L'arithmétique dans ℕ apprend en Tronc Commun Sciences à raisonner sur les entiers naturels : parité, divisibilité, nombres premiers, PGCD et PPCM. Cette fiche réunit la division euclidienne, les critères de divisibilité, la décomposition en facteurs premiers, le test de primalité jusqu'à √n et le calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide. L'objectif à ce stade est de manipuler les entiers avec méthode, pas encore les congruences. Le réflexe qui simplifie une fraction : la décomposer en facteurs premiers pour la rendre irréductible.
ℤ
Fiche de révision · Tronc Commun Sciences
Arithmétique dans ℕ — Divisibilité, nombres premiers, PGCD & PPCM
Math Excellence1 · Notions de base
Pair / impair
\(n=2k\) / \(n=2k+1\)
\(k\in\mathbb{N}\)
Divisibilité
\(d\mid a\iff a=d\,k\)
\(a\) multiple de \(d\)
Division euclidienne
\(a=bq+r,\ \ 0\le r
couple \((q,r)\) unique
Nombre premier
\(p\ge2\), diviseurs \(1\) et \(p\)
\(2,3,5,7,11,\ldots\)
Décomposition
\(n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_s^{\alpha_s}\)
unique (ordre près)
Premiers entre eux
\(\operatorname{pgcd}(a,b)=1\)
aucun diviseur commun \(>1\)
2 · Méthodes types
Étudier une parité
- remplacer un pair par \(2k\), un impair par \(2k+1\)
- développer pour faire réapparaître \(2k'\) ou \(2k'+1\)
produit de 2 entiers consécutifs \(n(n+1)\) : toujours pair
Tester si \(n\) est premier
- tester la division par les premiers \(p\le\sqrt n\)
- aucun ne divise \(\Rightarrow\) premier ; sinon composé
\(97\) : tester \(2,3,5,7\) \(\Rightarrow\) premier
Décomposer en facteurs premiers
- diviser par \(2\), puis \(3\), \(5\), \(7\)… jusqu'au quotient \(1\)
- regrouper les facteurs identiques en puissances
\(1344=2^{6}\times3\times7\)
Critères de divisibilité
- par \(2\) / \(5\) : chiffre des unités
- par \(3\) / \(9\) : somme des chiffres
- par \(4\) : deux derniers chiffres ; par \(8\) : trois derniers
3 · Formules & réflexes
\(d\mid a\iff\) reste nul dans \(a=bq+r\)
\(d\mid a\) et \(d\mid b\Rightarrow d\mid(a+b)\)
\(d\mid a\) et \(a\mid b\Rightarrow d\mid b\)
PGCD : facteurs communs, plus petits exposants
PPCM : tous les facteurs, plus grands exposants
\(\operatorname{pgcd}(a,b)\times\operatorname{ppcm}(a,b)=ab\)
Euclide : \(\operatorname{pgcd}(a,b)=\operatorname{pgcd}(b,r)\)
\(1\) divise tout ; \(0\) multiple de tout
4 · PGCD, PPCM & fractions
PGCD par décomposition
- facteurs premiers communs, plus petit exposant
- \(120=2^{3}3\cdot5,\ 1764=2^{2}3^{2}7^{2}\Rightarrow\operatorname{pgcd}=2^{2}\cdot3=12\)
Algorithme d'Euclide
- divisions successives : \(a=bq+r\), puis \(b=rq'+r'\)…
- PGCD = dernier reste non nul
\(\operatorname{pgcd}(1053,325)=13\)
PPCM
- tous les facteurs, plus grand exposant
- ou \(\operatorname{ppcm}(a,b)=\dfrac{ab}{\operatorname{pgcd}(a,b)}\)
\(\operatorname{ppcm}(120,1764)=2^{3}3^{2}5\cdot7^{2}=17640\)
Fraction irréductible
- \(d=\operatorname{pgcd}(a,b)\), puis \(\dfrac ab=\dfrac{a\div d}{b\div d}\)
- irréductible \(\iff\) numérateur et dénominateur premiers entre eux
\(\dfrac{360}{84}=\dfrac{30}{7}\) (car \(\operatorname{pgcd}=12\))
★ Astuces géniales
- La décomposition en facteurs premiers est la clé : elle donne PGCD, PPCM et le caractère irréductible d'une fraction d'un coup.
- Pour tester un premier, on s'arrête à \(\sqrt n\) — inutile d'aller plus loin.
- Deux entiers consécutifs : l'un est pair — utilisé partout dans les preuves de divisibilité.
- Contrôle final : \(\operatorname{pgcd}\times\operatorname{ppcm}=ab\) doit toujours se vérifier.
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