2ᵉ Bac · Sciences Expérimentales · Examen national de mathématiques
2026 — Session normale
Télécharger le sujet officiel (PDF) ↗Corrigé détaillé de l'examen national de mathématiques — 2ᵉ Bac Sciences Expérimentales (PC & SVT), session normale 2026. L'épreuve (durée 3 h, coefficient 7) comporte trois exercices et un problème indépendants : géométrie dans l'espace (produit vectoriel, plan, droite parallèle, sphère tangente, cercle d'intersection), nombres complexes (forme trigonométrique, translation, alignement, perpendicularité, losange), probabilités (tirage simultané, événement contraire, loi de probabilité, espérance), puis un problème d'analyse de 11 points en trois parties : fonctions auxiliaires \(g(x)=1-\ln x\) et \(h(x)=x^{2}e^{x-1}\) avec intégrales et aire, étude complète de \(f(x)=e^{x-1}-\dfrac{\ln x}{x}\) (asymptotes, branche parabolique, réciproque) et une suite récurrente \(u_{n+1}=\varphi^{-1}(u_n)\). Chaque question est reprise puis résolue pas à pas. Le sujet officiel est téléchargeable en haut de page.
Exercice 1 · Géométrie dans l'espace (3 points)
L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\). On considère les points \(A(-1,0,1)\), \(B(-3,2,2)\), \(C(-1,1,2)\) et \(D(2,7,-4)\). Soit \((\Delta)\) la droite passant par le point \(D\) et dirigée par le vecteur \(\vec u(2,1,2)\).
1) a) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec i+2\vec j-2\vec k\).
b) En déduire que \(x+2y-2z+3=0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
c) Calculer \(\vec u\cdot\big(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\big)\) et en déduire que la droite \((\Delta)\) est parallèle au plan \((ABC)\).
2) Soit \((S)\) la sphère de centre \(\Omega(0,3,0)\) et tangente à la droite \((\Delta)\).
a) Vérifier que \(\overrightarrow{\Omega D}\cdot\vec u=0\) et en déduire que le rayon de la sphère \((S)\) est égal à \(6\).
b) Calculer \(d\big(\Omega,(ABC)\big)\) et en déduire que \((ABC)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\) de rayon \(r=3\sqrt3\).
c) Vérifier que \(\overrightarrow{C\Omega}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) et en déduire que le point \(C\) est le centre du cercle \((\Gamma)\).
Voir la solution
1) a) Produit vectoriel \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\)
On a \(\overrightarrow{AB}=B-A=(-2,2,1)\) et \(\overrightarrow{AC}=C-A=(0,1,1)\). Alors \[\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}2\cdot1-1\cdot1\\[2pt]1\cdot0-(-2)\cdot1\\[2pt](-2)\cdot1-2\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}=\vec i+2\vec j-2\vec k. ∎\]
1) b) Équation du plan \((ABC)\)
Le vecteur \(\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(1,2,-2)\) est normal au plan \((ABC)\) ; celui-ci a donc une équation de la forme \(x+2y-2z+d=0\). Comme \(A(-1,0,1)\in(ABC)\) : \[-1+2\cdot0-2\cdot1+d=0\ \Longrightarrow\ -3+d=0\ \Longrightarrow\ d=3.\] Donc \((ABC)\ :\ x+2y-2z+3=0\). ∎
1) c) \((\Delta)\) parallèle à \((ABC)\)
\[\vec u\cdot\big(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\big)=(2,1,2)\cdot(1,2,-2)=2+2-4=0.\] Le vecteur directeur \(\vec u\) de \((\Delta)\) est donc orthogonal au vecteur normal \(\vec n\) du plan \((ABC)\) : la droite \((\Delta)\) est donc parallèle au plan \((ABC)\).
2) a) \(\overrightarrow{\Omega D}\cdot\vec u=0\) et rayon
\(\overrightarrow{\Omega D}=D-\Omega=(2-0,\,7-3,\,-4-0)=(2,4,-4)\). Alors \[\overrightarrow{\Omega D}\cdot\vec u=2\cdot2+4\cdot1+(-4)\cdot2=4+4-8=0.\] Ainsi \(\overrightarrow{\Omega D}\perp\vec u\) : la droite \((\Delta)\) (qui passe par \(D\)) est perpendiculaire à \([\Omega D]\) au point \(D\). Le point \(D\) est donc le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((\Delta)\), et \[d\big(\Omega,(\Delta)\big)=\Omega D=\sqrt{2^{2}+4^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{36}=6.\] La sphère \((S)\) étant tangente à \((\Delta)\), son rayon vaut cette distance : \(\boxed{R=6}\). ∎
2) b) Distance de \(\Omega\) au plan \((ABC)\) et cercle \((\Gamma)\)
\[d\big(\Omega,(ABC)\big)=\frac{|0+2\cdot3-2\cdot0+3|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{|9|}{\sqrt9}=\frac{9}{3}=3.\] Comme \(d\big(\Omega,(ABC)\big)=3\lt R=6\), le plan \((ABC)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\) de rayon \[r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt3. ∎\]
2) c) \(C\) centre du cercle \((\Gamma)\)
\(\overrightarrow{C\Omega}=\Omega-C=(0-(-1),\,3-1,\,0-2)=(1,2,-2)=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\). ∎
Le vecteur \(\overrightarrow{C\Omega}\) est donc égal au vecteur normal \(\vec n\) du plan \((ABC)\) : la droite \((C\Omega)\) est orthogonale au plan \((ABC)\). De plus \(C\in(ABC)\) car \((-1)+2\cdot1-2\cdot2+3=-1+2-4+3=0\).
Exercice 2 · Nombres complexes (3,5 points)
On considère dans le plan complexe les points \(A\), \(B\) et \(C\) d'affixes respectives \[a=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12\,i,\qquad b=e^{i\frac{\pi}{12}},\qquad c=1.\]
1) a) Écrire le nombre complexe \(a\) sous forme trigonométrique.
b) Vérifier que \(b^{2}=a\) et que \(b\,\bar b=1\).
c) Montrer que \(a-1=(2-\sqrt3)\,i\,(a+1)\).
2) Soit \(T\) la translation de vecteur \(\overrightarrow{OC}\) et \(D\) le point d'affixe \(d\) tel que \(T(A)=D\).
a) Vérifier que \(d=b(b+\bar b)\) et en déduire que les points \(O\), \(B\) et \(D\) sont alignés.
b) En déduire que \(\arg(d)\equiv\dfrac{\pi}{12}\ [2\pi]\).
3) a) Vérifier que \(\dfrac{a-c}{d}=(2-\sqrt3)\,i\) et en déduire que les droites \((AC)\) et \((OD)\) sont perpendiculaires.
b) Montrer que le quadrilatère \(OCDA\) est un losange.
Voir la solution
1) a) Forme trigonométrique de \(a\)
\(|a|=\sqrt{\left(\tfrac{\sqrt3}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac12\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac34+\tfrac14}=1\). On factorise par le module : \[a=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12\,i=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}=e^{i\frac{\pi}{6}}. ∎\]
1) b) \(b^{2}=a\) et \(b\,\bar b=1\)
\(b^{2}=\big(e^{i\frac{\pi}{12}}\big)^{2}=e^{i\frac{2\pi}{12}}=e^{i\frac{\pi}{6}}=a\). ✓
\(b\,\bar b=|b|^{2}=\big|e^{i\frac{\pi}{12}}\big|^{2}=1^{2}=1\). ✓ ∎
1) c) \(a-1=(2-\sqrt3)\,i\,(a+1)\)
D'une part \(a-1=\dfrac{\sqrt3}{2}-1+\dfrac12 i=\dfrac{\sqrt3-2}{2}+\dfrac12 i\).
D'autre part \(a+1=\dfrac{\sqrt3+2}{2}+\dfrac12 i\), donc \[(2-\sqrt3)\,i\,(a+1)=(2-\sqrt3)\,i\left(\frac{\sqrt3+2}{2}+\frac12 i\right)=(2-\sqrt3)\left(-\frac12+\frac{\sqrt3+2}{2}\,i\right).\] Le terme réel : \(-\dfrac{2-\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt3-2}{2}\). Le terme imaginaire : \(\dfrac{(2-\sqrt3)(\sqrt3+2)}{2}=\dfrac{(2)^{2}-(\sqrt3)^{2}}{2}=\dfrac{4-3}{2}=\dfrac12\). D'où \[(2-\sqrt3)\,i\,(a+1)=\frac{\sqrt3-2}{2}+\frac12 i=a-1. ∎\]
2) a) \(d=b(b+\bar b)\) et alignement de \(O\), \(B\), \(D\)
L'écriture complexe de la translation \(T\) de vecteur \(\overrightarrow{OC}\) est \(z'=z+z_{\overrightarrow{OC}}\) avec \(z_{\overrightarrow{OC}}=c-0=1\), donc \(z'=z+1\). Ainsi \(T(A)=D\) donne \(d=a+1\).
D'après 1.b), \(a=b^{2}\) et \(1=b\,\bar b\), donc \[d=a+1=b^{2}+b\,\bar b=b(b+\bar b). ∎\]
Or \(b+\bar b=2\,\mathrm{Re}(b)=2\cos\dfrac{\pi}{12}\) est un réel (et \(2\cos\tfrac{\pi}{12}\gt0\)). En posant \(k=2\cos\tfrac{\pi}{12}\in\mathbb R^{*}_{+}\), on a \(d=k\,b\), c'est-à-dire \(\overrightarrow{OD}=k\,\overrightarrow{OB}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{OD}\) et \(\overrightarrow{OB}\) sont colinéaires : les points \(O\), \(B\) et \(D\) sont alignés. ∎
2) b) Argument de \(d\)
Comme \(d=2\cos\dfrac{\pi}{12}\cdot b\) avec \(2\cos\dfrac{\pi}{12}\gt0\), \[\arg(d)\equiv\arg(b)\ [2\pi]\equiv\frac{\pi}{12}\ [2\pi]. ∎\]
3) a) \(\dfrac{a-c}{d}=(2-\sqrt3)\,i\) et perpendicularité
On a \(c=1\) et \(d=a+1\). Donc \(\dfrac{a-c}{d}=\dfrac{a-1}{a+1}\). D'après 1.c), \(a-1=(2-\sqrt3)\,i\,(a+1)\), d'où \[\frac{a-c}{d}=\frac{a-1}{a+1}=(2-\sqrt3)\,i. ∎\]
Or \(\dfrac{a-c}{d}=\dfrac{z_A-z_C}{z_D-z_O}\). Passons aux arguments : \(\arg\!\left(\dfrac{z_A-z_C}{z_D-z_O}\right)\equiv\arg\big((2-\sqrt3)\,i\big)\ [2\pi]\). Comme \(2-\sqrt3\gt0\) (car \(2=\sqrt4\gt\sqrt3\)), on a \(\arg\big((2-\sqrt3)\,i\big)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\). Ainsi \[\big(\overrightarrow{OD},\,\overrightarrow{CA}\big)\equiv\frac{\pi}{2}\ [2\pi],\] ce qui signifie que les droites \((AC)\) et \((OD)\) sont perpendiculaires. ∎
3) b) \(OCDA\) est un losange
Comme \(T(A)=D\), on a \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OC}\) : le quadrilatère \(OCDA\) est donc un parallélogramme (deux côtés opposés \([OC]\) et \([AD]\) égaux et parallèles).
Dans ce parallélogramme, les diagonales sont \((OD)\) et \((CA)\). D'après 3.a), \((AC)\perp(OD)\) : les diagonales sont perpendiculaires.
Exercice 3 · Calcul des probabilités (2,5 points)
Une urne contient cinq boules blanches, quatre boules noires et deux boules vertes, toutes indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. On considère les événements :
- \(A\) : « les trois boules tirées sont de même couleur » ;
- \(B\) : « tirer au moins une boule verte ».
1) a) Montrer que \(p(A)=\dfrac{14}{165}\).
b) Calculer \(p(\bar B)\), probabilité de l'événement contraire de \(B\), et en déduire que \(p(B)=\dfrac{27}{55}\).
2) Calculer la probabilité \(p(A\cup B)\).
3) On considère la variable aléatoire \(X\) qui associe à chaque tirage le nombre de boules vertes tirées.
a) Recopier et compléter le tableau de la loi de probabilité de \(X\) (valeurs \(0\), \(1\), \(2\)).
b) Montrer que l'espérance de \(X\) est \(E(X)=\dfrac{6}{11}\).
Voir la solution
L'urne contient \(5+4+2=11\) boules ; on en tire \(3\) simultanément, donc \[\operatorname{card}(\Omega)=\binom{11}{3}=\frac{11\cdot10\cdot9}{6}=165.\]
1) a) \(p(A)=\dfrac{14}{165}\)
« Trois boules de même couleur » = trois blanches, ou trois noires, ou trois vertes. Or il n'y a que \(2\) boules vertes : impossible d'en tirer trois. Donc \[\operatorname{card}(A)=\binom{5}{3}+\binom{4}{3}+\binom{2}{3}=10+4+0=14,\qquad p(A)=\frac{14}{165}. ∎\]
1) b) \(p(\bar B)\) et \(p(B)\)
\(\bar B\) : « aucune boule verte », soit trois boules choisies parmi les \(11-2=9\) boules non vertes : \[\operatorname{card}(\bar B)=\binom{9}{3}=84,\qquad p(\bar B)=\frac{84}{165}=\frac{28}{55}.\] Donc \(p(B)=1-p(\bar B)=1-\dfrac{28}{55}=\dfrac{27}{55}\). ∎
2) \(p(A\cup B)\)
\(p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)\). L'événement \(A\cap B\) : « trois boules de même couleur et au moins une verte » = « trois boules vertes », impossible (seulement \(2\) vertes). Donc \(p(A\cap B)=0\) et \[p(A\cup B)=\frac{14}{165}+\frac{27}{55}-0=\frac{14}{165}+\frac{81}{165}=\frac{95}{165}=\frac{19}{33}. ∎\]
3) a) Loi de probabilité de \(X\)
\(X\in\{0,1,2\}\) (nombre de boules vertes parmi les \(3\) tirées, il y a \(2\) vertes et \(9\) non vertes).
- \(p(X=0)=\dfrac{\binom{2}{0}\binom{9}{3}}{165}=\dfrac{84}{165}=\dfrac{28}{55}\) ;
- \(p(X=1)=\dfrac{\binom{2}{1}\binom{9}{2}}{165}=\dfrac{2\cdot36}{165}=\dfrac{72}{165}=\dfrac{24}{55}\) ;
- \(p(X=2)=\dfrac{\binom{2}{2}\binom{9}{1}}{165}=\dfrac{9}{165}=\dfrac{3}{55}\).
3) b) Espérance \(E(X)\)
\[E(X)=\sum_i x_i\,p(X=x_i)=0\cdot\frac{28}{55}+1\cdot\frac{24}{55}+2\cdot\frac{3}{55}=\frac{24+6}{55}=\frac{30}{55}=\frac{6}{11}. ∎\]
Problème · Analyse (11 points)
On considère les fonctions numériques \(g\) et \(h\) définies sur \(]0,+\infty[\) par \[g(x)=1-\ln x\qquad\text{et}\qquad h(x)=x^{2}e^{x-1}.\]
1) a) Calculer \(g(1)\) et \(h(1)\).
b) Résoudre l'équation \(g(x)=0\) dans l'intervalle \(]0,+\infty[\).
2) Les courbes \((\mathscr C_g)\) et \((\mathscr C_h)\) sont représentées dans un même repère orthonormé.
a) Justifier graphiquement que pour tout \(x\in]0,1[\) : \(h(x)-g(x)\lt0\), et pour tout \(x\in]1,+\infty[\) : \(h(x)-g(x)\gt0\).
b) En utilisant une intégration par parties, montrer que \(\displaystyle\int_{1}^{e}g(x)\,dx=e-2\).
c) Vérifier que la fonction \(H:x\mapsto e^{x-1}(x^{2}-2x+2)\) est une primitive de \(h\) sur \(]0,+\infty[\), puis calculer \(\displaystyle\int_{0}^{1}h(x)\,dx\).
d) Calculer l'aire du domaine hachuré sur le graphique (en unité d'aire).
Voir la solution — Partie I
1) a) \(g(1)\) et \(h(1)\)
\(g(1)=1-\ln1=1\) et \(h(1)=1^{2}\,e^{1-1}=e^{0}=1\). Donc \(g(1)=h(1)=1\). ∎
1) b) Résolution de \(g(x)=0\)
\(g(x)=0\iff1-\ln x=0\iff\ln x=1\iff x=e\). Donc \(\mathcal S=\{e\}\). ∎
2) a) Signe de \(h(x)-g(x)\)
Les deux courbes se coupent au point d'abscisse \(x=1\) (car \(g(1)=h(1)=1\)). Sur le graphique :
- pour \(x\in]0,1[\), la courbe \((\mathscr C_h)\) est en dessous de \((\mathscr C_g)\), donc \(h(x)\lt g(x)\), c'est-à-dire \(h(x)-g(x)\lt0\) ;
- pour \(x\in]1,+\infty[\), la courbe \((\mathscr C_h)\) est au-dessus de \((\mathscr C_g)\), donc \(h(x)\gt g(x)\), c'est-à-dire \(h(x)-g(x)\gt0\). ∎
2) b) \(\displaystyle\int_{1}^{e}g(x)\,dx=e-2\)
\[\int_{1}^{e}g(x)\,dx=\int_{1}^{e}(1-\ln x)\,dx=\big[x\big]_{1}^{e}-\int_{1}^{e}\ln x\,dx=(e-1)-\int_{1}^{e}\ln x\,dx.\] On calcule \(\displaystyle\int_{1}^{e}\ln x\,dx\) par parties, avec \(u(x)=\ln x\), \(v'(x)=1\), donc \(u'(x)=\dfrac1x\), \(v(x)=x\) : \[\int_{1}^{e}\ln x\,dx=\big[x\ln x\big]_{1}^{e}-\int_{1}^{e}x\cdot\frac1x\,dx=\big[x\ln x-x\big]_{1}^{e}=(e-e)-(0-1)=1.\] Ainsi \(\displaystyle\int_{1}^{e}g(x)\,dx=(e-1)-1=e-2\). ∎
2) c) Primitive \(H\) et \(\displaystyle\int_{0}^{1}h(x)\,dx\)
\(H\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et \[H'(x)=e^{x-1}(x^{2}-2x+2)+e^{x-1}(2x-2)=e^{x-1}\big(x^{2}-2x+2+2x-2\big)=e^{x-1}\,x^{2}=h(x).\] Donc \(H\) est une primitive de \(h\) sur \(]0,+\infty[\). Par suite \[\int_{0}^{1}h(x)\,dx=\big[H(x)\big]_{0}^{1}=H(1)-H(0)=e^{0}(1-2+2)-e^{-1}(0-0+2)=1-\frac{2}{e}. ∎\]
2) d) Aire du domaine hachuré
Le domaine hachuré est limité, entre \(x=0\) et \(x=e\), par l'axe des abscisses et par la plus basse des deux courbes : \((\mathscr C_h)\) sur \([0,1]\) (où \(0\le h\le g\)) puis \((\mathscr C_g)\) sur \([1,e]\) (où \(g\) décroît de \(1\) à \(0\)). Comme \(h(x)\ge0\) sur \([0,1]\) et \(g(x)\ge0\) sur \([1,e]\), \[\mathcal A=\left(\int_{0}^{1}h(x)\,dx+\int_{1}^{e}g(x)\,dx\right)\text{u.a.}=\left(1-\frac{2}{e}+e-2\right)\text{u.a.}=\boxed{\left(e-1-\frac{2}{e}\right)\text{u.a.}}\ ∎\]
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=e^{x-1}-\dfrac{\ln x}{x}\), et \((\mathscr C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\).
1) a) Vérifier que \(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}f(x)=+\infty\), puis interpréter géométriquement ce résultat.
b) Vérifier que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
c) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty\), puis interpréter géométriquement ce résultat.
2) a) Montrer que pour tout \(x\in]0,+\infty[\) : \(f'(x)=\dfrac{h(x)-g(x)}{x^{2}}\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(]0,+\infty[\) (on peut utiliser la question 2.a de la partie I).
c) En déduire que pour tout \(x\in]0,+\infty[\) : \(e^{x-1}\ge1+\dfrac{\ln x}{x}\).
3) Montrer que l'équation \(f(x)=x\) admet une solution \(\alpha\) telle que \(\dfrac32\lt\alpha\lt2\) (on donne \(f(2)\approx2{,}37\) et \(f\!\left(\dfrac32\right)\approx1{,}38\)).
4) Soit \(\varphi\) la restriction de \(f\) sur l'intervalle \([1,+\infty[\).
a) Montrer que \(\varphi\) admet une fonction réciproque \(\varphi^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) que l'on déterminera.
b) Justifier que \(\varphi^{-1}\) est strictement croissante sur \(J\).
5) \((\mathscr C_\varphi)\) et la droite \((\Delta):y=x\) sont représentées dans un repère orthonormé.
a) Justifier graphiquement que pour tout \(x\in[1,\alpha]\) : \(\varphi(x)\le x\).
b) En déduire que pour tout \(x\in[1,\alpha]\) : \(\varphi^{-1}(x)\ge x\).
c) Reproduire la courbe \((\mathscr C_\varphi)\) et tracer la courbe \((\mathscr C_{\varphi^{-1}})\) dans un même repère.
Voir la solution — Partie II
1) a) \(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}f(x)=+\infty\)
Quand \(x\to0^{+}\) : \(e^{x-1}\to e^{-1}\). Pour \(\dfrac{\ln x}{x}\) : \(\ln x\to-\infty\) et \(\dfrac1x\to+\infty\), donc \(\dfrac{\ln x}{x}\to-\infty\), d'où \(-\dfrac{\ln x}{x}\to+\infty\). Par somme \[\lim_{x\to0^{+}}f(x)=e^{-1}+(+\infty)=+\infty.\] Interprétation : la courbe \((\mathscr C_f)\) admet une asymptote verticale d'équation \(x=0\) (l'axe des ordonnées). ∎
1) b) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
Quand \(x\to+\infty\) : \(e^{x-1}=\dfrac1e\,e^{x}\to+\infty\) et \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\). Donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\). ∎
1) c) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty\)
\[\frac{f(x)}{x}=\frac{e^{x-1}}{x}-\frac{\ln x}{x^{2}}=\frac1e\cdot\frac{e^{x}}{x}-\frac{\ln x}{x^{2}}.\] Or \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x}=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{2}}=0\). Donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty\).
Interprétation : la courbe \((\mathscr C_f)\) admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées \((Oy)\) au voisinage de \(+\infty\). ∎
2) a) \(f'(x)=\dfrac{h(x)-g(x)}{x^{2}}\)
\(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et, en dérivant le quotient \(\dfrac{\ln x}{x}\) : \[f'(x)=e^{x-1}-\frac{\frac1x\cdot x-\ln x\cdot1}{x^{2}}=e^{x-1}-\frac{1-\ln x}{x^{2}}=\frac{x^{2}e^{x-1}-(1-\ln x)}{x^{2}}=\frac{h(x)-g(x)}{x^{2}}. ∎\]
2) b) Tableau de variations de \(f\)
Le dénominateur \(x^{2}\gt0\), donc \(f'(x)\) a le signe de \(h(x)-g(x)\). D'après la partie I (2.a) : \(f'(x)\lt0\) sur \(]0,1[\), \(f'(1)=0\), \(f'(x)\gt0\) sur \(]1,+\infty[\). De plus \(f(1)=e^{0}-\dfrac{\ln1}{1}=1\), \(\displaystyle\lim_{0^{+}}f=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\).
2) c) \(e^{x-1}\ge1+\dfrac{\ln x}{x}\)
D'après le tableau, pour tout \(x\in]0,+\infty[\) : \(f(x)\ge f(1)=1\), soit \(e^{x-1}-\dfrac{\ln x}{x}\ge1\), c'est-à-dire \[e^{x-1}\ge1+\frac{\ln x}{x}. ∎\]
3) Existence de \(\alpha\) avec \(\dfrac32\lt\alpha\lt2\)
Posons \(w(x)=f(x)-x\), continue sur \(\left[\dfrac32,2\right]\) (car \(f\) l'est). On a \[w\!\left(\tfrac32\right)=f\!\left(\tfrac32\right)-\tfrac32\approx1{,}38-1{,}5=-0{,}12\lt0,\qquad w(2)=f(2)-2\approx2{,}37-2=0{,}37\gt0.\] \(w\) est continue et change de signe sur \(\left[\dfrac32,2\right]\) : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \(\alpha\in\left]\dfrac32,2\right[\) tel que \(w(\alpha)=0\), c'est-à-dire \(f(\alpha)=\alpha\). ∎
4) a) Réciproque \(\varphi^{-1}\) et intervalle \(J\)
\(f\) est continue et strictement croissante sur \([1,+\infty[\), donc \(\varphi\) l'est aussi : \(\varphi\) réalise une bijection de \([1,+\infty[\) sur \[J=\varphi\big([1,+\infty[\big)=\Big[\varphi(1),\ \lim_{x\to+\infty}\varphi(x)\Big[=\big[f(1),+\infty\big[=[1,+\infty[.\] Donc \(\varphi\) admet une fonction réciproque \(\varphi^{-1}\) définie sur \(J=[1,+\infty[\). ∎
4) b) \(\varphi^{-1}\) strictement croissante
\(\varphi\) est strictement croissante sur \([1,+\infty[\), donc sa réciproque \(\varphi^{-1}\) est également strictement croissante sur \(J\). ∎
5) a) \(\varphi(x)\le x\) sur \([1,\alpha]\)
Graphiquement, sur \([1,\alpha]\), la courbe \((\mathscr C_\varphi)\) est située sous la droite \((\Delta):y=x\). Donc pour tout \(x\in[1,\alpha]\) : \(\varphi(x)\le x\). ∎
5) b) \(\varphi^{-1}(x)\ge x\) sur \([1,\alpha]\)
Pour \(x\in[1,\alpha]\), on a \(\varphi(x)\le x\), et \(\varphi(x)\in[1,\alpha]\subset J\). En appliquant \(\varphi^{-1}\), strictement croissante, on obtient \(\varphi^{-1}(\varphi(x))\le\varphi^{-1}(x)\), c'est-à-dire \(x\le\varphi^{-1}(x)\). Donc \(\varphi^{-1}(x)\ge x\) sur \([1,\alpha]\). ∎
5) c) Tracé de \((\mathscr C_{\varphi^{-1}})\)
La courbe \((\mathscr C_{\varphi^{-1}})\) est le symétrique de \((\mathscr C_\varphi)\) par rapport à la droite \((\Delta):y=x\) (première bissectrice). On la trace donc en réfléchissant \((\mathscr C_\varphi)\) par rapport à \((\Delta)\) ; les deux courbes se coupent sur \((\Delta)\) aux points d'abscisses \(1\) et \(\alpha\). ∎
Soit la suite numérique \((u_n)\) définie par \(u_0\in]1,\alpha[\) et \(u_{n+1}=\varphi^{-1}(u_n)\) pour tout \(n\in\mathbb N\).
1) Montrer par récurrence que \(1\lt u_n\lt\alpha\) pour tout \(n\in\mathbb N\).
2) Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante (on peut utiliser la question 5.b de la partie II).
3) En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.
Voir la solution — Partie III
1) Encadrement \(1\lt u_n\lt\alpha\)
Initialisation : \(u_0\in]1,\alpha[\), donc \(1\lt u_0\lt\alpha\) : vrai au rang \(0\).
Hérédité : supposons \(1\lt u_n\lt\alpha\). La fonction \(\varphi^{-1}\) est strictement croissante sur \([1,+\infty[\), donc \[\varphi^{-1}(1)\lt\varphi^{-1}(u_n)\lt\varphi^{-1}(\alpha).\] Or \(\varphi(1)=f(1)=1\) donne \(\varphi^{-1}(1)=1\), et \(\varphi(\alpha)=f(\alpha)=\alpha\) donne \(\varphi^{-1}(\alpha)=\alpha\). Ainsi \(1\lt u_{n+1}\lt\alpha\).
Par récurrence, \(1\lt u_n\lt\alpha\) pour tout \(n\in\mathbb N\). ∎
2) \((u_n)\) est croissante
D'après la question 5.b de la partie II, \(\varphi^{-1}(x)\ge x\) pour tout \(x\in[1,\alpha]\). Comme \(u_n\in]1,\alpha[\subset[1,\alpha]\), \[u_{n+1}=\varphi^{-1}(u_n)\ge u_n,\qquad\text{donc}\qquad u_{n+1}-u_n\ge0.\] La suite \((u_n)\) est donc croissante. ∎
3) Convergence et limite
La suite \((u_n)\) est croissante et majorée par \(\alpha\) : elle est donc convergente. Notons \(\ell\) sa limite, avec \(1\lt\ell\le\alpha\). Comme \(\varphi^{-1}\) est continue et \(u_{n+1}=\varphi^{-1}(u_n)\), la limite \(\ell\) vérifie \(\varphi^{-1}(\ell)=\ell\), c'est-à-dire \(\varphi(\ell)=\ell\), soit \(f(\ell)=\ell\).
Les solutions de \(f(x)=x\) sur \([1,\alpha]\) sont \(x=1\) et \(x=\alpha\) (points où \((\mathscr C_\varphi)\) rencontre \((\Delta)\)). Comme \(\ell\gt1\), on conclut \[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha.} ∎\]
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