L'ordre dans ℝ donne en Tronc Commun Sciences les règles pour comparer, encadrer et manipuler les inégalités. Cette fiche réunit la comparaison par le signe de la différence A − B, les opérations sur les inégalités, les encadrements, les intervalles, la valeur absolue et les valeurs approchées. Le point le plus piégeant est la multiplication par un nombre négatif, qui renverse le sens de l'inégalité. Le réflexe à ancrer : |x − a| ≤ r se lit comme une distance, l'intervalle de centre a et de rayon r.
≤
Fiche de révision · Tronc Commun Sciences
L'ordre dans ℝ — Inégalités, intervalles, valeur absolue
Math Excellence1 · Comparer & encadrer
Comparaison
\(a\le b\iff b-a\ge0\)
étudier le signe de \(a-b\)
Ajout / retrait
\(a\le b\iff a+c\le b+c\)
conserve le sens
Multiplier par \(c>0\)
\(a\le b\Rightarrow ac\le bc\)
conserve le sens
Multiplier par \(c<0\)
\(a\le b\Rightarrow ac\ge bc\)
renverse le sens
Somme d'encadrements
\(a+c\le x+y\le b+d\)
\(a\le x\le b,\ c\le y\le d\)
Différence
\(a-d\le x-y\le b-c\)
on additionne l'opposé
2 · Méthodes types
Comparer deux expressions
- calculer et simplifier \(A-B\)
- \(A-B>0\Rightarrow A>B\) ; \(A-B<0\Rightarrow A
\((a+b)^2-(a^2+b^2)=2ab\)
Encadrer une expression
- partir des encadrements de \(x\) et \(y\)
- appliquer chaque opération en surveillant les signes, puis additionner
Piège : multiplier par un négatif renverse le sens.
Carré, racine, inverse
- \(0\le a\le b\Rightarrow a^2\le b^2\) et \(\sqrt a\le\sqrt b\)
- \(0
\(-3<-2\) mais \((-3)^2>(-2)^2\)
Valeur approchée
- \(a\) valeur approchée de \(x\) à \(\varepsilon\) près \(\iff|x-a|\le\varepsilon\)
- par défaut : \(a\le x\) ; par excès : \(x\le a\)
troncature / arrondi à \(p\) décimales
3 · Formules & réflexes
\([a,b]\) : \(a\le x\le b\) (bornes incluses)
\(]a,b[\) : \(a
\(\pm\infty\) : crochet toujours ouvert
centre \(c=\dfrac{a+b}2\), rayon \(r=\dfrac{b-a}2\)
\(|x|=\sqrt{x^2}\ge0\)
\(|xy|=|x|\,|y|\)
\(|x+y|\le|x|+|y|\)
\(I\cap J\) : « et » ; \(I\cup J\) : « ou »
4 · Valeur absolue & distances
Définition & distance
- \(|x|=x\) si \(x\ge0\), \(|x|=-x\) si \(x<0\)
- \(|x-y|\) = distance entre \(x\) et \(y\)
Réflexe : \(\sqrt{x^2}=|x|\), pas \(x\).
Équation \(|x-a|=r\)
- pour \(r>0\) : \(x=a-r\) ou \(x=a+r\)
- les deux points à distance \(r\) de \(a\)
Inéquation \(|x-a|\le r\)
- \(|x-a|\le r\iff a-r\le x\le a+r\) (intervalle centré)
- \(|x-a|\ge r\iff x\le a-r\ \text{ou}\ x\ge a+r\)
\(|x-3|\le2\iff x\in[1,5]\)
Enlever une valeur absolue
- déterminer d'abord le signe de \(u\)
- \(u\ge0\Rightarrow|u|=u\) ; \(u\le0\Rightarrow|u|=-u\)
★ Astuces géniales
- Le réflexe n°1 : multiplier ou diviser par un nombre négatif renverse le sens de l'inégalité.
- Comparer, c'est presque toujours étudier le signe de la différence \(A-B\).
- \(|x-a|\le r\) se lit comme une distance : l'intervalle de centre \(a\) et de rayon \(r\).
- Une approximation ne vaut rien sans sa précision : donner \(\varepsilon\) ou un encadrement.
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