Résoudre les équations et inéquations avec ln et exponentielle

Les fonctions logarithme et exponentielle sont réciproques l'une de l'autre, ce qui permet de passer de l'une à l'autre pour résoudre une équation. Mais ces exercices piègent sur deux points : le domaine de définition et le sens des inégalités. Avec une méthode rigoureuse, ils deviennent très abordables.

Toujours commencer par le domaine

Le logarithme n'existe que pour des arguments strictement positifs. Avant toute chose, détermine donc l'ensemble des valeurs pour lesquelles chaque ln est défini : c'est le domaine de résolution. Une solution trouvée hors de ce domaine doit être rejetée à la fin. Oublier cette étape est l'erreur numéro un sur ce type d'exercice.

• Écris les conditions du type « argument > 0 » avant de résoudre.
• Intersecte toutes les conditions pour obtenir le domaine.
• Vérifie chaque solution finale contre ce domaine.

Passer de ln à exp, et inversement

Pour résoudre une équation avec des logarithmes, on la ramène souvent à ln(A) = ln(B), qui équivaut à A = B dans le domaine. Symétriquement, une équation avec exponentielles se ramène à eᴬ = eᴮ, équivalent à A = B. C'est parce que ces fonctions sont strictement monotones que ce passage est légitime.

• ln(A) = ln(B) équivaut à A = B, avec A > 0 et B > 0.
• eᴬ = eᴮ équivaut à A = B, sans condition de domaine.
• ln(A) = b équivaut à A = eᵇ ; eᴬ = c (avec c > 0) équivaut à A = ln(c).

Le piège du sens de l'inégalité

Pour une inéquation, le passage à l'exponentielle ou au logarithme conserve le sens de l'inégalité, car ces deux fonctions sont strictement croissantes. Ainsi ln(A) < ln(B) équivaut à A < B dans le domaine. Le sens ne change jamais ici — contrairement au cas où l'on multiplierait par un nombre négatif. Reste seulement vigilant sur le domaine, qui peut restreindre l'ensemble des solutions.

Poser un changement d'inconnue

Quand une équation contient par exemple e²ˣ et eˣ, pose X = eˣ (avec X > 0) pour te ramener à une équation du second degré en X. Tu résous en X, puis tu reviens à x par x = ln(X), en ne gardant que les solutions X strictement positives. Cette astuce transforme un problème intimidant en un exercice classique.