Arithmétique dans ℕ (1ʳᵉ Bac SM) : résumé de cours

L'arithmétique dans ℕ a une saveur particulière : on y raisonne sur les entiers, avec des outils propres et une grande place laissée à la démonstration. C'est un chapitre où la rigueur logique du début d'année trouve tout son sens. Voici l'essentiel.

Divisibilité et division euclidienne

On dit que b divise a (noté b | a) s'il existe un entier k tel que a = k·b. La division euclidienne, elle, est le socle du chapitre : pour tout entier a et tout entier b non nul, il existe un unique couple (q, r) tel que a = b·q + r avec 0 ≤ r < b. Le reste r est ce qui décide de la divisibilité : b divise a exactement quand r = 0.

PGCD et PPCM

Le PGCD de deux entiers est leur plus grand diviseur commun, le PPCM leur plus petit multiple commun non nul. Pour calculer le PGCD, l'algorithme d'Euclide est imbattable : on remplace (a, b) par (b, r) où r est le reste de a par b, et on recommence jusqu'à un reste nul ; le dernier reste non nul est le PGCD. Une relation utile relie les deux : PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b.

Les nombres premiers

Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à 2 qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Leur importance vient d'un théorème fondamental : tout entier supérieur ou égal à 2 se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers. Cette décomposition permet de retrouver rapidement le PGCD et le PPCM, et il existe une infinité de nombres premiers.

Nombres premiers entre eux, Bézout et Gauss

Deux entiers sont premiers entre eux quand leur PGCD vaut 1. Deux théorèmes majeurs en découlent. Le théorème de Bézout : a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe des entiers u et v tels que a·u + b·v = 1. Le théorème de Gauss : si a divise le produit b·c et si a est premier avec b, alors a divise c. Ces deux résultats sont les outils clés pour résoudre les équations en nombres entiers.

Un exemple résolu : le PGCD par l'algorithme d'Euclide

Cherchons le PGCD de 126 et 90. On divise : 126 = 90 × 1 + 36, puis 90 = 36 × 2 + 18, puis 36 = 18 × 2 + 0. Le dernier reste non nul est 18, donc PGCD(126, 90) = 18. On en déduit aussitôt le PPCM : PPCM(126, 90) = (126 × 90) / 18 = 630.