Le barycentre dans le plan (1ʳᵉ Bac) : résumé de cours

Le barycentre est le point d'équilibre d'un système de points affectés de coefficients. C'est un outil géométrique puissant : il simplifie les calculs de points remarquables (centre de gravité, milieu) et sert de pont entre la géométrie et le calcul vectoriel. Voici l'essentiel.

Point pondéré et barycentre

Un point pondéré est un couple formé d'un point et d'un coefficient, par exemple (A, α). Le barycentre G des points pondérés (A, α) et (B, β) existe à condition que la somme des coefficients soit non nulle : α + β ≠ 0. Intuitivement, G se place d'autant plus près de A que le coefficient α est grand.

La relation caractéristique

Le barycentre G est défini par la relation vectorielle : α fois le vecteur GA plus β fois le vecteur GB est égal au vecteur nul. On en déduit la propriété la plus utile en pratique, dite de réduction : pour tout point M du plan, α fois le vecteur MA plus β fois le vecteur MB est égal à (α + β) fois le vecteur MG. C'est cette égalité qui permet de « réduire » une somme vectorielle à un seul vecteur.

Les coordonnées du barycentre

Dans un repère, les coordonnées de G se calculent comme une moyenne pondérée des coordonnées des points : xG = (α·xA + β·xB) / (α + β) et de même pour yG. Cas particulier essentiel : quand les coefficients sont égaux, G est l'isobarycentre. L'isobarycentre de deux points est leur milieu ; celui des trois sommets d'un triangle est son centre de gravité.

L'associativité du barycentre

La propriété d'associativité permet de remplacer plusieurs points par leur barycentre partiel sans changer le résultat. Pour un système de trois points, on peut d'abord regrouper deux d'entre eux en leur barycentre, affecté de la somme de leurs coefficients, puis conclure. C'est ce qui rend la recherche du centre de gravité d'un triangle aussi rapide.

Un exemple résolu

Soit A(1, 2) et B(4, −1). Cherchons le barycentre G de (A, 2) et (B, 1). La somme des coefficients vaut 2 + 1 = 3 ≠ 0, donc G existe. On calcule xG = (2×1 + 1×4) / 3 = 6/3 = 2 et yG = (2×2 + 1×(−1)) / 3 = 3/3 = 1. Donc G a pour coordonnées (2, 1), plus proche de A que de B, comme attendu.