La droite dans le plan apprend en Tronc Commun Sciences à représenter et reconnaître une droite par ses différentes équations. Cette fiche réunit la définition vectorielle, la représentation paramétrique, l'équation cartésienne ax + by + c = 0 avec le vecteur directeur (−b, a), l'équation réduite y = mx + p et les positions relatives de deux droites. Le déterminant reste l'outil unique pour l'alignement et le parallélisme, et se lit vite à partir des coefficients. Le réflexe : de ax + by + c = 0, le vecteur directeur (−b, a) se lit d'un coup d'œil.
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Fiche de révision · Tronc Commun Sciences
La droite dans le plan — Équations, vecteur directeur, positions relatives
Math Excellence1 · Repère & coordonnées
Coordonnées d'un point
\(\overrightarrow{OM}=x\vec\imath+y\vec\jmath\)
\(M(x,y)\)
Vecteur \(\overrightarrow{AB}\)
\((x_B-x_A,\ y_B-y_A)\)
coordonnée par coordonnée
Milieu de \([AB]\)
\(\big(\tfrac{x_A+x_B}2,\tfrac{y_A+y_B}2\big)\)
moyenne des coordonnées
Déterminant
\(\det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y\)
\(=0\iff\) colinéaires
Alignement
\(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0\)
\(A,B,C\) alignés
Distance (orthonormé)
\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
\(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}\)
2 · Représenter une droite
Définition vectorielle
- \(M\in D(A,\vec u)\iff\overrightarrow{AM}=t\vec u\), \(t\in\mathbb{R}\)
- vecteur directeur \(\vec u\neq\vec0\) ; \(\overrightarrow{AB}\) dirige \((AB)\)
Représentation paramétrique
- \(\begin{cases}x=x_A+t\alpha\\ y=y_A+t\beta\end{cases}\) (\(\vec u(\alpha,\beta)\))
- on lit un point (\(t=0\)) et un directeur
Équation cartésienne
- \(ax+by+c=0\), \((a,b)\neq(0,0)\)
- vecteur directeur \(\vec u(-b,a)\)
test : \(ax_M+by_M+c=0\iff M\in(D)\)
Équation réduite
- si \(b\neq0\) : \(y=mx+p\), \(m=-\tfrac ab\)
- \((AB)\) : \(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\) (\(x_A\neq x_B\))
verticale : \(x=k\) ; horizontale : \(y=k\)
3 · Formules & réflexes
\(\overrightarrow{AB}(x_B-x_A,\ y_B-y_A)\)
\(\det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y\)
paramétrique : \(x=x_A+t\alpha,\ y=y_A+t\beta\)
cartésienne : \(ax+by+c=0\)
directeur de \(ax+by+c=0\) : \((-b,a)\)
réduite : \(y=mx+p\), \(m=-\tfrac ab\)
par \(A\), dir. \(\vec u\) : \(\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0\)
sécantes \(\iff ab'-a'b\neq0\)
4 · Trouver une équation & positions relatives
Un point + un directeur
- \(M\in(D)\iff\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0\)
- \(\beta(x-x_A)-\alpha(y-y_A)=0\)
Par deux points
- prendre \(A\) et \(\vec u=\overrightarrow{AB}\)
- \(\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})=0\), simplifier, vérifier \(A,B\)
Positions relatives
- \(ab'-a'b\neq0\) : sécantes
- \(=0\) : parallèles ou confondues
Ne pas s'arrêter : proportionnels \(\Rightarrow\) confondues ; sinon strictement \(\parallel\).
Point d'intersection
- résoudre le système des deux équations
- vérifier \(I(x,y)\) dans les deux droites
★ Astuces géniales
- Le déterminant est l'outil unique : colinéarité, alignement de 3 points, parallélisme de 2 droites.
- De \(ax+by+c=0\), le vecteur directeur \((-b,a)\) se lit d'un coup d'œil.
- La forme paramétrique fabrique les points ; la cartésienne teste vite l'appartenance.
- \(ab'-a'b=0\) ne suffit pas : il reste à distinguer confondues et strictement parallèles.
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