Le calcul vectoriel dans le plan installe en Tronc Commun Sciences un langage géométrique puissant, indépendant des coordonnées. Cette fiche réunit la relation de Chasles, l'égalité de vecteurs, la multiplication par un réel, la colinéarité, le milieu, l'alignement et le passage aux coordonnées avec le déterminant xy′ − yx′. L'outil roi est le déterminant : il teste d'un coup la colinéarité de deux vecteurs, l'alignement de trois points et le parallélisme de deux droites. Le réflexe de Chasles : insérer un point pour réduire ou décomposer une chaîne de vecteurs.
u⃗
Fiche de révision · Tronc Commun Sciences
Calcul vectoriel dans le plan — Chasles, colinéarité, coordonnées
Math Excellence1 · Vecteurs & opérations
Relation de Chasles
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
enchaîner les déplacements
Égalité
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)
\(ABCD\) parallélogramme
Multiplication par \(k\)
\(\|k\vec u\|=|k|\,\|\vec u\|\)
signe de \(k\) = sens
Colinéarité
\(\vec v=k\vec u\)
même direction
Milieu \(I\) de \([AB]\)
\(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0\)
\(\overrightarrow{AI}=\tfrac12\overrightarrow{AB}\)
Vecteur nul
\(\overrightarrow{AB}=\vec0\iff A=B\)
\(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\)
2 · Colinéarité, alignement & milieux
Alignement & parallélisme
- \(A,B,C\) alignés \(\iff\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\) colinéaires
- \((AB)\parallel(CD)\iff\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\) colinéaires
Exploiter Chasles
- insérer un point : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}\)
- réduire une chaîne \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\)
Relations du milieu
- \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\) (\(M\) quelconque)
- \(K\) milieu de \([BC]\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AK}\)
Théorème des milieux
- \(I,J\) milieux de \([AB],[AC]\Rightarrow\overrightarrow{IJ}=\tfrac12\overrightarrow{BC}\)
- donc \((IJ)\parallel(BC)\) et \(IJ=\tfrac12BC\)
3 · Formules & réflexes
Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
colinéaires : \(\vec v=k\vec u\)
\(\overrightarrow{AB}(x_B-x_A,\ y_B-y_A)\)
\(\vec u+\vec v=(x+x',y+y')\)
\(k\vec u=(kx,ky)\)
\(\det(\vec u,\vec v)=xy'-yx'\)
milieu = moyenne des coordonnées
\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
4 · Dans un repère
Coordonnées
- \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\ y_B-y_A)\)
- tout se calcule coordonnée par coordonnée
\(\vec u=\vec v\iff x=x'\) et \(y=y'\)
Déterminant & colinéarité
- \(\det(\vec u,\vec v)=xy'-yx'\)
- \(=0\iff\vec u,\vec v\) colinéaires
\(A,B,C\) alignés \(\iff\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0\)
Point par relation vectorielle
- poser \(M(x,y)\), écrire les coordonnées de chaque vecteur
- identifier abscisses et ordonnées
\(\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}\Rightarrow\) système en \(x,y\)
Norme & distance (orthonormé)
- \(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}\)
- \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
Attention : distance valable seulement en repère orthonormé.
★ Astuces géniales
- Un vecteur n'a pas de position fixe : seules direction, sens et norme comptent.
- Chasles est le couteau suisse : insérer un point, réduire une chaîne, tout démontrer sans coordonnées.
- Le déterminant teste d'un coup colinéarité, alignement de 3 points et parallélisme de 2 droites.
- Milieu : \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\) transforme une somme en un seul vecteur.
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