La dérivabilité (1ʳᵉ Bac) : résumé de cours

La dérivabilité est l'un des outils les plus puissants de l'analyse : elle transforme l'étude des variations d'une fonction, souvent délicate, en un simple calcul de signe. C'est le chapitre à maîtriser absolument avant la 2ᵉ Bac. Voici l'essentiel.

Le nombre dérivé

Le nombre dérivé de f en a, noté f′(a), est la limite du taux d'accroissement (f(x) − f(a)) / (x − a) quand x tend vers a. Géométriquement, c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a : il mesure la pente locale de la courbe.

L'équation de la tangente

Une fois f′(a) connu, la tangente à la courbe au point d'abscisse a a pour équation y = f′(a)·(x − a) + f(a). C'est une formule à connaître par cœur : elle revient dans presque tous les exercices d'étude de fonction.

Les dérivées usuelles

Quelques dérivées sont à mémoriser : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, (√x)′ = 1 / (2√x), (1/x)′ = −1 / x², et pour la trigonométrie (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x. La dérivée d'une constante est nulle, et celle de x est 1.

Les opérations sur les dérivées

On combine ces dérivées avec les règles de calcul : la dérivée d'une somme est la somme des dérivées ; (u·v)′ = u′·v + u·v′ pour un produit ; et (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v² pour un quotient. Ces trois règles suffisent à dériver la plupart des fonctions du programme.

Dérivée et sens de variation

C'est le résultat central du chapitre : sur un intervalle, si f′ est positive, alors f est croissante ; si f′ est négative, f est décroissante. Un point où la dérivée s'annule en changeant de signe correspond à un extremum (maximum ou minimum). Étudier les variations d'une fonction revient donc à étudier le signe de sa dérivée.

Un exemple résolu

Soit f(x) = x² − 4x + 3. Sa dérivée est f′(x) = 2x − 4, qui s'annule en x = 2. Pour x < 2, f′(x) < 0 : f décroît ; pour x > 2, f′(x) > 0 : f croît. La fonction admet donc un minimum en x = 2, de valeur f(2) = 4 − 8 + 3 = −1.