2ᵉ Bac · Sciences Expérimentales · Examen national de mathématiques
2025 — Session normale
Télécharger le sujet officiel (PDF) ↗Corrigé détaillé de l'examen national de mathématiques — 2ᵉ Bac Sciences Expérimentales (PC & SVT), session normale 2025. L'épreuve (durée 3 h, coefficient 7) comporte trois exercices et un problème indépendants : géométrie dans l'espace (sphère, section plane, produit vectoriel, rayon du cercle d'intersection), nombres complexes (équation, cercle circonscrit, perpendicularité, homothétie, alignement), probabilités (tirage simultané, indépendance, loi binomiale), puis un problème d'analyse de 11 points en trois parties : encadrement et intégrales de \(\ln\), étude complète de \(f(x)=x-\dfrac{(\ln x)^2}{x}\) (asymptotes, monotonie, réciproque) et une suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\). Chaque question est reprise puis résolue pas à pas. Le sujet officiel est téléchargeable en haut de page.
Exercice 1 · Géométrie dans l'espace (3 points)
L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\). On considère les points \(A(0,0,2)\), \(B(2,0,0)\) et la sphère \((S)\) de centre \(O\) et de rayon \(R=2\).
1) a) Déterminer l'équation cartésienne de la sphère \((S)\).
b) Vérifier que les points \(A\) et \(B\) appartiennent à la sphère \((S)\).
2) Soit \(I\) le milieu du segment \([AB]\).
a) Déterminer l'intersection du plan \((OAB)\) avec la sphère \((S)\).
b) Vérifier que \(\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{AB}=0\), puis montrer que \(d\big(O,(AB)\big)=\sqrt2\).
3) On considère un point \(M(0,m,0)\) de l'espace, où \(m\in\mathbb R\).
a) Vérifier que \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AM}=2m\,\vec i+4\,\vec j+2m\,\vec k\).
b) En déduire que \(mx+2y+mz-2m=0\) est une équation cartésienne du plan \((ABM)\).
c) Montrer que \(d\big(O,(ABM)\big)=\dfrac{2|m|}{\sqrt{4+2m^{2}}}\).
4) Le plan \((ABM)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma_m)\) de rayon \(r\). Montrer que \(r=\sqrt{2+\dfrac{4}{2+m^{2}}}\) et en déduire que \(\sqrt2\lt r\le 2\), pour tout \(m\in\mathbb R\).
Voir la solution
1) a) Équation de \((S)\)
La sphère de centre \(O(0,0,0)\) et de rayon \(R=2\) a pour équation \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\). ∎
1) b) \(A,B\in(S)\)
\(A(0,0,2)\) : \(0^{2}+0^{2}+2^{2}=4\) ✓. \(B(2,0,0)\) : \(2^{2}+0^{2}+0^{2}=4\) ✓. Donc \(A\) et \(B\) appartiennent à \((S)\). ∎
2) a) Intersection de \((OAB)\) avec \((S)\)
Les vecteurs \(\overrightarrow{OA}=(0,0,2)\) et \(\overrightarrow{OB}=(2,0,0)\) dirigent le plan \((OAB)\) ; un vecteur normal est \(\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}=(0,4,0)\), colinéaire à \(\vec j\). Comme le plan passe par \(O\), son équation est \(y=0\).
Ce plan contient le centre \(O\) de \((S)\) : il coupe donc la sphère suivant un grand cercle, de centre \(O\) et de rayon \(R=2\), situé dans le plan \((OAB)\) (d'équation \(y=0\)). ∎
2) b) \(\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) et distance
\(I\) milieu de \([AB]\) : \(I\big(\tfrac{0+2}{2},0,\tfrac{2+0}{2}\big)=(1,0,1)\), donc \(\overrightarrow{OI}=(1,0,1)\). De plus \(\overrightarrow{AB}=B-A=(2,0,-2)\). Alors \[\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{AB}=1\times2+0\times0+1\times(-2)=0.\] Ainsi \((OI)\perp(AB)\). Comme \(I\in(AB)\), le point \(I\) est le projeté orthogonal de \(O\) sur la droite \((AB)\), d'où \[d\big(O,(AB)\big)=OI=\sqrt{1^{2}+0^{2}+1^{2}}=\sqrt2. ∎\]
3) a) Produit vectoriel \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AM}\)
\(\overrightarrow{AB}=(2,0,-2)\) et \(\overrightarrow{AM}=M-A=(0,m,-2)\). Alors \[\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AM}=\begin{pmatrix}0\cdot(-2)-(-2)\cdot m\\[2pt](-2)\cdot0-2\cdot(-2)\\[2pt]2\cdot m-0\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2m\\4\\2m\end{pmatrix}=2m\,\vec i+4\,\vec j+2m\,\vec k. ∎\]
3) b) Équation du plan \((ABM)\)
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AM}=(2m,4,2m)\) est normal au plan \((ABM)\) ; en simplifiant par \(2\), on prend \(\vec n=(m,2,m)\). Le plan passe par \(A(0,0,2)\) : \[m(x-0)+2(y-0)+m(z-2)=0\ \Longrightarrow\ mx+2y+mz-2m=0.\] (Vérifications : \(B(2,0,0)\) donne \(2m-2m=0\) ✓ ; \(M(0,m,0)\) donne \(2m-2m=0\) ✓.) ∎
3) c) Distance de \(O\) au plan \((ABM)\)
\[d\big(O,(ABM)\big)=\frac{|m\cdot0+2\cdot0+m\cdot0-2m|}{\sqrt{m^{2}+2^{2}+m^{2}}}=\frac{|-2m|}{\sqrt{4+2m^{2}}}=\frac{2|m|}{\sqrt{4+2m^{2}}}. ∎\]
4) Rayon du cercle \((\Gamma_m)\)
Le plan \((ABM)\) coupe \((S)\) suivant un cercle de rayon \(r\) vérifiant \(r^{2}=R^{2}-d\big(O,(ABM)\big)^{2}\) : \[r^{2}=4-\frac{4m^{2}}{4+2m^{2}}=4-\frac{4m^{2}}{2(2+m^{2})}=4-\frac{2m^{2}}{2+m^{2}}=\frac{4(2+m^{2})-2m^{2}}{2+m^{2}}=\frac{8+2m^{2}}{2+m^{2}}.\] Or \(\dfrac{8+2m^{2}}{2+m^{2}}=\dfrac{2(2+m^{2})+4}{2+m^{2}}=2+\dfrac{4}{2+m^{2}}\), donc \[r=\sqrt{2+\frac{4}{2+m^{2}}}.\]
Exercice 2 · Nombres complexes (3,5 points)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) et \(\Omega\) d'affixes respectives \[a=1+2i,\quad b=\bar a,\quad c=\frac{3(3+i)}{2},\quad d=\frac{3(1+i)}{2},\quad \omega=\frac52.\]
1) a) Vérifier que \(a+b=2\) et en déduire que l'affixe du point \(P\), milieu de \([AB]\), est \(p=1\).
b) Montrer que \(a\) et \(b\) sont les solutions de l'équation \(z^{2}-2z+5=0\) dans \(\mathbb C\).
2) a) Vérifier que \(|\omega-a|=|\omega-b|=|\omega-c|\).
b) En déduire que \(\Omega\) est le centre du cercle circonscrit au triangle \(ABC\).
3) a) Vérifier que \(\dfrac{d-c}{a-b}=\dfrac34 i\).
b) Montrer que \(d-b=(c-a)e^{i\frac{\pi}{2}}\), puis en déduire que les droites \((DB)\) et \((AC)\) sont perpendiculaires.
4) Soit \(h\) l'homothétie de centre \(C\) et de rapport \(\dfrac23\), qui transforme chaque point \(M\) d'affixe \(z\) en un point \(M'\) d'affixe \(z'\). On pose \(h(P)=G\).
a) Vérifier que \(z'=\dfrac23 z+\dfrac32+\dfrac12 i\).
b) Montrer que l'affixe du point \(G\) est \(g=\dfrac{13}{6}+\dfrac12 i\).
5) Montrer que les points \(\Omega\), \(G\) et \(D\) sont alignés.
Voir la solution
1) a) \(a+b=2\) et milieu \(P\)
\(b=\bar a=1-2i\), donc \(a+b=(1+2i)+(1-2i)=2\). Le milieu \(P\) de \([AB]\) a pour affixe \(p=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac22=1\). ∎
1) b) \(a\) et \(b\), solutions de \(z^{2}-2z+5=0\)
On a \(a+b=2\) et \(a\cdot b=(1+2i)(1-2i)=1^{2}+2^{2}=5\). Donc \(a\) et \(b\) sont les racines du trinôme \[z^{2}-(a+b)z+ab=z^{2}-2z+5=0.\] (En effet \(\Delta=4-20=-16=(4i)^{2}\) donne \(z=\tfrac{2\pm4i}{2}=1\pm2i\).) ∎
2) a) \(|\omega-a|=|\omega-b|=|\omega-c|\)
\(\omega-a=\tfrac52-(1+2i)=\tfrac32-2i\) et \(\omega-b=\tfrac32+2i\), d'où \(|\omega-a|=|\omega-b|=\sqrt{\tfrac94+4}=\sqrt{\tfrac{25}{4}}=\tfrac52\).
\(\omega-c=\tfrac52-\dfrac{9+3i}{2}=\dfrac{5-9-3i}{2}=\dfrac{-4-3i}{2}\), d'où \(|\omega-c|=\dfrac{\sqrt{16+9}}{2}=\dfrac{5}{2}\). Les trois modules valent \(\tfrac52\). ∎
2) b) \(\Omega\) centre du cercle circonscrit
De 2)a), \(\Omega A=\Omega B=\Omega C=\tfrac52\) : le point \(\Omega\) est équidistant de \(A\), \(B\), \(C\), c'est donc le centre du cercle circonscrit au triangle \(ABC\) (de rayon \(\tfrac52\)). ∎
3) a) \(\dfrac{d-c}{a-b}=\dfrac34 i\)
\(d-c=\dfrac{3+3i}{2}-\dfrac{9+3i}{2}=\dfrac{-6}{2}=-3\) et \(a-b=(1+2i)-(1-2i)=4i\). Donc \[\frac{d-c}{a-b}=\frac{-3}{4i}=\frac{-3}{4i}\cdot\frac{-i}{-i}=\frac{3i}{4}=\frac34 i. ∎\]
3) b) \(d-b=(c-a)e^{i\frac{\pi}{2}}\) et perpendicularité
\(e^{i\frac{\pi}{2}}=i\). On calcule : \[d-b=\frac{3+3i}{2}-(1-2i)=\frac{3+3i-2+4i}{2}=\frac{1+7i}{2},\qquad c-a=\frac{9+3i}{2}-(1+2i)=\frac{7-i}{2}.\] Alors \((c-a)\,i=\dfrac{7-i}{2}\,i=\dfrac{7i+1}{2}=\dfrac{1+7i}{2}=d-b\). Donc \(d-b=(c-a)e^{i\frac{\pi}{2}}\).
Il en résulte \(\dfrac{d-b}{c-a}=i\), donc \(\arg\!\Big(\dfrac{d-b}{c-a}\Big)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\). L'angle entre \(\overrightarrow{AC}\) (affixe \(c-a\)) et \(\overrightarrow{BD}\) (affixe \(d-b\)) est droit : les droites \((DB)\) et \((AC)\) sont perpendiculaires. ∎
4) a) Écriture complexe de \(h\)
Pour l'homothétie de centre \(C\) (affixe \(c\)) et de rapport \(\tfrac23\) : \(z'-c=\tfrac23(z-c)\), donc \(z'=\tfrac23 z+\tfrac13 c\). Or \(\tfrac13 c=\dfrac{9+3i}{6}=\dfrac{3+i}{2}=\dfrac32+\dfrac12 i\), d'où \[z'=\frac23 z+\frac32+\frac12 i. ∎\]
4) b) Affixe de \(G=h(P)\)
Avec \(p=1\) : \(g=\tfrac23\cdot1+\tfrac32+\tfrac12 i=\tfrac23+\tfrac32+\tfrac12 i\). Or \(\tfrac23+\tfrac32=\tfrac{4}{6}+\tfrac{9}{6}=\tfrac{13}{6}\), donc \(g=\dfrac{13}{6}+\dfrac12 i\). ∎
5) Alignement de \(\Omega\), \(G\), \(D\)
\(g-\omega=\dfrac{13}{6}-\dfrac52+\dfrac12 i=-\dfrac13+\dfrac12 i\) et \(d-\omega=\dfrac32-\dfrac52+\dfrac32 i=-1+\dfrac32 i\). Formons le rapport en multipliant haut et bas par \(6\) : \[\frac{g-\omega}{d-\omega}=\frac{-2+3i}{-6+9i}=\frac{-2+3i}{3(-2+3i)}=\frac13\in\mathbb R.\] Le rapport \(\dfrac{g-\omega}{d-\omega}=\dfrac13\) est réel, donc \(\overrightarrow{\Omega G}=\dfrac13\,\overrightarrow{\Omega D}\) : les points \(\Omega\), \(G\), \(D\) sont alignés. ∎
Exercice 3 · Calcul des probabilités (2,5 points)
Une urne contient six boules indiscernables au toucher : quatre boules blanches numérotées \(0\,;1\,;1\,;1\) et deux boules noires numérotées \(0\,;1\). On tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne. On considère les événements :
- \(A\) : « les deux boules tirées portent le numéro \(1\) » ;
- \(B\) : « les deux boules tirées sont de même couleur ».
1) a) Montrer que \(p(A)=\dfrac25\).
b) Montrer que \(p(B)=\dfrac{7}{15}\).
c) Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Justifier.
2) On répète l'expérience précédente trois fois successives. On considère la variable aléatoire \(X\) indiquant le nombre de fois où l'on réalise l'événement \(A\).
a) Recopier et compléter le tableau de la loi de probabilités de \(X\) (on donne \(p(X=0)=\tfrac{27}{125}\)).
b) Calculer l'espérance \(E(X)\).
Voir la solution
Mise en place
Le tirage est simultané de \(2\) boules parmi \(6\) : \(\mathrm{Card}(\Omega)=\dbinom{6}{2}=15\). Parmi les six boules, celles qui portent le numéro \(1\) sont les trois blanches « \(1\) » et la noire « \(1\) », soit \(4\) boules ; celles qui portent le \(0\) sont \(2\) boules.
1) a) \(p(A)=\tfrac25\)
\(A\) : choisir \(2\) boules parmi les \(4\) portant le numéro \(1\) : \[p(A)=\frac{\dbinom{4}{2}}{\dbinom{6}{2}}=\frac{6}{15}=\frac25. ∎\]
1) b) \(p(B)=\tfrac{7}{15}\)
« Même couleur » = deux blanches ou deux noires : \[\mathrm{Card}(B)=\dbinom{4}{2}+\dbinom{2}{2}=6+1=7,\qquad p(B)=\frac{7}{15}. ∎\]
1) c) Indépendance de \(A\) et \(B\)
\(A\cap B\) : deux boules portant le \(1\) et de même couleur. Impossible en noir (une seule noire « \(1\) ») ; en blanc, \(2\) parmi les trois blanches « \(1\) » : \(\dbinom{3}{2}=3\). Donc \(p(A\cap B)=\dfrac{3}{15}=\dfrac15\).
2) a) Loi de \(X\)
On répète \(3\) fois, de façon indépendante, une épreuve où \(A\) est réalisé avec la probabilité \(p=p(A)=\tfrac25\) (échec \(q=\tfrac35\)). Donc \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal B\big(3,\tfrac25\big)\) : \(p(X=k)=\dbinom{3}{k}\big(\tfrac25\big)^{k}\big(\tfrac35\big)^{3-k}\).
- \(p(X=0)=\big(\tfrac35\big)^{3}=\dfrac{27}{125}\) ;
- \(p(X=1)=\dbinom{3}{1}\big(\tfrac25\big)\big(\tfrac35\big)^{2}=3\cdot\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{9}{25}=\dfrac{54}{125}\) ;
- \(p(X=2)=\dbinom{3}{2}\big(\tfrac25\big)^{2}\big(\tfrac35\big)=3\cdot\dfrac{4}{25}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{36}{125}\) ;
- \(p(X=3)=\big(\tfrac25\big)^{3}=\dfrac{8}{125}\).
2) b) Espérance \(E(X)\)
Pour une loi binomiale, \(E(X)=np=3\times\dfrac25=\dfrac65\). (On retrouve bien \(\dfrac{0\cdot27+1\cdot54+2\cdot36+3\cdot8}{125}=\dfrac{150}{125}=\dfrac65\).) ∎
Problème · Intégrales de \(\ln\), étude de \(f(x)=x-\dfrac{(\ln x)^2}{x}\) et suite récurrente (11 points)
Le graphique de l'énoncé représente les courbes \((\mathcal C_g)\) et \((\mathcal C_h)\) des fonctions \(g:x\mapsto x^{2}\) et \(h:x\mapsto 2\ln x-(\ln x)^{2}\) sur \(]0,+\infty[\), dans un même repère orthonormé.
1) a) Justifier graphiquement que pour tout \(x\in\,]0,+\infty[\), \(g(x)-h(x)\gt0\).
b) En déduire que pour tout \(x\in\,]0,+\infty[\), \(\dfrac{2\ln x-(\ln x)^{2}}{x^{2}}\lt1\).
2) a) Vérifier que \(H:x\mapsto x\ln x-x\) est une primitive de \(x\mapsto\ln x\) sur \(]0,+\infty[\), puis en déduire que \(\displaystyle\int_1^{e^{2}}\ln x\,dx=1+e^{2}\).
b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que \(\displaystyle\int_1^{e^{2}}(\ln x)^{2}\,dx=2e^{2}-2\).
c) Résoudre sur \(]0,+\infty[\) l'équation \(h(x)=0\) et en déduire les deux points d'intersection de \((\mathcal C_h)\) avec l'axe des abscisses.
d) En déduire, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par \((\mathcal C_h)\), l'axe des abscisses et les droites \(x=1\) et \(x=e^{2}\).
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=x-\dfrac{(\ln x)^{2}}{x}\), de courbe \((\mathcal C_f)\) dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\).
1) a) Vérifier que \(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}f(x)=-\infty\) et donner une interprétation géométrique.
b) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)^{2}}{x}=0\) (on peut poser \(t=\sqrt x\)), puis calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).
c) En déduire que la droite \(y=x\) est une asymptote oblique à \((\mathcal C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
2) a) Montrer que pour tout \(x\in\,]0,+\infty[\), \(f'(x)=1-\dfrac{2\ln x-(\ln x)^{2}}{x^{2}}\).
b) Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\) (utiliser I-1-b).
3) a) Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]0,+\infty[\).
b) Vérifier que \(e^{-1}\lt\alpha\lt1\) et montrer que \(\ln\alpha=-\alpha\).
c) Montrer que \(f(x)\le x\) pour tout \(x\in\,]0,+\infty[\).
d) Montrer que \(y=x\) est l'équation de la tangente \((T)\) à \((\mathcal C_f)\) au point d'abscisse \(1\).
4) Soit \(\varphi\) la restriction de \(f\) à l'intervalle \(]0,1]\).
a) Montrer que \(\varphi\) admet une fonction réciproque \(\varphi^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Montrer que \(\varphi^{-1}\) est dérivable en \(0\) et que \(\big(\varphi^{-1}\big)'(0)=\dfrac{\alpha}{2+2\alpha}\).
c) Construire la courbe de \(\varphi^{-1}\) à partir de celle de \(\varphi\).
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=e\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout \(n\in\mathbb N\).
1) Montrer par récurrence que \(1\lt u_n\) pour tout \(n\in\mathbb N\).
2) a) Montrer que \((u_n)\) est décroissante (utiliser II-3-c).
b) En déduire que \((u_n)\) est convergente.
c) Déterminer la limite de \((u_n)\).
Voir la solution
Partie I — 1) a) \(g(x)-h(x)\gt0\)
Sur \(]0,+\infty[\), la lecture du graphique montre que la courbe \((\mathcal C_g)\) est strictement au-dessus de \((\mathcal C_h)\) : pour tout \(x\gt0\), \(g(x)\gt h(x)\), c'est-à-dire \(g(x)-h(x)\gt0\). ∎
Partie I — 1) b) Majoration par \(1\)
De \(g(x)\gt h(x)\), soit \(x^{2}\gt2\ln x-(\ln x)^{2}\), on divise par \(x^{2}\gt0\) : \[\frac{2\ln x-(\ln x)^{2}}{x^{2}}\lt1. ∎\]
Partie I — 2) a) Primitive et \(\int_1^{e^{2}}\ln x\,dx\)
\(H(x)=x\ln x-x\) donne \(H'(x)=\ln x+x\cdot\tfrac1x-1=\ln x\) : \(H\) est bien une primitive de \(\ln\). Donc \[\int_1^{e^{2}}\ln x\,dx=\big[x\ln x-x\big]_1^{e^{2}}=(2e^{2}-e^{2})-(0-1)=e^{2}+1. ∎\]
Partie I — 2) b) \(\int_1^{e^{2}}(\ln x)^{2}\,dx\)
Intégration par parties avec \(u=(\ln x)^{2}\), \(u'=\dfrac{2\ln x}{x}\), \(v'=1\), \(v=x\) : \[\int_1^{e^{2}}(\ln x)^{2}\,dx=\big[x(\ln x)^{2}\big]_1^{e^{2}}-\int_1^{e^{2}}x\cdot\frac{2\ln x}{x}\,dx=\big[x(\ln x)^{2}\big]_1^{e^{2}}-2\int_1^{e^{2}}\ln x\,dx.\] Or \(\big[x(\ln x)^{2}\big]_1^{e^{2}}=e^{2}\cdot2^{2}-0=4e^{2}\) et \(2\displaystyle\int_1^{e^{2}}\ln x\,dx=2(e^{2}+1)\). D'où \[\int_1^{e^{2}}(\ln x)^{2}\,dx=4e^{2}-2(e^{2}+1)=2e^{2}-2. ∎\]
Partie I — 2) c) Résolution de \(h(x)=0\)
\(h(x)=2\ln x-(\ln x)^{2}=\ln x\,(2-\ln x)\). Donc \(h(x)=0\) ⟺ \(\ln x=0\) ou \(\ln x=2\), soit \(x=1\) ou \(x=e^{2}\). Les points d'intersection de \((\mathcal C_h)\) avec l'axe des abscisses sont \((1,0)\) et \((e^{2},0)\). ∎
Partie I — 2) d) Aire
Sur \([1,e^{2}]\), pour \(1\lt x\lt e^{2}\) on a \(0\lt\ln x\lt2\), donc \(h(x)=\ln x(2-\ln x)\gt0\) : la courbe est au-dessus de l'axe. L'aire vaut \[\mathcal A=\int_1^{e^{2}}h(x)\,dx=2\int_1^{e^{2}}\ln x\,dx-\int_1^{e^{2}}(\ln x)^{2}\,dx=2(e^{2}+1)-(2e^{2}-2)=4.\] L'aire cherchée est \(\boxed{4}\) unités d'aire. ∎
Partie II — 1) a) Limite en \(0^{+}\)
Quand \(x\to0^{+}\) : \(x\to0\) et \((\ln x)^{2}\to+\infty\), \(\dfrac1x\to+\infty\), donc \(\dfrac{(\ln x)^{2}}{x}\to+\infty\). Ainsi \(f(x)=x-\dfrac{(\ln x)^{2}}{x}\to0-(+\infty)=-\infty\).
Interprétation : la droite d'équation \(x=0\) (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à \((\mathcal C_f)\). ∎
Partie II — 1) b) Limite en \(+\infty\)
On pose \(t=\sqrt x\ (\to+\infty)\), d'où \(x=t^{2}\) et \(\ln x=2\ln t\) : \[\frac{(\ln x)^{2}}{x}=\frac{(2\ln t)^{2}}{t^{2}}=4\Big(\frac{\ln t}{t}\Big)^{2}\xrightarrow[t\to+\infty]{}0\quad\Big(\text{car }\frac{\ln t}{t}\to0\Big).\] Donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)^{2}}{x}=0\), puis \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\Big(x-\dfrac{(\ln x)^{2}}{x}\Big)=+\infty\). ∎
Partie II — 1) c) Asymptote oblique
\(f(x)-x=-\dfrac{(\ln x)^{2}}{x}\to0\) quand \(x\to+\infty\) (question 1b). Donc la droite \(y=x\) est asymptote oblique à \((\mathcal C_f)\) au voisinage de \(+\infty\). ∎
Partie II — 2) a) Dérivée
\(f(x)=x-\dfrac{(\ln x)^{2}}{x}\). On dérive le quotient \(\dfrac{(\ln x)^{2}}{x}\) (numérateur \(u=(\ln x)^{2}\), \(u'=\tfrac{2\ln x}{x}\)) : \[\left(\frac{(\ln x)^{2}}{x}\right)'=\frac{\frac{2\ln x}{x}\cdot x-(\ln x)^{2}\cdot1}{x^{2}}=\frac{2\ln x-(\ln x)^{2}}{x^{2}}.\] Donc \(f'(x)=1-\dfrac{2\ln x-(\ln x)^{2}}{x^{2}}\). ∎
Partie II — 2) b) Stricte croissance
D'après I-1-b, \(\dfrac{2\ln x-(\ln x)^{2}}{x^{2}}\lt1\) pour tout \(x\gt0\). Donc \(f'(x)=1-\dfrac{2\ln x-(\ln x)^{2}}{x^{2}}\gt0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\). ∎
Partie II — 3) a) Unicité de \(\alpha\)
\(f\) est continue et strictement croissante sur \(]0,+\infty[\), avec \(\displaystyle\lim_{0^{+}}f=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\). Elle réalise donc une bijection de \(]0,+\infty[\) sur \(\mathbb R\). Comme \(0\in\mathbb R\), l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\in\,]0,+\infty[\). ∎
Partie II — 3) b) \(e^{-1}\lt\alpha\lt1\) et \(\ln\alpha=-\alpha\)
\(f(1)=1-\dfrac{(\ln1)^{2}}{1}=1\gt0\) et \(f(e^{-1})=e^{-1}-\dfrac{(-1)^{2}}{e^{-1}}=\dfrac1e-e=\dfrac{1-e^{2}}{e}\lt0\). Comme \(f(e^{-1})\lt0\lt f(1)\) et que \(f\) est strictement croissante, \(e^{-1}\lt\alpha\lt1\).
De \(f(\alpha)=0\) : \(\alpha-\dfrac{(\ln\alpha)^{2}}{\alpha}=0\Rightarrow\alpha^{2}=(\ln\alpha)^{2}\). Or \(e^{-1}\lt\alpha\lt1\) entraîne \(\ln\alpha\lt0\), donc \(|\ln\alpha|=-\ln\alpha\). L'égalité \(\alpha^{2}=(\ln\alpha)^{2}\) donne \(|\ln\alpha|=\alpha\), soit \(-\ln\alpha=\alpha\), c'est-à-dire \(\boxed{\ln\alpha=-\alpha}\). ∎
Partie II — 3) c) \(f(x)\le x\)
\(f(x)-x=-\dfrac{(\ln x)^{2}}{x}\le0\) car \((\ln x)^{2}\ge0\) et \(x\gt0\). Donc \(f(x)\le x\) pour tout \(x\gt0\) (égalité seulement en \(x=1\)). ∎
Partie II — 3) d) Tangente en \(1\)
\(f(1)=1\) et \(f'(1)=1-\dfrac{2\ln1-(\ln1)^{2}}{1^{2}}=1-0=1\). La tangente en \(x=1\) est \(y=f'(1)(x-1)+f(1)=1\cdot(x-1)+1=x\). Donc \((T):y=x\). ∎
Partie II — 4) a) Fonction réciproque \(\varphi^{-1}\)
\(\varphi\) est continue et strictement croissante sur \(]0,1]\) (restriction de \(f\)) ; elle réalise une bijection de \(]0,1]\) sur \(J=\varphi(]0,1])\). Or \(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\varphi(x)=-\infty\) et \(\varphi(1)=f(1)=1\), donc \(J=\,]-\infty,1]\). \(\varphi\) admet donc une réciproque \(\varphi^{-1}:\,]-\infty,1]\to\,]0,1]\). ∎
Partie II — 4) b) Dérivabilité de \(\varphi^{-1}\) en \(0\)
Comme \(f(\alpha)=0\) avec \(\alpha\in\,]0,1]\), on a \(\varphi(\alpha)=0\), donc \(\varphi^{-1}(0)=\alpha\). Calculons \(f'(\alpha)\) à l'aide de \(\ln\alpha=-\alpha\) (donc \(2\ln\alpha=-2\alpha\) et \((\ln\alpha)^{2}=\alpha^{2}\)) : \[f'(\alpha)=1-\frac{2\ln\alpha-(\ln\alpha)^{2}}{\alpha^{2}}=1-\frac{-2\alpha-\alpha^{2}}{\alpha^{2}}=1+\frac{2\alpha+\alpha^{2}}{\alpha^{2}}=1+\frac{2}{\alpha}+1=2+\frac{2}{\alpha}.\] Ainsi \(f'(\alpha)=\dfrac{2\alpha+2}{\alpha}\ne0\), donc \(\varphi^{-1}\) est dérivable en \(0\) et \[\big(\varphi^{-1}\big)'(0)=\frac{1}{\varphi'(\alpha)}=\frac{1}{f'(\alpha)}=\frac{\alpha}{2\alpha+2}=\frac{\alpha}{2+2\alpha}. ∎\]
Partie II — 4) c) Construction de \(\varphi^{-1}\)
La courbe de \(\varphi^{-1}\) s'obtient à partir de celle de \(\varphi\) par symétrie orthogonale par rapport à la première bissectrice \(y=x\). On reporte quelques points remarquables : \(\varphi(1)=1\) donne le point \((1,1)\) (invariant), \(\varphi(\alpha)=0\) donne \((0,\alpha)\) sur \((\mathcal C_{\varphi^{-1}})\), et l'asymptote verticale \(x=0\) de \(\varphi\) devient l'asymptote horizontale \(y=0\) de \(\varphi^{-1}\).
Partie III — 1) \(1\lt u_n\) par récurrence
Initialisation : \(u_0=e\gt1\). Hérédité : supposons \(1\lt u_n\). Comme \(f\) est strictement croissante, \(f(u_n)\gt f(1)=1\), soit \(u_{n+1}\gt1\). Donc \(1\lt u_n\) pour tout \(n\in\mathbb N\). ∎
Partie III — 2) a) \((u_n)\) décroissante
D'après II-3-c, \(f(x)\le x\) pour tout \(x\gt0\). En particulier \(u_{n+1}=f(u_n)\le u_n\) : la suite \((u_n)\) est décroissante. ∎
Partie III — 2) b) Convergence
\((u_n)\) est décroissante et minorée par \(1\) (question 1), donc convergente. ∎
Partie III — 2) c) Limite
Soit \(\ell=\lim u_n\). Comme \(u_n\gt1\), on a \(\ell\ge1\), et \(f\) est continue en \(\ell\), donc le passage à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\) donne \(\ell=f(\ell)\) : \[\ell=\ell-\frac{(\ln\ell)^{2}}{\ell}\ \Longrightarrow\ \frac{(\ln\ell)^{2}}{\ell}=0\ \Longrightarrow\ (\ln\ell)^{2}=0\ \Longrightarrow\ \ell=1.\] Donc \(\boxed{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1}\). ∎
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