Les ensembles de nombres ouvrent le programme de Tronc Commun Sciences en organisant ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ selon la chaîne d'inclusions ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Cette fiche réunit la reconnaissance d'un nombre (décimal, rationnel, irrationnel comme √2), les règles sur les puissances, les racines carrées avec √(x²) = |x|, la rationalisation par la quantité conjuguée et les identités remarquables. À ce niveau, l'enjeu est de savoir dans quel ensemble « vit » un nombre avant de calculer. Le réflexe utile : un nombre est décimal seulement si son dénominateur irréductible s'écrit 2^p × 5^q.
ℝ
Fiche de révision · Tronc Commun Sciences
Les ensembles de nombres — De ℕ à ℝ, puissances & racines
Math Excellence1 · Les ensembles & leurs inclusions
Entiers naturels
\(\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}\)
\(\mathbb{N}^{*}=\mathbb{N}\setminus\{0\}\)
Entiers relatifs
\(\mathbb{Z}=\{\ldots,-1,0,1,\ldots\}\)
les naturels et leurs opposés
Décimaux
\(\mathbb{D}=\big\{\tfrac{a}{10^{p}}\ ,\ a\in\mathbb{Z},\ p\in\mathbb{N}\big\}\)
écriture décimale finie
Rationnels
\(\mathbb{Q}=\big\{\tfrac{a}{b}\ ,\ a\in\mathbb{Z},\ b\in\mathbb{Z}^{*}\big\}\)
quotient de deux entiers
Réels
\(\mathbb{R}\)
rationnels + irrationnels (\(\sqrt2,\pi\))
Chaîne d'inclusions
\(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\)
chacun contient le précédent
2 · Reconnaître un nombre
Décimal ?
- rendre la fraction irréductible \(\dfrac ab\)
- décimal \(\iff b=2^{p}\times5^{q}\) (que des \(2\) et des \(5\))
\(\tfrac{7}{40}=\tfrac{7}{2^3\cdot5}\) décimal ; \(\tfrac13\) non
Rationnel ?
- écriture décimale finie ou périodique \(\Rightarrow\) rationnel
- écriture infinie non périodique \(\Rightarrow\) irrationnel
\(0{,}1666\ldots=\tfrac16\) ; \(\sqrt2\) irrationnel
\(\sqrt2\) est irrationnel
- preuve par l'absurde : supposer \(\sqrt2=\tfrac ab\) irréductible
- on aboutit à \(a\) et \(b\) tous deux pairs : contradiction
Opérations sur les fractions
- \(\dfrac ab+\dfrac cd=\dfrac{ad+bc}{bd}\) ; \(\dfrac ab\times\dfrac cd=\dfrac{ac}{bd}\)
- \(\dfrac ab\div\dfrac cd=\dfrac ab\times\dfrac dc\) (multiplier par l'inverse)
3 · Formules & réflexes
\(a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}\)
\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\)
\((a^{m})^{n}=a^{mn}\)
\((ab)^{n}=a^{n}b^{n}\)
\(a^{-n}=\dfrac1{a^{n}}\), \(a^{0}=1\)
\(\sqrt{x^{2}}=|x|\)
\(\sqrt a\,\sqrt b=\sqrt{ab}\) \((a,b\ge0)\)
écriture scientifique : \(a\times10^{n}\), \(1\le a<10\)
4 · Racines & identités remarquables
Racine carrée
- \(\sqrt{x^{2}}=|x|\) (jamais \(x\) sans précaution de signe)
- \(x^{2}=a\ (a>0)\iff x=\sqrt a\ \text{ou}\ x=-\sqrt a\)
Piège : \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\).
Rationaliser (conjugué)
- multiplier haut et bas par le conjugué
- \(\dfrac{1}{\sqrt a-\sqrt b}=\dfrac{\sqrt a+\sqrt b}{a-b}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt3-1}=\dfrac{\sqrt3+1}{2}\)
Identités — 2ᵉ degré
- \((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)
- \((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\)
- \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\)
Identités — 3ᵉ degré
- \((a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)
- \(a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\)
- \(a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\)
★ Astuces géniales
- Pour classer un nombre, on descend la chaîne \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\) : le plus petit ensemble qui le contient le caractérise.
- Fraction décimale \(\iff\) dénominateur irréductible de la forme \(2^{p}5^{q}\).
- \(\sqrt{x^{2}}=|x|\) : la valeur absolue est le réflexe qui évite les erreurs de signe.
- Une racine au dénominateur se chasse en multipliant par le conjugué.
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