Les ensembles de nombres (Tronc Commun) : résumé de cours

Le chapitre des ensembles de nombres ouvre le programme du Tronc Commun, et il est bien plus important qu'il n'en a l'air : c'est ici qu'on apprend à calculer proprement dans ℝ, avec les racines, la valeur absolue et les intervalles. Ces réflexes serviront toute l'année, puis tout le lycée. Voici l'essentiel à retenir.

La chaîne des ensembles de nombres

On classe les nombres dans des ensembles emboîtés les uns dans les autres : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Chaque ensemble contient le précédent et ajoute de nouveaux nombres.

• ℕ : les entiers naturels (0, 1, 2, 3, …).
• ℤ : les entiers relatifs, qui ajoutent les négatifs (…, −2, −1, 0, 1, 2, …).
• 𝔻 : les nombres décimaux, qui s'écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule (comme 3,25).
• ℚ : les nombres rationnels, qui s'écrivent sous forme de fraction a/b avec b non nul.
• ℝ : les nombres réels, qui ajoutent les irrationnels comme √2 ou π.

Décimaux, rationnels, irrationnels : ne pas confondre

Un nombre décimal est toujours rationnel, mais l'inverse est faux. Par exemple, 1/3 = 0,333… est rationnel (c'est une fraction) mais pas décimal, car son écriture décimale ne s'arrête jamais. Et certains nombres, comme √2 ou π, ne peuvent même pas s'écrire sous forme de fraction : ce sont les irrationnels. Un bon réflexe : pour savoir si une fraction est décimale, on la simplifie et on regarde si son dénominateur ne contient, après simplification, que des facteurs 2 et 5.

Les racines carrées

La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif dont le carré vaut a. Les règles de calcul à connaître par cœur : √(a·b) = √a · √b et √(a/b) = √a / √b (pour a et b positifs). Attention, il n'existe aucune règle pour √(a + b) : écrire √(a + b) = √a + √b est une faute classique.

Un piège fréquent concerne √(a²). On a √(a²) = |a|, et non a tout court : la racine carrée renvoie toujours un résultat positif. Ainsi √((−5)²) = √25 = 5, pas −5. Pour simplifier une racine, on sort les carrés parfaits : √12 = √(4 × 3) = 2√3.

La valeur absolue

La valeur absolue |x| représente la distance de x à 0 sur la droite des réels ; elle est donc toujours positive. Deux propriétés servent à résoudre équations et inéquations : |x| = r équivaut à x = r ou x = −r, et |x| < r (avec r positif) équivaut à l'encadrement −r < x < r. À l'inverse, |x| > r équivaut à x < −r ou x > r.

Exemple entièrement résolu

Simplifions l'expression A = √12 − √27 + √75. L'idée est de tout ramener à une même racine « de base » en sortant les carrés parfaits. On décompose : √12 = √(4 × 3) = 2√3, √27 = √(9 × 3) = 3√3, et √75 = √(25 × 3) = 5√3.

Les trois termes contiennent maintenant √3, on peut les regrouper comme on regrouperait des « 3x » : A = 2√3 − 3√3 + 5√3 = (2 − 3 + 5)√3 = 4√3. On retient la méthode : pour additionner des racines, on les simplifie d'abord, puis on regroupe celles qui ont le même radical.

Exercice d'entraînement (avec la réponse)

À vous : résolvez l'équation |2x − 1| = 3, puis simplifiez l'expression B = √50 + √8. Cherchez avant de lire la suite.

Réponse. Pour l'équation, on utilise |X| = 3 équivaut à X = 3 ou X = −3. Donc 2x − 1 = 3, ce qui donne x = 2 ; ou 2x − 1 = −3, ce qui donne x = −1. L'équation a deux solutions : x = 2 et x = −1. Pour l'expression, on simplifie chaque racine : √50 = √(25 × 2) = 5√2 et √8 = √(4 × 2) = 2√2. Donc B = 5√2 + 2√2 = 7√2. Le réflexe est toujours le même : sortir les carrés parfaits avant de regrouper.

Les erreurs fréquentes à éviter

• Écrire √(a + b) = √a + √b : c'est FAUX (la règle ne vaut que pour un produit ou un quotient).
• Écrire √(a²) = a au lieu de |a|, et oublier ainsi le cas où a est négatif.
• Confondre nombre décimal et nombre rationnel (1/3 est rationnel mais pas décimal).
• Oublier la deuxième solution d'une équation avec valeur absolue.

Ce chapitre se maîtrise surtout par la pratique du calcul : plus vous manipulez de racines et de valeurs absolues, plus les réflexes deviennent automatiques. Pour vous entraîner avec des exercices corrigés et un suivi adapté, réservez un cours à Fès ou en ligne.