La projection dans le plan est en Tronc Commun Sciences la transformation qui envoie un point sur une droite selon une direction donnée. Cette fiche réunit la définition du projeté (sur le support et parallèle à la direction), les points invariants, la conservation des rapports et des milieux, et surtout le théorème de Thalès, direct et réciproque. L'idée forte est que la projection conserve les rapports mais pas les distances : c'est exactement ce qui démontre Thalès. Le réflexe pour la réciproque : vérifier l'égalité des rapports ET le même ordre des points avant de conclure au parallélisme.
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Fiche de révision · Tronc Commun Sciences
La projection dans le plan — Projeté, Thalès, conservation des rapports
Math Excellence1 · Définition & propriétés
Projeté \(p(M)=M'\)
\(M'\in(D)\) et \((MM')\parallel(\Delta)\)
support \((D)\), direction \((\Delta)\)
Points invariants
\(p(M)=M\iff M\in(D)\)
\(p(p(M))=p(M)\)
Même projeté
\(M,N\mapsto\) même point \(\iff(MN)\parallel(\Delta)\)
une parallèle → un point
Orthogonale
\((D)\perp(\Delta)\)
sinon : oblique
Conserve
alignement, rapports, milieux
pas les longueurs ni les angles
Coefficient
\(\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{C'D'}=k\overrightarrow{A'B'}\)
\(k\) conservé
2 · Le théorème de Thalès
Thalès direct
- \(M\in(AB)\), \(N\in(AC)\), \((MN)\parallel(BC)\)
- \(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}\)
parallélisme connu \(\Rightarrow\) longueurs
Réciproque de Thalès
- \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\) et même ordre des points
- \(\Rightarrow(MN)\parallel(BC)\)
Hypothèse clé : l'ordre des points est indispensable.
Calculer une longueur
- identifier droites sécantes + droites parallèles
- écrire les rapports dans le même ordre, produit en croix
\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\Rightarrow\) une inconnue
Direct ou réciproque ?
- direct : parallélisme \(\to\) rapports / longueurs
- réciproque : rapports égaux \(\to\) parallélisme
3 · Formules & réflexes
\(p(M)=M'\) : \(M'\in(D)\) et \((MM')\parallel(\Delta)\)
\(M\in(D)\Rightarrow p(M)=M\)
orthogonale : \((D)\perp(\Delta)\)
Thalès : \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)
réciproque : rapports égaux + même ordre
\(\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{C'D'}=k\overrightarrow{A'B'}\)
milieu \(\to\) milieu (si \(A'\neq B'\))
conserve les rapports, pas les distances
4 · Transporter une relation par projection
Conservation du coefficient
- écrire la relation \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}\) avant projection
- garder le même \(k\) après : \(\overrightarrow{A'C'}=k\overrightarrow{A'B'}\)
Conservation du milieu
- \(I\) milieu de \([AB]\Rightarrow\overrightarrow{A'I'}=\tfrac12\overrightarrow{A'B'}\)
- donc \(I'\) milieu de \([A'B']\) (si \(A'\neq B'\))
Repère oblique
- projeter \(M\) sur chaque axe selon l'autre direction
- \(\overrightarrow{OM}=x\,\overrightarrow{OA}+y\,\overrightarrow{OB}\)
\(x,y\) = coordonnées dans \((O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\)
Contrôles utiles
- un projeté appartient toujours au support
- \((M M')\) est parallèle à la direction choisie
★ Astuces géniales
- Un projeté, c'est deux conditions : sur le support et parallèle à la direction — jamais une seule.
- La projection conserve les rapports mais pas les distances : c'est ce qui démontre Thalès.
- Direct = parallélisme → longueurs ; réciproque = rapports égaux → parallélisme. Ne pas les confondre.
- Le coefficient \(k\) de \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}\) traverse la projection intact : milieux et alignements se transportent.
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