Calculer une intégrale : intégration par parties et changement de variable

Calculer une intégrale revient à trouver une primitive, puis à remplacer les bornes. Le vrai défi est donc de trouver la primitive. Quand elle ne saute pas aux yeux, deux techniques du programme de terminale débloquent la plupart des situations : l'intégration par parties et le changement de variable. Voici comment les choisir et les appliquer.

D'abord, chercher une primitive directe

Avant toute technique lourde, vérifie si l'expression correspond à une forme usuelle : une somme de fonctions connues, ou une forme composée comme u′eᵘ, u′/u ou u′uⁿ. Reconnaître ces motifs évite bien des calculs inutiles. C'est le tout premier réflexe à avoir devant une intégrale.

• u′/u a pour primitive ln|u|.
• u′eᵘ a pour primitive eᵘ.
• u′uⁿ a pour primitive uⁿ⁺¹/(n+1).

L'intégration par parties

L'intégration par parties sert à intégrer un produit, typiquement un polynôme multiplié par une exponentielle, un logarithme ou une fonction trigonométrique. On pose une partie que l'on dérive (u) et une autre que l'on intègre (v′), puis on applique la formule. Le bon choix de u est celui qui se simplifie en dérivant : souvent le polynôme, ou le logarithme quand il est présent.

• Choisis u de sorte que sa dérivée soit plus simple.
• Un logarithme se met presque toujours en u.
• Parfois, il faut appliquer la méthode deux fois de suite.

Le changement de variable

Le changement de variable consiste à poser une nouvelle inconnue (souvent t égale à une expression présente dans l'intégrale) pour se ramener à une intégrale plus simple. Il faut alors exprimer dx en fonction de dt ET changer les bornes en conséquence. C'est l'oubli du changement de bornes qui coûte le plus de points.

• Pose t égal à l'expression « gênante » de l'intégrale.
• Remplace dx et surtout adapte les deux bornes.
• Vérifie que la nouvelle intégrale est réellement plus simple.

Simplifier grâce à la parité

Sur un intervalle symétrique de la forme [−a, a], la parité de la fonction fait gagner du temps : l'intégrale d'une fonction impaire y est nulle, et celle d'une fonction paire vaut le double de l'intégrale sur [0, a]. Repérer une symétrie avant de calculer évite souvent un long détour.