2ᵉ Bac · Sciences Expérimentales · Examen national de mathématiques
2025 — Session de rattrapage
Télécharger le sujet officiel (PDF) ↗Corrigé détaillé de l'examen national de mathématiques — 2ᵉ Bac Sciences Expérimentales (PC & SVT), session de rattrapage 2025. L'épreuve (durée 3 h, coefficient 7) comporte quatre exercices et un problème indépendants : suites numériques (récurrence, encadrement, vitesse de convergence), géométrie dans l'espace (sphère tangente à deux plans parallèles), nombres complexes (module-argument, triangle isocèle rectangle, rotation), probabilités (jeu, probabilité conditionnelle), puis un problème d'analyse de 8 points : étude complète de \(f(x)=x-1+\dfrac{4}{e^{x}+2}\) (asymptotes obliques, monotonie, point d'inflexion, aire). Chaque question est reprise puis résolue pas à pas. Le sujet officiel est téléchargeable en haut de page.
Exercice 1 · Suites numériques (3 points)
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=\dfrac32\) et \(u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{2+u_n}\), pour tout entier naturel \(n\).
1) a) Vérifier que \(u_{n+1}=3-\dfrac{4}{2+u_n}\).
b) Montrer par récurrence que \(0\lt u_n\lt2\) pour tout \(n\).
2) a) Montrer que \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{(1+u_n)(2-u_n)}{2+u_n}\).
b) Montrer que \((u_n)\) est croissante et en déduire qu'elle est convergente.
c) Montrer que \(0\lt 2-u_{n+1}\le\dfrac27(2-u_n)\) pour tout \(n\).
d) En déduire que \(0\lt 2-u_n\le\dfrac12\Big(\dfrac27\Big)^{n}\) pour tout \(n\).
e) Déterminer la limite de \((u_n)\).
Voir la solution
1) a) Forme réduite de \(u_{n+1}\)
\(3-\dfrac{4}{2+u_n}=\dfrac{3(2+u_n)-4}{2+u_n}=\dfrac{6+3u_n-4}{2+u_n}=\dfrac{3u_n+2}{2+u_n}=u_{n+1}\). ∎
1) b) Encadrement \(0\lt u_n\lt2\)
Initialisation : \(u_0=\tfrac32\), donc \(0\lt u_0\lt2\). Hérédité : supposons \(0\lt u_n\lt2\). Alors \(2\lt2+u_n\lt4\), donc \(\tfrac14\lt\dfrac{1}{2+u_n}\lt\tfrac12\), puis \(1\lt\dfrac{4}{2+u_n}\lt2\), d'où \(-2\lt-\dfrac{4}{2+u_n}\lt-1\), et en ajoutant \(3\) : \[1\lt 3-\frac{4}{2+u_n}\lt2,\quad\text{soit}\quad 1\lt u_{n+1}\lt2.\] A fortiori \(0\lt u_{n+1}\lt2\). Par récurrence, \(0\lt u_n\lt2\) pour tout \(n\). ∎
2) a) Différence \(u_{n+1}-u_n\)
\[u_{n+1}-u_n=\frac{3u_n+2}{2+u_n}-u_n=\frac{3u_n+2-u_n(2+u_n)}{2+u_n}=\frac{-u_n^{2}+u_n+2}{2+u_n}.\] Or \(-u_n^{2}+u_n+2=-(u_n^{2}-u_n-2)=-(u_n-2)(u_n+1)=(2-u_n)(1+u_n)\), d'où \[u_{n+1}-u_n=\frac{(1+u_n)(2-u_n)}{2+u_n}. ∎\]
2) b) Monotonie et convergence
Comme \(0\lt u_n\lt2\), les trois facteurs \(1+u_n\), \(2-u_n\), \(2+u_n\) sont strictement positifs, donc \(u_{n+1}-u_n\gt0\) : \((u_n)\) est strictement croissante. Étant croissante et majorée par \(2\), elle est convergente. ∎
2) c) Inégalité de contraction
\[2-u_{n+1}=2-\Big(3-\frac{4}{2+u_n}\Big)=-1+\frac{4}{2+u_n}=\frac{-(2+u_n)+4}{2+u_n}=\frac{2-u_n}{2+u_n}.\] Comme \(0\lt u_n\lt2\), on a \(2-u_n\gt0\), donc \(2-u_{n+1}\gt0\). De plus \((u_n)\) est croissante avec \(u_0=\tfrac32\), donc \(u_n\ge\tfrac32\) et \(2+u_n\ge\tfrac72\), d'où \(\dfrac{1}{2+u_n}\le\dfrac27\). Ainsi \[2-u_{n+1}=(2-u_n)\cdot\frac{1}{2+u_n}\le\frac27(2-u_n). ∎\]
2) d) Encadrement explicite
On applique l'inégalité de 2)c) de proche en proche : \[0\lt 2-u_n\le\frac27(2-u_{n-1})\le\Big(\frac27\Big)^{2}(2-u_{n-2})\le\cdots\le\Big(\frac27\Big)^{n}(2-u_0).\] Or \(2-u_0=2-\tfrac32=\tfrac12\), d'où \(0\lt 2-u_n\le\dfrac12\Big(\dfrac27\Big)^{n}\). ∎
2) e) Limite
Comme \(0\lt\dfrac27\lt1\), \(\Big(\dfrac27\Big)^{n}\to0\), donc \(\dfrac12\Big(\dfrac27\Big)^{n}\to0\). Par le théorème des gendarmes, \(2-u_n\to0\), c'est-à-dire \(\boxed{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=2}\). ∎
Exercice 2 · Géométrie dans l'espace (3 points)
L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\). On considère les points \(A(0,3,3)\), \(B(1,2,1)\), \(C(2,3,1)\), le vecteur \(\vec n(1,-1,1)\) et le plan \((P):x-y+z-6=0\).
1) a) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=2\vec n\) et en déduire que \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés.
b) Montrer que les plans \((ABC)\) et \((P)\) sont parallèles.
2) Soit \((S)\) la sphère telle que le plan \((ABC)\) est tangent à \((S)\) en \(A\) et le plan \((P)\) est tangent à \((S)\) en un point \(H\).
a) Calculer la distance de \(A\) au plan \((P)\) et en déduire que le rayon de \((S)\) est \(\sqrt3\).
b) Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(A\) et orthogonale à \((P)\).
c) Montrer que les coordonnées de \(H\) sont \((2,1,5)\).
d) Montrer que \(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y-8z+18=0\) est une équation cartésienne de \((S)\).
3) Déterminer les deux points d'intersection de la droite \((BH)\) et la sphère \((S)\).
Voir la solution
1) a) Produit vectoriel et non-alignement
\(\overrightarrow{AB}=(1,-1,-2)\) et \(\overrightarrow{AC}=(2,0,-2)\), donc \[\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}(-1)(-2)-(-2)(0)\\(-2)(2)-(1)(-2)\\(1)(0)-(-1)(2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}=2(1,-1,1)=2\vec n.\] Comme \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=2\vec n\ne\vec0\), les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires : \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés. ∎
1) b) Parallélisme des plans
Un vecteur normal à \((ABC)\) est \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=2\vec n\), colinéaire au vecteur normal \(\vec n=(1,-1,1)\) de \((P)\). Les deux plans ont donc des normales colinéaires : ils sont parallèles. De plus \(A(0,3,3)\) vérifie \(0-3+3-6=-6\ne0\), donc \(A\notin(P)\) : les plans sont strictement parallèles. ∎
2) a) Distance et rayon
\[d\big(A,(P)\big)=\frac{|0-3+3-6|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}}=\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3.\] La sphère \((S)\) est tangente en \(A\) au plan \((ABC)\) et tangente en \(H\) au plan \((P)\), ces deux plans étant parallèles. La distance entre les deux plans tangents vaut donc le diamètre : \(2R=d\big(A,(P)\big)=2\sqrt3\), d'où \(R=\sqrt3\). ∎
2) b) Droite \((\Delta)\)
\((\Delta)\) passe par \(A(0,3,3)\) et est dirigée par le vecteur normal \(\vec n=(1,-1,1)\) de \((P)\) : \[(\Delta):\ \begin{cases}x=t\\ y=3-t\\ z=3+t\end{cases}\quad(t\in\mathbb R). ∎\]
2) c) Coordonnées de \(H\)
\(H\) est le point d'intersection de \((\Delta)\) et de \((P)\). En reportant \((t,3-t,3+t)\) dans \(x-y+z-6=0\) : \[t-(3-t)+(3+t)-6=0\ \Longrightarrow\ 3t-6=0\ \Longrightarrow\ t=2.\] Donc \(H=(2,\,3-2,\,3+2)=(2,1,5)\). ∎
2) d) Équation de la sphère
Le centre \(\Omega\) de \((S)\) est sur \((\Delta)\), à égale distance \(R\) des deux plans tangents : c'est le milieu de \([AH]\). Donc \(\Omega\big(\tfrac{0+2}{2},\tfrac{3+1}{2},\tfrac{3+5}{2}\big)=(1,2,4)\), et \(R=\Omega A=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt3\) ✓. La sphère a pour équation \((x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-4)^{2}=3\), soit en développant : \[x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y-8z+(1+4+16-3)=0\ \Longrightarrow\ x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y-8z+18=0. ∎\]
3) Intersection de \((BH)\) avec \((S)\)
\(\overrightarrow{BH}=H-B=(1,-1,4)\). On paramètre \((BH)\) par \(M=(1+s,\,2-s,\,1+4s)\), \(s\in\mathbb R\), et on reporte dans \((x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-4)^{2}=3\) : \[s^{2}+(-s)^{2}+(4s-3)^{2}=3\ \Longrightarrow\ 18s^{2}-24s+6=0\ \Longrightarrow\ 3s^{2}-4s+1=0.\] \(\Delta=16-12=4\), donc \(s=\dfrac{4\pm2}{6}\) : \(s=1\) ou \(s=\dfrac13\).
Exercice 3 · Nombres complexes (3,5 points)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) d'affixes respectives \[a=\frac{-\sqrt3+i}{2},\quad b=\frac{1-i\sqrt3}{2},\quad c=1+a,\quad d=\bar c.\]
1) Vérifier que \(|a|=1\) et que \(\arg(a)\equiv\dfrac{5\pi}{6}\ [2\pi]\).
2) Vérifier que \(\dfrac{c-d}{c-a}=i\) et en déduire que le triangle \(ACD\) est isocèle rectangle en \(C\).
3) a) Montrer que \(d-a=1-i\) et que \(b-d=\dfrac{\sqrt3-1}{2}(1-i)\).
b) En déduire que les points \(A\), \(D\), \(B\) sont alignés.
4) Soit \(R\) la transformation qui à tout point \(M\) d'affixe \(z\) associe \(M'\) d'affixe \(z'=az\).
a) Vérifier que \(R\) est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.
b) Vérifier que \(ad=c\) et en déduire que \(R(D)=C\).
c) Montrer que \(\arg(c)\equiv\dfrac{5\pi}{12}\ [2\pi]\).
Voir la solution
1) Module et argument de \(a\)
\(a=-\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12 i\), donc \(|a|=\sqrt{\tfrac34+\tfrac14}=\sqrt1=1\). De plus \(\cos\theta=-\dfrac{\sqrt3}{2}\) et \(\sin\theta=\dfrac12\) correspondent à \(\theta=\dfrac{5\pi}{6}\). Ainsi \(a=e^{i\frac{5\pi}{6}}\) et \(\arg(a)\equiv\dfrac{5\pi}{6}\ [2\pi]\). ∎
2) \(\dfrac{c-d}{c-a}=i\) et nature de \(ACD\)
\(c=1+a=\dfrac{2-\sqrt3}{2}+\dfrac12 i\) et \(d=\bar c=\dfrac{2-\sqrt3}{2}-\dfrac12 i\). Donc \(c-d=i\) et \(c-a=(1+a)-a=1\), d'où \(\dfrac{c-d}{c-a}=\dfrac{i}{1}=i\).
On a \(\dfrac{c-d}{c-a}=\dfrac{d-c}{a-c}\), rapport des vecteurs \(\overrightarrow{CD}\) et \(\overrightarrow{CA}\). Comme il vaut \(i\) : \(\left|\dfrac{d-c}{a-c}\right|=\dfrac{CD}{CA}=1\) donc \(CD=CA\), et \(\arg(i)=\dfrac{\pi}{2}\) donne \(\big(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CD}\big)\equiv\dfrac{\pi}{2}\). Le triangle \(ACD\) est isocèle rectangle en \(C\). ∎
3) a) Calcul de \(d-a\) et \(b-d\)
\(d=\bar c=1+\bar a\) avec \(\bar a=-\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac12 i\), donc \(d=\dfrac{2-\sqrt3}{2}-\dfrac12 i\). Alors \[d-a=\Big(\tfrac{2-\sqrt3}{2}-\tfrac12 i\Big)-\Big(-\tfrac{\sqrt3}{2}+\tfrac12 i\Big)=\frac{2-\sqrt3+\sqrt3}{2}-i=1-i.\] Ensuite, avec \(b=\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i\) : \[b-d=\Big(\tfrac12-\tfrac{\sqrt3}{2}i\Big)-\Big(\tfrac{2-\sqrt3}{2}-\tfrac12 i\Big)=\frac{\sqrt3-1}{2}+\frac{1-\sqrt3}{2}i=\frac{\sqrt3-1}{2}(1-i). ∎\]
3) b) Alignement de \(A\), \(D\), \(B\)
De 3)a), \(b-d=\dfrac{\sqrt3-1}{2}(1-i)=\dfrac{\sqrt3-1}{2}(d-a)\). Le vecteur \(\overrightarrow{DB}\) (affixe \(b-d\)) est un multiple réel du vecteur \(\overrightarrow{AD}\) (affixe \(d-a\)), donc \(\overrightarrow{DB}\) et \(\overrightarrow{AD}\) sont colinéaires : les points \(A\), \(D\), \(B\) sont alignés. ∎
4) a) \(R\) est une rotation
\(z'=az\) s'écrit \(z'-0=a(z-0)\) avec \(|a|=1\) et \(a\ne1\). C'est l'écriture complexe d'une rotation de centre \(O\) (point fixe, d'affixe \(0\)) et d'angle \(\arg(a)=\dfrac{5\pi}{6}\). ∎
4) b) \(ad=c\) et \(R(D)=C\)
\[ad=\frac{-\sqrt3+i}{2}\cdot\frac{2-\sqrt3-i}{2}=\frac14(-\sqrt3+i)(2-\sqrt3-i)=\frac14\big[(4-2\sqrt3)+2i\big]=\frac{2-\sqrt3}{2}+\frac12 i=c.\] Donc l'image de \(D\) par \(R\) a pour affixe \(a\,d=c\), qui est l'affixe de \(C\) : \(R(D)=C\). ∎
4) c) \(\arg(c)\)
De \(c=ad\) : \(\arg(c)\equiv\arg(a)+\arg(d)\ [2\pi]\). Or \(d=\bar c\), donc \(\arg(d)\equiv-\arg(c)\). Il vient \[\arg(c)\equiv\arg(a)-\arg(c)\ \Longrightarrow\ 2\arg(c)\equiv\frac{5\pi}{6}\ [2\pi]\ \Longrightarrow\ \arg(c)\equiv\frac{5\pi}{12}\ [\pi].\] Comme \(c=\dfrac{2-\sqrt3}{2}+\dfrac12 i\) a une partie réelle \(\gt0\) et une partie imaginaire \(\gt0\), on a \(\arg(c)\in\,\big]0,\tfrac{\pi}{2}\big[\), d'où \(\arg(c)\equiv\dfrac{5\pi}{12}\ [2\pi]\). ∎
Exercice 4 · Calcul des probabilités (2,5 points)
Un sac contient \(4\) boules blanches et \(3\) boules noires, indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise deux boules du sac. Règles : deux blanches → \(+5\) ; deux noires → \(-5\) ; deux couleurs différentes → \(0\). On considère les événements :
- \(G\) : « noter \(+5\) » ;
- \(Z\) : « noter \(0\) » ;
- \(N_1\) : « la première boule tirée est noire » ;
- \(B_2\) : « la deuxième boule tirée est blanche ».
1) a) Calculer \(p(G)\).
b) Montrer que \(p(Z)=\dfrac47\).
2) a) Calculer \(p(N_1\cap B_2)\).
b) Montrer que \(p(B_2)=\dfrac47\).
c) En déduire la probabilité de « noter \(0\) » sachant que la deuxième boule tirée est blanche.
Voir la solution
Mise en place
Le tirage est successif et sans remise : le nombre de tirages ordonnés de \(2\) boules parmi \(7\) est \(A_7^{2}=7\times6=42\).
1) a) \(p(G)\)
\(G\) : deux boules blanches successives : \(p(G)=\dfrac47\times\dfrac36=\dfrac{12}{42}=\dfrac27\). ∎
1) b) \(p(Z)=\tfrac47\)
\(Z\) : couleurs différentes = (blanche puis noire) ou (noire puis blanche) : \[p(Z)=\frac47\times\frac36+\frac37\times\frac46=\frac{12}{42}+\frac{12}{42}=\frac{24}{42}=\frac47. ∎\]
2) a) \(p(N_1\cap B_2)\)
Première noire puis deuxième blanche : \(p(N_1\cap B_2)=\dfrac37\times\dfrac46=\dfrac{12}{42}=\dfrac27\). ∎
2) b) \(p(B_2)=\tfrac47\)
La deuxième boule est blanche selon la couleur de la première : \[p(B_2)=\underbrace{\frac47\times\frac36}_{\text{1\({}^{\text{re}}\) blanche}}+\underbrace{\frac37\times\frac46}_{\text{1\({}^{\text{re}}\) noire}}=\frac{12}{42}+\frac{12}{42}=\frac{24}{42}=\frac47. ∎\]
2) c) Probabilité conditionnelle
« Noter \(0\) » avec deuxième boule blanche signifie première noire et deuxième blanche, soit \(Z\cap B_2=N_1\cap B_2\). Donc \[p_{B_2}(Z)=\frac{p(Z\cap B_2)}{p(B_2)}=\frac{p(N_1\cap B_2)}{p(B_2)}=\frac{2/7}{4/7}=\frac12. ∎\]
Problème · Étude de \(f(x)=x-1+\dfrac{4}{e^{x}+2}\) (8 points)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=x-1+\dfrac{4}{e^{x}+2}\), de courbe \((\mathcal C_f)\) dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\).
1) Calculer \(f(0)\) et \(f(\ln2)\).
2) a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\).
b) Vérifier que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-(x-1)\big)=0\) puis interpréter géométriquement.
3) a) Vérifier que pour tout \(x\in\mathbb R\), \(f(x)=x+1-\dfrac{2e^{x}}{e^{x}+2}\).
b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{e^{x}}{e^{x}+2}\) puis en déduire que \(y=x+1\) est asymptote oblique à \((\mathcal C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).
c) Montrer que pour tout \(x\in\mathbb R\), \(-1\lt f(x)-x\lt1\).
4) a) Montrer que pour tout \(x\in\mathbb R\), \(f'(x)=\dfrac{e^{2x}+4}{(e^{x}+2)^{2}}\).
b) En déduire que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
5) a) Montrer que pour tout \(m\in\mathbb R\), l'équation \(f(x)=m\) admet une unique solution dans \(\mathbb R\).
b) Soit \(\alpha\) l'unique solution de \(f(x)=0\). Vérifier que \(-1\lt\alpha\lt0\) et montrer que \(e^{\alpha}=\dfrac{2(1+\alpha)}{1-\alpha}\).
6) a) Montrer que pour tout \(x\in\mathbb R\), \(f''(x)=\dfrac{4e^{x}(e^{x}-2)}{(e^{x}+2)^{2}}\).
b) Étudier le signe de \(e^{x}-2\) sur \(\mathbb R\).
c) En déduire que \((\mathcal C_f)\) admet un point d'inflexion que l'on déterminera.
d) Montrer que \(y=\dfrac12 x+\dfrac{\ln2}{2}\) est l'équation de la tangente à \((\mathcal C_f)\) au point d'abscisse \(\ln2\).
7) Construire la courbe \((\mathcal C_f)\).
8) a) Montrer que \(\displaystyle\int_0^{\ln2}\dfrac{1}{e^{x}+2}\,dx=\dfrac12\ln\Big(\dfrac32\Big)\).
b) Calculer, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par \((\mathcal C_f)\), la droite \(y=x-1\), l'axe des ordonnées et la droite \(x=\ln2\).
Voir la solution
1) Valeurs \(f(0)\) et \(f(\ln2)\)
\(f(0)=0-1+\dfrac{4}{e^{0}+2}=-1+\dfrac43=\dfrac13\). \(f(\ln2)=\ln2-1+\dfrac{4}{e^{\ln2}+2}=\ln2-1+\dfrac{4}{4}=\ln2\). ∎
2) a) Limites de \(f\)
En \(+\infty\) : \(e^{x}\to+\infty\), donc \(\dfrac{4}{e^{x}+2}\to0\) et \(f(x)=x-1+\dfrac{4}{e^{x}+2}\to+\infty\).
En \(-\infty\) : \(e^{x}\to0\), donc \(\dfrac{4}{e^{x}+2}\to\dfrac42=2\) et \(f(x)\to x-1+2=x+1\to-\infty\). ∎
2) b) Asymptote en \(+\infty\)
\(f(x)-(x-1)=\dfrac{4}{e^{x}+2}\to0\) quand \(x\to+\infty\). Donc la droite \(y=x-1\) est asymptote oblique à \((\mathcal C_f)\) au voisinage de \(+\infty\). ∎
3) a) Autre écriture de \(f\)
On vérifie que la différence est nulle : \[\Big(x-1+\frac{4}{e^{x}+2}\Big)-\Big(x+1-\frac{2e^{x}}{e^{x}+2}\Big)=-2+\frac{4+2e^{x}}{e^{x}+2}=-2+\frac{2(e^{x}+2)}{e^{x}+2}=-2+2=0.\] Donc \(f(x)=x+1-\dfrac{2e^{x}}{e^{x}+2}\). ∎
3) b) Asymptote en \(-\infty\)
En \(-\infty\), \(e^{x}\to0\), donc \(\dfrac{e^{x}}{e^{x}+2}\to\dfrac{0}{2}=0\). Ainsi \(f(x)-(x+1)=-\dfrac{2e^{x}}{e^{x}+2}\to0\) : la droite \(y=x+1\) est asymptote oblique à \((\mathcal C_f)\) au voisinage de \(-\infty\). ∎
3) c) Encadrement \(-1\lt f(x)-x\lt1\)
\(f(x)-x=-1+\dfrac{4}{e^{x}+2}\). Comme \(e^{x}\gt0\), on a \(e^{x}+2\gt2\), donc \(0\lt\dfrac{4}{e^{x}+2}\lt2\). En retranchant \(1\) : \[-1\lt-1+\frac{4}{e^{x}+2}\lt1,\quad\text{soit}\quad -1\lt f(x)-x\lt1. ∎\]
4) a) Dérivée
\(f'(x)=1+4\cdot\Big(-\dfrac{e^{x}}{(e^{x}+2)^{2}}\Big)=1-\dfrac{4e^{x}}{(e^{x}+2)^{2}}=\dfrac{(e^{x}+2)^{2}-4e^{x}}{(e^{x}+2)^{2}}\). Or \((e^{x}+2)^{2}-4e^{x}=e^{2x}+4e^{x}+4-4e^{x}=e^{2x}+4\), d'où \[f'(x)=\frac{e^{2x}+4}{(e^{x}+2)^{2}}. ∎\]
4) b) Monotonie
Pour tout \(x\), \(e^{2x}+4\gt0\) et \((e^{x}+2)^{2}\gt0\), donc \(f'(x)\gt0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\). ∎
5) a) Unicité de la solution de \(f(x)=m\)
\(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb R\), avec \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\) : elle réalise une bijection de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\). Pour tout \(m\in\mathbb R\), l'équation \(f(x)=m\) admet donc une unique solution. ∎
5) b) Encadrement de \(\alpha\) et relation sur \(e^{\alpha}\)
\(f(-1)=-2+\dfrac{4}{e^{-1}+2}\approx-2+1{,}69=-0{,}31\lt0\) et \(f(0)=\dfrac13\gt0\). Comme \(f(-1)\lt0\lt f(0)\) et que \(f\) est strictement croissante, \(-1\lt\alpha\lt0\).
De \(f(\alpha)=0\) : \(\alpha-1+\dfrac{4}{e^{\alpha}+2}=0\Rightarrow\dfrac{4}{e^{\alpha}+2}=1-\alpha\Rightarrow e^{\alpha}+2=\dfrac{4}{1-\alpha}\) (licite car \(1-\alpha\gt0\)), d'où \[e^{\alpha}=\frac{4}{1-\alpha}-2=\frac{4-2(1-\alpha)}{1-\alpha}=\frac{2+2\alpha}{1-\alpha}=\frac{2(1+\alpha)}{1-\alpha}. ∎\]
6) a) Dérivée seconde
On dérive \(f'(x)=\dfrac{e^{2x}+4}{(e^{x}+2)^{2}}\) (numérateur \(u=e^{2x}+4\), \(u'=2e^{2x}\) ; dénominateur \(v=(e^{x}+2)^{2}\), \(v'=2e^{x}(e^{x}+2)\)). En factorisant \(2e^{x}(e^{x}+2)\) au numérateur : \[f''(x)=\frac{2e^{2x}(e^{x}+2)^{2}-(e^{2x}+4)\cdot2e^{x}(e^{x}+2)}{(e^{x}+2)^{4}}=\frac{2e^{x}\big[e^{x}(e^{x}+2)-(e^{2x}+4)\big]}{(e^{x}+2)^{3}}=\frac{4e^{x}(e^{x}-2)}{(e^{x}+2)^{3}}.\]
6) b) Signe de \(e^{x}-2\)
\(e^{x}-2=0\Leftrightarrow e^{x}=2\Leftrightarrow x=\ln2\). Par croissance de \(\exp\) : \(e^{x}-2\lt0\) pour \(x\lt\ln2\), et \(e^{x}-2\gt0\) pour \(x\gt\ln2\). ∎
6) c) Point d'inflexion
Comme \(4e^{x}\gt0\) et \((e^{x}+2)^{3}\gt0\), le signe de \(f''(x)\) est celui de \(e^{x}-2\) : \(f''\lt0\) sur \(]-\infty,\ln2[\) et \(f''\gt0\) sur \(]\ln2,+\infty[\). \(f''\) s'annule en changeant de signe en \(x=\ln2\) : \((\mathcal C_f)\) admet un point d'inflexion \(I(\ln2,\ln2)\) (car \(f(\ln2)=\ln2\)). ∎
6) d) Tangente au point d'abscisse \(\ln2\)
\(f'(\ln2)=\dfrac{e^{2\ln2}+4}{(e^{\ln2}+2)^{2}}=\dfrac{4+4}{(2+2)^{2}}=\dfrac{8}{16}=\dfrac12\) et \(f(\ln2)=\ln2\). La tangente en \(\ln2\) est \[y=\frac12(x-\ln2)+\ln2=\frac12 x-\frac{\ln2}{2}+\ln2=\frac12 x+\frac{\ln2}{2}. ∎\]
7) Construction de \((\mathcal C_f)\)
Éléments de tracé : \(f\) strictement croissante sur \(\mathbb R\) ; asymptote oblique \(y=x+1\) en \(-\infty\) et \(y=x-1\) en \(+\infty\), la courbe restant strictement entre ces deux droites parallèles (d'après 3c, \(-1\lt f(x)-x\lt1\)) ; point d'inflexion \(I(\ln2,\ln2)\) où la tangente a pour équation \(y=\tfrac12 x+\tfrac{\ln2}{2}\) ; points repères \(f(0)=\tfrac13\) et \(f(\ln2)=\ln2\approx0{,}69\). La courbe traverse sa tangente d'inflexion en \(I\), concave avant \(\ln2\) et convexe après.
8) a) Calcul de l'intégrale
On écrit \(\dfrac{1}{e^{x}+2}=\dfrac12\cdot\dfrac{(e^{x}+2)-e^{x}}{e^{x}+2}=\dfrac12\Big(1-\dfrac{e^{x}}{e^{x}+2}\Big)\). Comme \(\big(\ln(e^{x}+2)\big)'=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+2}\) : \[\int_0^{\ln2}\frac{dx}{e^{x}+2}=\frac12\Big[x-\ln(e^{x}+2)\Big]_0^{\ln2}=\frac12\Big[\big(\ln2-\ln4\big)-\big(0-\ln3\big)\Big].\] Or \(\ln2-\ln4=\ln2-2\ln2=-\ln2\), donc le crochet vaut \(-\ln2+\ln3=\ln\dfrac32\, ;\) d'où \(\displaystyle\int_0^{\ln2}\frac{dx}{e^{x}+2}=\frac12\ln\Big(\frac32\Big)\). ∎
8) b) Aire
Sur \([0,\ln2]\), \(f(x)-(x-1)=\dfrac{4}{e^{x}+2}\gt0\) : la courbe \((\mathcal C_f)\) est au-dessus de la droite \(y=x-1\). L'aire cherchée (entre \(x=0\) et \(x=\ln2\)) est \[\mathcal A=\int_0^{\ln2}\big[f(x)-(x-1)\big]\,dx=\int_0^{\ln2}\frac{4}{e^{x}+2}\,dx=4\times\frac12\ln\Big(\frac32\Big)=2\ln\Big(\frac32\Big).\] L'aire vaut \(\boxed{2\ln\big(\tfrac32\big)}\) unités d'aire (\(\approx0{,}81\) u.a.). ∎
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