x}{1+x}\le x\) pour \(x\ge0\), donc \(u_{n+1}=g(u_n)\le u_n\).) La suite \((u_n)\) est décroissante. ∎

Partie I — 2) c) Convergence

\((u_n)\) est décroissante et minorée par \(0\), donc elle est convergente. ∎

Partie I — 2) d) Limite

Soit \(\ell=\lim u_n\). Comme \(0

Partie II — 1) a) \(f(0)\) et signe de \(f\)

\(f(0)=e^{0}\ln(1+e^{0})=1\times\ln2=\ln2\). Pour tout \(x\), \(e^{-x}>0\), et comme \(e^{x}>0\) on a \(1+e^{x}>1\), donc \(\ln(1+e^{x})>0\). Le produit est strictement positif : \(f(x)>0\) pour tout \(x\). ∎

Partie II — 1) b) Limite en \(-\infty\)

Posons \(t=e^{x}\to0^{+}\) quand \(x\to-\infty\). Comme \(e^{-x}=\dfrac1t\), \[f(x)=\frac{\ln(1+t)}{t}\xrightarrow[t\to0^{+}]{}1\quad\Big(\text{car }\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1\Big).\] Donc \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=1\) : la droite \(y=1\) est asymptote horizontale à \((\mathcal C_f)\) au voisinage de \(-\infty\). ∎

Partie II — 1) c) Limite en \(+\infty\)

Pour \(x\to+\infty\), on écrit \(\ln(1+e^{x})=\ln\!\big(e^{x}(1+e^{-x})\big)=x+\ln(1+e^{-x})\), donc \[f(x)=e^{-x}\big(x+\ln(1+e^{-x})\big)=x\,e^{-x}+e^{-x}\ln(1+e^{-x}).\] Or \(x\,e^{-x}\to0\) (croissances comparées) et \(e^{-x}\ln(1+e^{-x})\to0\times0=0\). Donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\) : la droite \(y=0\) (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale au voisinage de \(+\infty\). ∎

Partie II — 2) a) Expression de \(f'\)

\(f=e^{-x}\ln(1+e^{x})\), produit de \(e^{-x}\) (dérivée \(-e^{-x}\)) et \(\ln(1+e^{x})\) (dérivée \(\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}\)) : \[f'(x)=-e^{-x}\ln(1+e^{x})+e^{-x}\cdot\frac{e^{x}}{1+e^{x}}=\frac{1}{1+e^{x}}-e^{-x}\ln(1+e^{x}). ∎\]

Partie II — 2) b) Forme factorisée de \(f'\)

On réduit au même dénominateur \(e^{x}(1+e^{x})\) : \[f'(x)=\frac{1}{1+e^{x}}-\frac{\ln(1+e^{x})}{e^{x}}=\frac{e^{x}-(1+e^{x})\ln(1+e^{x})}{e^{x}(1+e^{x})}. ∎\]

Partie II — 2) c) Stricte décroissance

Le dénominateur \(e^{x}(1+e^{x})>0\). D'après la question 1)c) de la Partie I, le numérateur \(e^{x}-(1+e^{x})\ln(1+e^{x})\le0\ ;\) l'égalité dans 1)b) n'a lieu qu'en \(0\), or \(e^{x}\neq0\) pour tout \(x\), donc le numérateur est strictement négatif. Ainsi \(f'(x)<0\) sur \(\mathbb R\) : \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R\). ∎

Partie II — 3) a) Tangente \((T)\) en \(0\)

\(f(0)=\ln2\) et \(f'(0)=\dfrac{1}{1+e^{0}}-e^{0}\ln(1+e^{0})=\dfrac12-\ln2\). L'équation de \((T)\) est \[y=f'(0)(x-0)+f(0)=\Big(\tfrac12-\ln2\Big)x+\ln2. ∎\]

Partie II — 3) b) \((T)\) passe par \(A\big(1,\tfrac12\big)\)

En \(x=1\) : \(y=\big(\tfrac12-\ln2\big)\cdot1+\ln2=\tfrac12-\ln2+\ln2=\tfrac12\). Donc \((T)\) passe par \(A\big(1,\tfrac12\big)\). ∎

Partie II — 3) c) Construction

Éléments de tracé : \(f(0)=\ln2\approx0{,}7\), pente de \((T)\) égale à \(\tfrac12-\ln2\approx-0{,}2\) (droite décroissante passant par \((0;0{,}7)\) et \(A(1;0{,}5)\)) ; \(f\) est strictement décroissante ; asymptotes horizontales \(y=1\) en \(-\infty\) et \(y=0\) en \(+\infty\). La courbe \((\mathcal C_f)\), toujours strictement comprise entre \(0\) et \(1\), descend de la valeur \(1\) (exclue) vers \(0\) (exclue) en traversant \((0,\ln2)\).

Partie II — 4) a) Fonction réciproque

\(f\) est continue et strictement décroissante sur \(\mathbb R\) : elle réalise une bijection de \(\mathbb R\) sur \(J=f(\mathbb R)\). Comme \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=1\) et \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=0\) (limites non atteintes), on a \(J=\,]0,1[\). Donc \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}:\,]0,1[\to\mathbb R\). ∎

Partie II — 4) b) Dérivabilité de \(f^{-1}\) en \(\ln2\)

On a \(f(0)=\ln2\), donc \(f^{-1}(\ln2)=0\). \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'(0)=\dfrac12-\ln2\neq0\) (car \(\ln2\approx0{,}69\neq0{,}5\)), donc \(f^{-1}\) est dérivable en \(\ln2\) et \[\big(f^{-1}\big)'(\ln2)=\frac{1}{f'\big(f^{-1}(\ln2)\big)}=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{\tfrac12-\ln2}=\frac{2}{1-2\ln2}. ∎\]

Partie II — 5) a) Identité algébrique

En multipliant haut et bas par \(e^{x}\) : \(\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}=\dfrac{e^{-x}\cdot e^{x}}{(1+e^{-x})e^{x}}=\dfrac{1}{e^{x}+1}=\dfrac{1}{1+e^{x}}\). ∎

Partie II — 5) b) Calcul de l'intégrale

D'après 5)a), \(\dfrac{1}{1+e^{x}}=\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\). Comme \(\big(\ln(1+e^{-x})\big)'=\dfrac{-e^{-x}}{1+e^{-x}}\), une primitive de \(\dfrac{1}{1+e^{x}}\) est \(-\ln(1+e^{-x})\). Donc \[\int_0^{\lambda}\frac{dx}{1+e^{x}}=\big[-\ln(1+e^{-x})\big]_0^{\lambda}=-\ln(1+e^{-\lambda})+\ln(1+e^{0})=\ln2-\ln(1+e^{-\lambda}). ∎\]

Partie II — 5) c) Relation intégrale

De 2)a), \(f'(x)=\dfrac{1}{1+e^{x}}-f(x)\), donc \(f(x)=\dfrac{1}{1+e^{x}}-f'(x)\). En intégrant de \(0\) à \(\lambda\) : \[\int_0^{\lambda}f(x)\,dx=\int_0^{\lambda}\frac{dx}{1+e^{x}}-\big[f(x)\big]_0^{\lambda}=\int_0^{\lambda}\frac{dx}{1+e^{x}}-\big(f(\lambda)-f(0)\big).\] Comme \(f(0)=\ln2\), on obtient \(\displaystyle\int_0^{\lambda}f(x)\,dx=\ln2-f(\lambda)+\int_0^{\lambda}\frac{dx}{1+e^{x}}\). ∎

Partie II — 5) d) Aire \(A_\lambda\)

Sur \([0,\lambda]\), \(f(x)>0\), donc l'aire (en unités d'aire) est \(A_\lambda=\displaystyle\int_0^{\lambda}f(x)\,dx\). En combinant 5)c) et 5)b) : \[A_\lambda=\ln2-f(\lambda)+\big(\ln2-\ln(1+e^{-\lambda})\big)=2\ln2-f(\lambda)-\ln(1+e^{-\lambda}).\] Avec \(f(\lambda)=e^{-\lambda}\ln(1+e^{\lambda})\) : \[\boxed{A_\lambda=\Big[\,2\ln2-e^{-\lambda}\ln(1+e^{\lambda})-\ln(1+e^{-\lambda})\,\Big]\ \text{u.a.}} ∎\]

Partie II — 5) e) Limite de \(A_\lambda\)

Quand \(\lambda\to+\infty\) : \(f(\lambda)\to0\) (question 1c) et \(\ln(1+e^{-\lambda})\to\ln1=0\). Donc \[\lim_{\lambda\to+\infty}A_\lambda=2\ln2\ \text{u.a.} ∎\]