2026 — Session de rattrapage

1) a) Produit vectoriel \(\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}\)

\(\overrightarrow{OA}=(1,1,1)\) et \(\overrightarrow{OB}=(2,0,1)\), donc \[\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}1\cdot1-1\cdot0\\[2pt]1\cdot2-1\cdot1\\[2pt]1\cdot0-1\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}=\vec i+\vec j-2\vec k. ∎\]

1) b) \((P)\parallel(OAB)\)

Le vecteur \(\vec n=\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}=(1,1,-2)\) est normal au plan \((OAB)\). Or \((P)\) a pour vecteur normal \((1,1,-2)\) (coefficients de son équation). Les deux plans ont donc le même vecteur normal : ils sont parallèles. De plus \(O(0,0,0)\notin(P)\) car \(0+0-0+12=12\neq0\) : le parallélisme est strict. ∎

1) c) Représentation paramétrique de \((OC)\)

\(\overrightarrow{OC}=C-O=(-2,-2,4)=-2(1,1,-2)\). La droite \((OC)\) passe par \(O(0,0,0)\) et est dirigée par \(\vec u(1,1,-2)\). Un point \(M(x,y,z)\in(OC)\) s'écrit \(\overrightarrow{OM}=t\,\vec u\), soit \[\begin{cases}x=t\\y=t\\z=-2t\end{cases}\ (t\in\mathbb R).\] (Pour \(t=-2\) on retrouve \(C\).) ∎

1) d) \(C\in(P)\) et \((OC)\perp(P)\)

\(C(-2,-2,4)\) : \((-2)+(-2)-2\cdot4+12=-2-2-8+12=0\), donc \(C\in(P)\). ✓

La droite \((OC)\) est dirigée par \(\vec u(1,1,-2)\), qui est précisément le vecteur normal de \((P)\). Donc \(\vec u\) est normal à \((P)\) : la droite \((OC)\) est orthogonale au plan \((P)\). ∎

2) a) \(\Omega\in(OC)\), puis \(a=b\) et \(c=-2a\)

La sphère \((S)\) est tangente à \((P)\) au point \(C\) : le rayon \([\Omega C]\) est donc perpendiculaire à \((P)\) en \(C\). Ainsi \(\Omega\) appartient à la droite passant par \(C\) et perpendiculaire à \((P)\). Or, d'après 1.d), cette droite est exactement \((OC)\). Donc \(\Omega\in(OC)\).

Comme \(\Omega\in(OC)\), il existe \(t\in\mathbb R\) tel que \(\Omega(t,t,-2t)\). Donc \(a=t\), \(b=t\), \(c=-2t\), c'est-à-dire \(a=b\) et \(c=-2a\). ∎

2) b) \(O\Omega=|a|\sqrt6\)

\(\Omega(a,a,-2a)\), donc \[O\Omega=\sqrt{a^{2}+a^{2}+(-2a)^{2}}=\sqrt{6a^{2}}=|a|\sqrt6. ∎\]

2) c) \(d\big(\Omega,(P)\big)=|a+2|\sqrt6\)

\[d\big(\Omega,(P)\big)=\frac{|a+b-2c+12|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{|a+a-2(-2a)+12|}{\sqrt6}=\frac{|6a+12|}{\sqrt6}=\frac{6|a+2|}{\sqrt6}=|a+2|\sqrt6. ∎\]

2) d) Valeur de \(a\), coordonnées de \(\Omega\) et rayon \(R\)

La sphère est tangente à \((P)\) en \(C\), donc son rayon vaut \(R=\Omega C=d\big(\Omega,(P)\big)=|a+2|\sqrt6\), d'où \(\Omega C^{2}=6(a+2)^{2}\).

Le plan \((OAB)\) coupe \((S)\) suivant le cercle \((\Gamma)\) de centre \(O\) et de rayon \(r=4\sqrt3\). Le centre \(O\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((OAB)\), donc \(\Omega O=d\big(\Omega,(OAB)\big)\) et, par le théorème de Pythagore dans le plan contenant \(\Omega\), \(O\) et un point du cercle : \[R^{2}=\Omega O^{2}+r^{2}\ \Longrightarrow\ \Omega C^{2}=\Omega O^{2}+(4\sqrt3)^{2}=\Omega O^{2}+48.\] Ainsi \(\Omega C^{2}-\Omega O^{2}=48\). En remplaçant : \[6(a+2)^{2}-6a^{2}=48\ \Longrightarrow\ 6\big[(a^{2}+4a+4)-a^{2}\big]=48\ \Longrightarrow\ 24a+24=48\ \Longrightarrow\ a=1.\]

1) a) \(\dfrac{a-c}{a}=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\)

\(a-c=\sqrt3+i-2\sqrt3=-\sqrt3+i\). Donc \[\frac{a-c}{a}=\frac{-\sqrt3+i}{\sqrt3+i}=\frac{(-\sqrt3+i)(\sqrt3-i)}{(\sqrt3+i)(\sqrt3-i)}=\frac{(-\sqrt3+i)(\sqrt3-i)}{3+1}.\] Numérateur : \((-\sqrt3)(\sqrt3)+(-\sqrt3)(-i)+i(\sqrt3)+i(-i)=-3+\sqrt3\,i+\sqrt3\,i+1=-2+2\sqrt3\,i\). D'où \[\frac{a-c}{a}=\frac{-2+2\sqrt3\,i}{4}=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}. ∎\]

1) b) Forme trigonométrique

Module : \(\left|-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\right|=\sqrt{\dfrac14+\dfrac34}=1\). Argument \(\theta\) : \(\cos\theta=-\dfrac12\), \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\Rightarrow\theta=\dfrac{2\pi}{3}\). Donc \[-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=e^{i\frac{2\pi}{3}}. ∎\]

2) a) \(R\) est une rotation

L'écriture \(z'=e^{i\frac{2\pi}{3}}(z-a)+a\) est de la forme \(z'=e^{i\theta}(z-\omega)+\omega\) avec \(\omega=a\) et \(\theta=\dfrac{2\pi}{3}\). Comme \(\big|e^{i\frac{2\pi}{3}}\big|=1\) et \(e^{i\frac{2\pi}{3}}\neq1\), \(R\) est la rotation de centre \(A\) (d'affixe \(a\)) et d'angle \(\dfrac{2\pi}{3}\). ∎

2) b) \(R(O)=C\)

D'après 1.a), \(\dfrac{a-c}{a}=e^{i\frac{2\pi}{3}}\), donc \(a-c=a\,e^{i\frac{2\pi}{3}}\), soit \(c=a-a\,e^{i\frac{2\pi}{3}}\).

Or l'affixe de \(R(O)\) s'obtient en prenant \(z=0\) : \[z'=e^{i\frac{2\pi}{3}}(0-a)+a=a-a\,e^{i\frac{2\pi}{3}}=c.\] Donc \(R(O)=C\). ∎

3) a) \(d=2\sqrt3+2i\) et alignement de \(A\), \(D\), \(O\)

\(b=\bar a=\sqrt3-i\), donc \(b-a=(\sqrt3-i)-(\sqrt3+i)=-2i\). L'affixe de \(D=R(B)\) est \[d=e^{i\frac{2\pi}{3}}(b-a)+a=\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)(-2i)+(\sqrt3+i).\] Calcul : \(\left(-\dfrac12\right)(-2i)=i\) et \(\left(i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)(-2i)=-\sqrt3\,i^{2}=\sqrt3\). Donc \(e^{i\frac{2\pi}{3}}(b-a)=\sqrt3+i\), et \[d=(\sqrt3+i)+(\sqrt3+i)=2\sqrt3+2i. ∎\]

On remarque que \(d=2\sqrt3+2i=2(\sqrt3+i)=2a\). Ainsi \(\dfrac{d}{a}=2\in\mathbb R^{*}\), donc \(\overrightarrow{OD}=2\,\overrightarrow{OA}\) : les vecteurs \(\overrightarrow{OD}\) et \(\overrightarrow{OA}\) sont colinéaires, les points \(A\), \(D\) et \(O\) sont alignés. ∎

3) b) \(\dfrac{c-b}{d}=\dfrac12\)

\(c-b=2\sqrt3-(\sqrt3-i)=\sqrt3+i=a\), et \(d=2\sqrt3+2i=2a\). Donc \[\frac{c-b}{d}=\frac{a}{2a}=\frac12. ∎\]

3) c) \(OB=DC\)

\(OB=|b-0|=|\sqrt3-i|=\sqrt{3+1}=2\).
\(DC=|c-d|=|2\sqrt3-(2\sqrt3+2i)|=|-2i|=2\).
Donc \(OB=DC=2\). ∎

3) d) \(OBCD\) est un trapèze isocèle

Côtés parallèles : d'après 3.b), \(c-b=\dfrac12\,d\), c'est-à-dire \(\overrightarrow{BC}=\dfrac12\,\overrightarrow{OD}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{OD}\) sont colinéaires : les côtés \([BC]\) et \([OD]\) du quadrilatère \(OBCD\) sont parallèles. Comme le rapport vaut \(\dfrac12\neq1\), on a \(BC\neq OD\) : le quadrilatère n'est pas un parallélogramme, c'est un trapèze de bases \([BC]\) et \([OD]\).

Côtés obliques (les côtés non parallèles) : ce sont \([OB]\) et \([CD]\). D'après 3.c), \(OB=DC=CD=2\) : les deux côtés obliques ont la même longueur.

Le tirage est successif et sans remise : un résultat est un couple ordonné de deux boules distinctes parmi \(6\), donc \[\operatorname{card}(\Omega)=6\times5=30.\] Répartition : les boules portant \(0\) sont deux blanches et une noire, soit trois boules « \(0\) » ; les boules portant \(1\) sont deux blanches et une noire, soit trois boules « \(1\) ».

1) a) \(p(A)=\dfrac{7}{15}\)

« Même couleur » = deux blanches ou deux noires (tirages ordonnés) : \[\operatorname{card}(A)=\underbrace{4\times3}_{\text{2 blanches}}+\underbrace{2\times1}_{\text{2 noires}}=12+2=14,\qquad p(A)=\frac{14}{30}=\frac{7}{15}. ∎\]

1) b) \(p(B)=\dfrac15\)

La somme des deux numéros vaut \(2\) uniquement si les deux boules portent le nombre \(1\) (\(1+1=2\)). Il y a \(3\) boules « \(1\) », d'où \[\operatorname{card}(B)=3\times2=6,\qquad p(B)=\frac{6}{30}=\frac15. ∎\]

2) \(p(B/A)=\dfrac17\)

\(A\cap B\) : deux boules de même couleur et de somme \(2\) (donc deux boules « \(1\) »). Les boules « \(1\) » sont deux blanches et une noire ; deux boules « \(1\) » de même couleur ne peuvent être que les deux blanches : \[\operatorname{card}(A\cap B)=2\times1=2,\qquad p(A\cap B)=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}.\] Donc \[p(B/A)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}=\frac{1/15}{7/15}=\frac17. ∎\]

3) a) Loi de probabilité de \(X\)

\(X\in\{0,1,2\}\) (somme des deux numéros ; il y a \(3\) boules « \(0\) » et \(3\) boules « \(1\) »).

• \(p(X=0)\) : deux boules « \(0\) » : \(\dfrac{3\times2}{30}=\dfrac{6}{30}=\dfrac15\) ;
• \(p(X=2)\) : deux boules « \(1\) » : \(\dfrac{3\times2}{30}=\dfrac15\) (c'est \(p(B)\)) ;
• \(p(X=1)\) : une « \(0\) » et une « \(1\) » (dans les deux ordres) : \(\dfrac{3\times3+3\times3}{30}=\dfrac{18}{30}=\dfrac35\).

3) b) Espérance \(E(X)\)

\[E(X)=0\cdot\frac15+1\cdot\frac35+2\cdot\frac15=\frac35+\frac25=\frac55=1. ∎\]

1) a) Résolution de \(g(x)=0\)

\(g(x)=0\iff e^{2x}-1=0\iff e^{2x}=1\iff 2x=0\iff x=0\). Donc \(\mathcal S=\{0\}\). ∎

1) b) Signe de \(g\)

\(g(x)=e^{2x}-1\), et la fonction \(x\mapsto e^{2x}\) est strictement croissante. Or \(e^{2x}\lt1\iff2x\lt0\iff x\lt0\), et \(e^{2x}\gt1\iff x\gt0\). Donc \(g(x)\lt0\) sur \(]-\infty,0[\) et \(g(x)\gt0\) sur \(]0,+\infty[\). ∎

2) \(\displaystyle\int_{-\ln2}^{\ln2}|g(x)|\,dx=\dfrac98\)

D'après le signe de \(g\) : sur \([-\ln2,0]\), \(|g(x)|=1-e^{2x}\) ; sur \([0,\ln2]\), \(|g(x)|=e^{2x}-1\). Donc \[\int_{-\ln2}^{\ln2}|g(x)|\,dx=\int_{-\ln2}^{0}(1-e^{2x})\,dx+\int_{0}^{\ln2}(e^{2x}-1)\,dx.\] Première intégrale \(\Big[x-\tfrac12 e^{2x}\Big]_{-\ln2}^{0}\) : au point \(0\), \(0-\tfrac12=-\tfrac12\) ; au point \(-\ln2\), \(-\ln2-\tfrac12 e^{-2\ln2}=-\ln2-\tfrac12\cdot\tfrac14=-\ln2-\tfrac18\). Différence : \[-\frac12-\left(-\ln2-\frac18\right)=\ln2-\frac38.\] Deuxième intégrale \(\Big[\tfrac12 e^{2x}-x\Big]_{0}^{\ln2}\) : au point \(\ln2\), \(\tfrac12 e^{2\ln2}-\ln2=\tfrac12\cdot4-\ln2=2-\ln2\) ; au point \(0\), \(\tfrac12\). Différence : \[(2-\ln2)-\frac12=\frac32-\ln2.\] Somme : \(\left(\ln2-\dfrac38\right)+\left(\dfrac32-\ln2\right)=\dfrac32-\dfrac38=\dfrac{12-3}{8}=\dfrac98\). ∎

1) \(f\) est définie sur \(\mathbb R\)

Pour tout \(x\in\mathbb R\), \(e^{-2x}\gt0\), donc \(1+e^{-2x}\gt0\) : \(\ln\!\big(1+e^{-2x}\big)\) existe. La fonction \(f\) est donc définie sur \(\mathbb R\). ∎

2) a) \(f\) est paire

\(\mathbb R\) est symétrique par rapport à \(0\). On utilise \(\ln\!\big(1+e^{2x}\big)=\ln\!\Big(e^{2x}\big(e^{-2x}+1\big)\Big)=2x+\ln\!\big(1+e^{-2x}\big)\). Alors \[f(-x)=-x-\ln2+\ln\!\big(1+e^{2x}\big)=-x-\ln2+2x+\ln\!\big(1+e^{-2x}\big)=x-\ln2+\ln\!\big(1+e^{-2x}\big)=f(x).\] Donc \(f\) est paire. ∎

2) b) Limites en \(\pm\infty\)

Quand \(x\to+\infty\) : \(e^{-2x}\to0\), donc \(\ln\!\big(1+e^{-2x}\big)\to\ln1=0\), et \(f(x)=x-\ln2+\ln\!\big(1+e^{-2x}\big)\to+\infty\).

\(f\) étant paire, \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\). ∎

3) a) Asymptote \((\Delta):y=x-\ln2\) en \(+\infty\)

\(f(x)-(x-\ln2)=\ln\!\big(1+e^{-2x}\big)\). Quand \(x\to+\infty\), cette quantité tend vers \(0\). Donc \((\Delta):y=x-\ln2\) est asymptote oblique à \((\mathscr C_f)\) au voisinage de \(+\infty\). ∎

3) b) Asymptote \((\Delta'):y=-x-\ln2\) en \(-\infty\)

Posons \(X=-x\ (\to+\infty\) quand \(x\to-\infty)\). Par parité \(f(x)=f(-x)=f(X)\), donc \[f(x)-(-x-\ln2)=f(X)-(X-\ln2)=\ln\!\big(1+e^{-2X}\big)\xrightarrow[X\to+\infty]{}0.\] Donc \((\Delta'):y=-x-\ln2\) est asymptote oblique à \((\mathscr C_f)\) au voisinage de \(-\infty\). ∎

4) a) \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{1+e^{2x}}\)

\(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et \[f'(x)=1+\frac{-2e^{-2x}}{1+e^{-2x}}=\frac{(1+e^{-2x})-2e^{-2x}}{1+e^{-2x}}=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}.\] En multipliant numérateur et dénominateur par \(e^{2x}\gt0\) : \[f'(x)=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=\frac{g(x)}{1+e^{2x}}. ∎\]

4) b) Sens de variation

Le dénominateur \(1+e^{2x}\gt0\), donc \(f'(x)\) a le signe de \(g(x)\). D'après la partie I : \(g(x)\gt0\) sur \(]0,+\infty[\) et \(g(x)\lt0\) sur \(]-\infty,0[\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\) et strictement décroissante sur \(]-\infty,0]\). ∎

5) a) Résolution de \(f(x)=x\)

\[f(x)=x\iff x-\ln2+\ln\!\big(1+e^{-2x}\big)=x\iff\ln\!\big(1+e^{-2x}\big)=\ln2\iff 1+e^{-2x}=2\iff e^{-2x}=1\iff x=0.\] Donc \(\mathcal S=\{0\}\). ∎

5) b) \(f(x)\le x\) sur \([0,+\infty[\)

\(f(x)-x=-\ln2+\ln\!\big(1+e^{-2x}\big)=\ln\!\left(\dfrac{1+e^{-2x}}{2}\right)\). Pour \(x\ge0\) : \(-2x\le0\), donc \(e^{-2x}\le1\), d'où \(1+e^{-2x}\le2\) et \(\dfrac{1+e^{-2x}}{2}\le1\). Ainsi \(\ln\!\left(\dfrac{1+e^{-2x}}{2}\right)\le0\), c'est-à-dire \(f(x)\le x\). ∎

5) c) Position de \((\mathscr C_f)\) et \((\Delta)\) sur \([0,+\infty[\)

\(f(x)-(x-\ln2)=\ln\!\big(1+e^{-2x}\big)\). Comme \(e^{-2x}\gt0\), on a \(1+e^{-2x}\gt1\), donc \(\ln\!\big(1+e^{-2x}\big)\gt0\). Ainsi \(f(x)\gt x-\ln2\) : la courbe \((\mathscr C_f)\) est strictement au-dessus de la droite \((\Delta)\) sur \([0,+\infty[\). ∎

5) d) Encadrement \(0\le f(x)-(x-\ln2)\le\ln2\)

On a \(f(x)-(x-\ln2)=\ln\!\big(1+e^{-2x}\big)\). D'après 5.c) cette quantité est \(\gt0\), donc \(\ge0\). Et pour \(x\ge0\), \(e^{-2x}\le1\Rightarrow1+e^{-2x}\le2\Rightarrow\ln\!\big(1+e^{-2x}\big)\le\ln2\). D'où \[0\le f(x)-(x-\ln2)\le\ln2. ∎\]

6) a) Complément graphique

La fonction \(f\) est paire : sa courbe \((\mathscr C_f)\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées \((Oy)\). On complète donc \((\mathscr C_f)\) sur \(]-\infty,0]\) par symétrie de la partie tracée sur \([0,+\infty[\), et l'on trace \((\Delta'):y=-x-\ln2\), symétrique de \((\Delta)\) par rapport à \((Oy)\). ∎

6) b) Encadrement de l'aire \(\mathscr A\)

Sur \([0,1]\), \((\mathscr C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\), donc \[\mathscr A=\int_{0}^{1}\big[f(x)-(x-\ln2)\big]\,dx\ \ (\text{u.a.}).\] D'après 5.d), pour tout \(x\in[0,1]\) : \(0\le f(x)-(x-\ln2)\le\ln2\). En intégrant sur \([0,1]\) (de longueur \(1\)), par croissance de l'intégrale : \[0\le\int_{0}^{1}\big[f(x)-(x-\ln2)\big]\,dx\le\ln2\times1,\qquad\text{soit}\qquad 0\le\mathscr A\le\ln2. ∎\]

7) a) Réciproque \(\varphi^{-1}\) et intervalle \(J\)

\(f\) est continue et strictement croissante sur \([0,+\infty[\), donc \(\varphi\) réalise une bijection de \([0,+\infty[\) sur \[J=\varphi\big([0,+\infty[\big)=\Big[\varphi(0),\ \lim_{x\to+\infty}\varphi(x)\Big[.\] Or \(\varphi(0)=f(0)=0-\ln2+\ln(1+e^{0})=-\ln2+\ln2=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=+\infty\). Donc \(J=[0,+\infty[\), et \(\varphi\) admet une fonction réciproque \(\varphi^{-1}\) définie sur \(J=[0,+\infty[\). ∎

7) b) \(\varphi^{-1}\!\left(\ln\tfrac54\right)=\ln2\)

Comme \(\ln2\in[0,+\infty[\), calculons \(\varphi(\ln2)=f(\ln2)\) : \[f(\ln2)=\ln2-\ln2+\ln\!\big(1+e^{-2\ln2}\big)=\ln\!\left(1+\tfrac14\right)=\ln\tfrac54.\] Donc \(\varphi(\ln2)=\ln\tfrac54\), d'où \(\varphi^{-1}\!\left(\ln\tfrac54\right)=\ln2\). ∎

7) c) Dérivabilité de \(\varphi^{-1}\) en \(\ln\tfrac54\)

\(\varphi\) est dérivable en \(\ln2\) et \(\varphi'(\ln2)=f'(\ln2)=\dfrac{g(\ln2)}{1+e^{2\ln2}}=\dfrac{e^{2\ln2}-1}{1+e^{2\ln2}}=\dfrac{4-1}{1+4}=\dfrac35\neq0\).

Comme \(\varphi'(\ln2)\neq0\) et \(\varphi(\ln2)=\ln\tfrac54\), la fonction \(\varphi^{-1}\) est dérivable en \(\ln\tfrac54\) et \[\big(\varphi^{-1}\big)'\!\left(\ln\tfrac54\right)=\frac{1}{\varphi'(\ln2)}=\frac{1}{3/5}=\frac53. ∎\]

1) Encadrement \(0\le u_n\le\ln2\)

Initialisation : \(u_0=\ln2\), et comme \(\ln2\gt0\), on a bien \(0\le u_0\le\ln2\) : vrai au rang \(0\).

Hérédité : supposons \(0\le u_n\le\ln2\). Sur \([0,+\infty[\), \(f\) est croissante, et \([0,\ln2]\subset[0,+\infty[\), donc \[f(0)\le f(u_n)\le f(\ln2),\qquad\text{soit}\qquad 0\le u_{n+1}\le\ln\tfrac54,\] car \(f(0)=0\) et \(f(\ln2)=\ln\tfrac54\). Or \(\dfrac54\lt2\Rightarrow\ln\tfrac54\lt\ln2\), donc \(0\le u_{n+1}\le\ln\tfrac54\le\ln2\).

Par récurrence, \(0\le u_n\le\ln2\) pour tout \(n\in\mathbb N\). ∎

2) \((u_n)\) est décroissante

D'après 5.b) de la partie II, pour tout \(x\in[0,+\infty[\) : \(f(x)\le x\). Comme \(u_n\in[0,\ln2]\subset[0,+\infty[\), \[u_{n+1}=f(u_n)\le u_n.\] Donc \((u_n)\) est décroissante. ∎

3) Convergence et limite

La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(0\) : elle est donc convergente. Notons \(\ell\) sa limite, avec \(0\le\ell\le\ln2\). La fonction \(f\) étant continue et \(u_{n+1}=f(u_n)\), la limite \(\ell\) vérifie \(f(\ell)=\ell\). Or, d'après 5.a), la seule solution de \(f(x)=x\) est \(x=0\). Donc \[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0.} ∎\]